La costruzione di posizioni sintetiche: la put-call parity

La put call parity è una relazione che lega tra loro: prezzo della call,

prezzo della put e prezzo dell‟azione. Se i prezzi delle opzioni non rispettassero una determinata formula, che vedremo tra poco, sarebbe possibile ottenere dei profitti senza assumersi alcun rischio. Nel descrivere la relazione in analisi e osservare la sua applicazione consideriamo delle ipotesi semplificatrici:

 Medesime aliquote fiscali connesse a profitti di negoziazione, al netto delle perdite di negoziazione;

 Assenza di costi di transazione;

 Indebitamenti e prestiti con costo equivalente al tasso d‟interesse risk-free;  Investitori pronti a sfruttare qualsiasi opportunità di arbitraggio che si presenti;

 Azioni che non pagano dividendi24_.

Per dimostrare la condizione di put-call parity è opportuno prendere in considerazione due portafogli: il portafoglio A, caratterizzato da un‟opzione call europea e un‟obbligazione zero-coupon (ZC) che garantisce al tempo di scadenza

T (in cui scadono anche le opzioni) il pagamento di una somma K (equivalente

allo strike price), e il portafoglio B, composto da un‟opzione put europea e un titolo azionario. Alla scadenza T gli scenari che possono presentarsi sono due:

 Scenario 1: Il prezzo dell‟azione sottostante (S_T) risulta maggiore allo strike

price K con l‟effetto che: all‟interno del portafoglio A, abbiamo l‟esercizio

dell‟opzione call e l‟impiego della somma K incassata dall‟obbligazione per pagare lo strike price della call, con il valore del portafoglio in parola che risulta pari a (ST - K) + K = ST, mentre nel portafoglio B, si verifica il mancato esercizio

dell‟opzione put (che scade priva di valore) e la permanenza nel portafoglio in discorso dell‟azione sottostante, al cui prezzo S_T corrisponde il valore del portafoglio stesso;

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 Scenario 2: Inversamente allo scenario precedentemente descritto, il prezzo dell‟azione sottostante risulta inferiore rispetto a K con la conseguenza che: nel portafoglio A, si registra il mancato esercizio dell‟opzione call, la quale scade priva valore, e il flusso in entrata (associabile all‟obbligazione ZC) dato dall‟incasso della somma K, con cui coincide il valore del portafoglio in esame, invece nel portafoglio B, si procede all‟esercizio dell‟opzione put con il susseguente flusso in entrata K e l‟utilizzo dell‟azione detenuta per soddisfare l‟obbligazione di vendita, con valore del portafoglio in esame coincidente con (K

- ST) + ST = K.

Illustriamo graficamente quanto appena esplicitato:

Tabella 2: Valore assunto dai portafogli A e B al tempo di scadenza delle opzioni (T).

ST < K ST > K

Portafoglio A Valore opzione call _{0 (ST – K)}

Valore obbligazione zc _{+ K + K}

Valore totale _{= K = ST}

Portafoglio B Valore opzione put _{(K - ST ) 0}

Valore azione _{+ ST + ST}

Valore totale _{= K = ST}

Facilmente ricavabile che in entrambi gli scenari, sia per il portafoglio che per il portafoglio B, il valore complessivo risulta pari al valore più elevato tra il prezzo del sottostante al tempo T e lo strike price K.

Formalmente: Max (S_T, K):

1) Se S_T>K il valore sia del portafoglio A che del portafoglio B risulta equivalente ad ST,

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Attraverso lo sfruttamento dell‟ipotesi di assenza di arbitraggio possiamo concludere che se il valore dei due portafogli è lo stesso al tempo di scadenza T, allora dovrà sussistere tale uguaglianza anche tra il valore attuale (ad oggi) dei due portafogli. Proprio quanto appena sostenuto costituisce la relazione di put-

call parity, la quale pone in luce come il valore di un‟opzione put (call) di stile

europeo può essere desunta dal valore di una call (put) anch‟essa europea con stessa scadenza e medesima base (strike price).

Indicheremo con:

- c = valore al tempo 0 dell‟opzione call;

- p = valore al tempo 0 dell‟opzione put;

- Ke-rT = valore attuale di K;

- S0 = prezzo del sottostante al tempo 0;

La relazione si presenta come segue:

c + Ke-rT = p + S0

Qualora tale condizione venisse meno o meglio nel caso in cui non sia rispettata, un investitore troverebbe conveniente acquisire oggi il portafoglio meno costoso e vendere oggi quello più costoso, dato che a scadenza i due portafogli manifesteranno lo stesso valore e si annulleranno vicendevolmente assicurando così all‟investitore un profitto pari al differenziale tra il valore odierno dei due portafogli. Il meccanismo appena descritto può essere illustrato ancor meglio tramite un esempio. Ipotizziamo che: il prezzo di un‟opzione call europea a t=12 mesi sia 3,75€, il prezzo di un‟opzione put a t=12 mesi sia di 2,25€, lo strike price 25,50€, il prezzo dell‟azione sottostante sia di 22,50€ e il tasso d‟interesse risk-free annuo sia 0,09, quindi 9% in termini percentuali. Verificheremo adesso che con queste ipotesi la condizione di put-call parity non è rispettata:

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Come dimostrato dall‟espressione sopra citata la parte sinistra risulta inferiore alla parte destra; nel dettaglio il portafoglio A (contente la call) è sottoprezzato rispetto al portafoglio B (contenente la put) e, questa circostanza, permette di compiere un‟operazione di arbitraggio: comprando il portafoglio A (meno costoso) e simultaneamente vendendo il portafoglio B (più costoso) si consegue un profitto certo a scadenza. Precisamente, l‟attuazione della tecnica in questione si divide in molteplici fasi. Dapprima, prevede l‟assunzione di una posizione di acquisto (long) sulla call, pagando il premio di 3,75€, e al contempo di una posizione corta (short) sulla put e sul sottostante, incassando rispettivamente 2,25€ e 25,50€, così da generare un‟entrata netta (al netto dell‟uscita) di 24€ (27,75 – 3,75). Dopo, contempla l‟investimento per 12 mesi della somma incassata al tasso d‟interesse risk-free (0,09), con i 24€ che si incrementano: 24 e0.09*12/12 = 26,26 €

Da ultimo, alla scadenza l‟acquisto di un‟azione al prezzo di 22,50€ (passibile di impiego per la chiusura della posizione short aperta), dato che, se il prezzo del sottostante a scadenza risulta inferiore a 22,50€ si ha l‟esercizio dell‟opzione put, se all‟opposto il prezzo dell‟azione raggiunge un prezzo superiore a 22,50€ si verifica l‟esercizio della call. Si ottiene in questo modo un profitto netto di: 26,26 € - 22,50 € = 3,76 €

Meccanismo analogo si sarebbe applicato nel caso in cui il portafoglio A si fosse rivelato meno costoso del portafoglio B, con la differenza che in tal caso sarebbe stato necessario ricorrere a un prestito per l‟investimento iniziale.

Infine, opportuno sottolineare come la relazione si put-call parity possa essere riscritta in molteplici modi consentendo di creare molteplici posizioni sintetiche:

 Acquisto call: c = p+(S0-Ke-rT)

 Vendita call: -c = -p-(S0-Ke-rT)

 Acquisto put: p = c-(S0-Ke-rT)

 Vendita put: -p = -c+(S0-Ke-rT)

 Acquisto azione: S0 = c-p-Ke-rT

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