Martingale a tempo discreto e continuo - Speranza condizionale e martingale

Capitolo 4. Speranza condizionale e martingale

4.2 Martingale a tempo discreto e continuo

Esempio 4.3. Per s ≤ t e λ ∈ R (o anche λ ∈ C) si ha E(e^λB^t|F_s) = e^λB^s^+λ²^(t−s)/2 q.c..

Infatti, scrivendo e^λB^t = e^λB^se^λ(B^t^−B^s⁾ si ha che

E(e^λB^t|F_s) = e^λB^s E(e^λ(B^t^−B^s⁾|F_s) = e^λB^s E(e^λ(B^t^−B^s⁾) = e^λB^se^λ²^(t−s)/2, dove si è usato il fatto cheE(e^λZ) = e^λ²^σ²^/2 seZ ∼ N (0, σ²).

4.2. Martingale a tempo discreto e continuo

Per tutto il paragrafo supporremo che sia fissato uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F, {Ft}_t∈T, P). Esempi tipici di insieme degli indici T sono N0 (o un suo sottoinsieme

finito), la semiretta positiva [0, ∞) oppure un intervallo [a, b] ⊆ [0, ∞).

Definizione 4.4. Un processo reale adattato M = {Mt}_t∈T è detto submartingala (risp. supermartingala, martingala) seM_t è integrabile per ognit ∈ T e vale la seguente

relazione:

q.c. E(M_t|F_s) ≥ M_s (risp. ≤M_s, = M_s), (4.2) per ogni s, t ∈ T con s ≤ t.

La condizione (4.2) può essere riespressa comeE(M_t− M_s|F_s) ≥ 0 (risp. ≤ 0, = 0) q.c.. Si noti che M è una submartingala se e soltanto se −M è una supermartingala.

Analogamente, un processo è una martingala se e soltanto se è allo stesso tempo una submartingala e una supermartingala.

Si definiscono (sub,super)martingale M = {M_t}_t≥0 anche quando sullo spazio non è definita una filtrazione: in questo caso si richiede che la relazione (4.2) valga rispetto alla filtrazione naturale {F_t^M := σ({M_u}_{u∈[0,t]∩T})}_t∈T. Quando vorremo enfatizzare la filtrazione, scriveremo cheM è una {F_t}_t∈T-(sub,super)submartingala.

Osserviamo che, se M è una submartingala, segue da (4.2) che E(Mt) ≥ E(Ms) per t ≥ s, cioè M è crescente in media. Analogamente, una supermartingala è decrescente in media, mentre una martingala è costante in media.

Osservazione 4.5. Per dimostrare che E(Mt|F_s) ≥ M_s q.c. è sufficiente mostrare che E(Mt1_A) ≥ E(Ms1_A) per ogni A ∈ Fs. Infatti, ponendoZ := E(Mt|F_s) per semplicità, da questa relazione segue cheE(M_t1_A) = E(Z1_A) ≥ E(M_s1_A), dunque E((Z − M_s)1_A) ≥ 0, per ogniA ∈ F_s. Resta solo da mostrare che ciò implica cheZ − M_s≥ 0 q.c., e avremo ottenuto la relazione desiderataE(M_t|F_s) ≥ M_s q.c..

Questo segue da un fatto generale: se Y è una variabile aleatoria integrabile e G-misurabile tale che E(Y 1_A) ≥ 0 per ogni A ∈ G, si ha Y ≥ 0 q.c.. Infatti scegliendo A = {Y < 0} si ottiene E(Y 1_{{Y <0}}) ≥ 0; d’altro canto si ha chiaramente Y 1_{{Y <0}} ≤ 0, quindiE(Y 1_{{Y <0}}) = 0. Essendo Y 1_{{Y <0}} ≤ 0, ciò è possibile se e soltanto se Y 1_{{Y <0}}= 0 q.c., che equivale aP(Y < 0) = 0. Questo mostra che Y ≥ 0 q.c..

Lemma 4.6. Se M = {Mt}_t∈T è una martingala eϕ : R → R è una funzione convessa tale cheϕ(M_t) ∈ L¹ per ogni t ∈ T, il processo {ϕ(Mt)}_t∈T è una submartingala.

SeM = {Mt}_t∈Tè una submartingala eϕ è convessa e crescente tale che ϕ(Mt) ∈ L¹ per ogni t ∈ T, {ϕ(Mt)}_t∈T è una submartingala.

Dimostrazione. Se ϕ è convessa, dalla disuguaglianza di Jensen per la speranza condizionale segue cheE(ϕ(M_t)|F_s) ≥ ϕ(E(M_t|F_s)) q.c..

In particolare, data una martingala M = {M_t}_t∈T, i processi {|M_t|}_t∈T e {M_t²}_t∈T sono submartingale. Attenzione che ciò non è necessariamente vero quando M è una submartingala, perché le funzioni x 7→ |x| e x 7→ x² sono convesse ma non crescenti.

Esempio 4.7. Se {Ft}_t∈T è una filtrazione su uno spazio (Ω, F, P) e X : Ω → R è una variabile aleatoria integrabile, il processo Y = {Yt := E(X|Ft)}_t∈T è una martingala.

Infatti per s ≤ t si ha F_s ⊆ F_t e dunque E(Y_t|F_s) = E(E(X|F_t)|F_s) = E(X|F_s) = Y_s q.c., per la proprietà di raffinamento.

Osserviamo che, se l’insieme degli indici T ha un elemento massimo, come T = {0, . . . , T } oppure T = [0, T ], ogni martingala M = {Mt}_t∈T è di questa forma: infatti per la proprietà (4.2) si ha M_s= E(M_T|F_s) q.c. per ogni s ∈ T, dove T := max(T).

Esempio 4.8. Se B = {Bt}_t≥0 è un {F_t}_t≥0-moto browniano reale, i seguenti processi sono martingale:

t≥0, B_t²− t

t≥0 , e^λB^t^−λ²^t/2

t≥0, ∀λ ∈ R ,

come mostrano gli Esempi 4.1, 4.2 e 4.3 dello scorso paragrafo. In particolare, il moto browniano B = {B_t}_t≥0 è una martingala.

La teoria delle martingale è tra i capitoli più ricchi ed eleganti del calcolo delle probabili-tà. La nostra esposizione sarà estremamente concisa: ci limiteremo a considerare i risultati di diretto interesse per il corso, concentrandoci sui tempi d’arresto e sostanzialmente ignorando i teoremi di convergenza.

4.2.1. Tempo discreto. Consideriamo innanzitutto il caso in cui l’insieme dei tempi è discreto, T = N0, e indichiamo con {F_n}_n∈N₀ la filtrazione. Ricordiamo che una variabile aleatoria τ : Ω → N0 ∪ {+∞} è un tempo d’arresto per {Fn}_n∈N₀ se e soltanto se {τ = n} ∈ F_n, per ogni n ∈ N0. Analogamente, F_τ è la σ-algebra composta dagli eventi A ∈ F per cui A ∩ {τ = n} ∈ F_n, per ogni n ∈ N0.

Osserviamo che la relazione (4.2) che definisce una submartingala può essere semplificata per processiM = {M_n}_n∈N₀ a tempo discreto: basta richiedere che E(M_n+1|F_n) ≥ M_n q.c. per ognin ∈ N0. Infatti da questa relazione segue che

E(M_n+2|F_n) = E(E(M_n+2|F_n+1)|F_n) ≥ E(M_n+1|F_n) ≥ M_n q.c.,

4.2. MARTINGALE A TEMPO DISCRETO E CONTINUO 67

e per induzione si mostra facilmente cheE(M_k|F_n) ≥ Mnq.c. per ognik ≥ n. Un discorso del tutto analogo si applica alle supermartingale o martingale.

Il primo risultato che dimostriamo è che le (sub)martingale possono essere stoppate a un tempo d’arresto.

Lemma 4.9. Se M = {Mn}_n∈N₀ è una submartingala e τ è un tempo d’arresto, il processo arrestato M^τ = {M_n^τ}_n∈N₀ definito daM_n^τ := Mτ ∧n è una submartingala.

Analogamente, seM è una martingala, anche il processo M^τ è una martingala.

Dimostrazione. Ricordiamo che a ∧ b := min{a, b} per a, b ∈ R, cosicché Mn^τ(ω) = Mmin{τ (ω),n}(ω). Da questo segue facilmente che per ogni n ∈ N0 si ha

M_n^τ = M_{τ ∧n} =

k=0

M_k1_{{τ =k}} + M_n1_{{τ >n}}. (4.3)

Questa relazione mostra che, per ogni n ∈ N0, M_n^τ è integrabile, in quanto somma finita di variabili aleatorie integrabili, e anche che M_n^τ è F_n-misurabile (si noti che {τ > n} = {τ ≤ n}^c∈ F_n), cioè il processo M^τ è adattato.

Resta da verificare che E(M_n+1^τ |F_n) ≥ M_n^τ q.c.. Sull’evento {τ ≤ n} si ha τ ∧ n = τ ∧ (n + 1) = τ e quindi M_n^τ = M_n+1^τ . In altri termini(M_n+1^τ − M_n^τ)1_{{τ ≤n}} = 0, per cui

E(M_n+1^τ − M_n^τ|F_n) = E (M_n+1^τ − M_n^τ)1_{{τ >n}}

F_n q.c..

D’altro canto, sull’evento {τ > n} = {τ ≥ n + 1} si ha M_n^τ = M_ne M_n+1^τ = M_n+1. Visto che {τ > n} ∈ F_n, dalle proprietà della speranza condizionale si ottiene

E (M_n+1^τ − M_n^τ)1_{{τ >n}}

F_n

= 1_{{τ >n}} E(M_n+1− M_n|F_n) ≥ 0 q.c. ,

perchéM è una submartingala. Abbiamo quindi mostrato che E(M_n+1^τ |F_n) ≥ M_n^τ q.c., cioèM^τ è una submartingala. Il caso di una martingala è analogo.

Corollario 4.10 (Teorema d’arresto). Sia M = {Mn}_n∈N₀ una submartingala e siaτ un tempo d’arresto, tali che una delle seguenti condizioni è verificata:

• τ è q.c. limitato, cioè esiste N ∈ N0 tale cheτ ≤ N q.c.;

oppure

• τ è q.c. finito e inoltre |M_{τ ∧n}| ≤ Y per ogni n ∈ N0, dove Y è una variabile aleatoria integrabile (in particolare |Mτ ∧n| ≤ K per una costante K ∈ [0, ∞)).

Allora la variabile M_τ è integrabile e vale la relazione

E(M_τ) ≥ E(M0) . (4.4)

Se M = {M_n}_n∈N₀ è una martingala, nelle stesse ipotesi si ha l’uguaglianza in (4.4).

Dimostrazione. Il processo {Mτ ∧n}_n∈N₀ è una submartingala per il Lemma 4.9, quindi E(M_{τ ∧n}) ≥ E(M₀) , ∀n ∈ N0. (4.5) Seτ ≤ N q.c., si ha τ ∧ N = τ q.c. e ponendo n = N in (4.5) otteniamo la relazione (4.4).

Se τ è q.c. finito, per q.o. ω ∈ Ω si ha τ (ω) ∧ n = τ (ω) < ∞ per n grande, quindi limn→∞M_{τ (ω)∧n}(ω) = M_{τ (ω)}. In altri termini, q.c.limn→∞Mτ ∧n= Mτ. Se |Mτ ∧n| ≤ Y con Y ∈ L¹, per il teorema di convergenza dominata si può passare al limite in (4.5), ottenendoE(M₀) ≤ lim_n→∞E(M_{τ ∧n}) = E(M_τ), cioè (4.4).

Infine, se M = {Mn}_n∈N₀ è una martingala, entrambi i processi M e −M sono submartingale. Per quanto già visto si ha dunqueE(M0) ≤ E(M_τ) e E(−M0) ≤ E(−M_τ), da cui E(M₀) = E(M_τ).

M = {M_n}_n∈N₀ Concludiamo con una disuguaglianza di fondamentale importanza.

Teorema 4.11 (Disuguaglianza massimale). Se S = {S_n}_n∈N₀ è una submartingala, per ognin ∈ N0 e λ > 0 vale che

Dimostrazione. Fissiamo n ∈ N0 e definiamo la variabile aleatoriaτ ponendo τ (ω) :=

(inf{k ≤ n : S_k(ω) ≥ λ} se max_0≤i≤nS_i(ω) ≥ λ

+∞ altrimenti .

Si verifica facilmente cheτ è un tempo d’arresto. Inoltre

Per la seconda disuguaglianza, fissiamo sempren ∈ N0 e ridefiniamo

τ (ω) :=

(inf{k ≤ n : S_k(ω) ≤ −λ} se min_0≤i≤nS_i(ω) ≤ −λ

+∞ altrimenti .

4.2. MARTINGALE A TEMPO DISCRETO E CONTINUO 69

Possiamo allora scrivere P

0≤i≤nmin S_i ≤ −λ

= P τ ≤ n

≤ 1

λE(−S_τ1_{{τ ≤n}}) = −1

λE(S_{τ ∧n}1_{{τ ≤n}})

= −1 λ

E Sτ ∧n − E Sn1_{{τ >n}} ,

avendo usato il fatto che per definizione sull’evento {τ ≤ n} si ha −S_τ ≥ λ e τ = τ ∧n. Per ottenere l’ultima uguaglianza basta scrivere 1_{{τ ≤n}}= 1 − 1_{{τ >n}} e notare cheτ ∧ n = n sull’evento {τ > n}. Analogamente a sopra, abbiamo che E(S_n1_{{τ >n}}) ≤ E(S_n⁺), mentre E(S_{τ ∧n}) ≥ E(S₀) grazie al Corollario 4.10, perché τ ∧ n è un tempo d’arresto limitato. La seconda relazione è dunque dimostrata.

4.2.2. Tempo continuo. La teoria generale delle martingale a tempo continuo, in cui cioè l’insieme degli indici è più che numerabile (noi considereremo T = [0, ∞)) è decisamente più complessa. Dal momento che è importante poter lavorare con processi continui a destra, è naturale chiedersi sotto quali condizioni una (sub,super)martingala M = {M_t}_t≥0ammette una modificazione con tale proprietà. È possibile mostrare che, se la filtrazione {F_t}_t≥0soddisfa le ipotesi standard (come noi supponiamo), una submartigala M ammette una modificazione continua a destra se e soltanto se la funzione t 7→ E(Mt) è continua a destra (si veda ad esempio il Teorema 3.13 nel capitolo 1 in [Karatzas e Shreve, 1998]). In particolare, una martingala ammette sempre una modificazione continua a destra, perché E(Mt) ≡ E(M0) è costante. Nei fatti, avremo a che fare quasi sempre con (sub,super)martingale continue.

Elenchiamo ora le versioni a tempo continuo dei risultati dimostrati nel paragrafo precedente. Dimostreremo solo la disuguaglianza massimale (per maggiori dettagli, si veda il paragrafo 1.3 nel capitolo 1 in [Karatzas e Shreve, 1998]).

Lemma 4.12. Se M = {Mt}_t≥0 è una submartingala continua a destra e τ è un tempo d’arresto, il processo arrestato M^τ = {M_t^τ}_t≥0 definito da M_t^τ := M_{τ ∧t} è una submartingala continua a destra.

Analogamente, se M è una martingala continua a destra, anche il processo M^τ è una martingala continua a destra.

Corollario 4.13 (Teorema d’arresto). Sia M = {Mt}_t≥0 una submartingala continua a destra e sia τ un tempo d’arresto, tali che una delle seguenti ipotesi è soddisfatta:

• τ è q.c. limitato, cioè esiste T ∈ (0, ∞) tale che τ ≤ T q.c.;

oppure

• τ è q.c. finito e |Mτ ∧t| ≤ Y per ogni t ≥ 0, dove Y è una variabile aleatoria integrabile (in particolare |M_{τ ∧n}| ≤ K per una costante K ∈ [0, ∞)).

Allora la variabile M_τ è integrabile e vale la relazione

E(M_τ) ≥ E(M0) . (4.6)

Se M = {Mt}_t≥0 è una martingala, nelle stesse ipotesi si ha l’uguaglianza in (4.6).

Teorema 4.14 (Disuguaglianza massimale). Per una submartingala S = {St}_t≥0 continua a destra vale che, per ognit ≥ 0 e λ > 0,

Dimostrazione. Dimostriamo la prima relazione (la seconda è del tutto analoga).

Fissiamo 0 =: t0 < t1 < . . . < t_k := t e consideriamo il processo a tempo discreto {S_t_i}_0≤i≤k, che è una submartingala rispetto alla filtrazione {F_t_i}_0≤i≤k. La disuguaglianza massimale a tempo discreto (Teorema 4.11) dà, per ogni ε ∈ (0, λ),

n∈Nπ⁽ⁿ⁾= [0, t] ∩ Q. Sfruttando l’inclusione naturale di eventi e la continuità dal basso della probabilità, si ottiene allora

P Prendendo il limiteε ↓ 0, si conclude la dimostrazione.

Osservazione 4.15. Nel caso di una supermartingala S = {St}_t≥0 continua a destra, le relazioni del Teorema 4.14 si riformulano nel modo seguente:

Nel documento Analisi stocastica Dispense del corso 2010/11 (pagine 69-75)