Principali tipologie

Precedentemente abbiamo visto come il valore di un‟opzione possa mutare al variare di molteplici variabili di mercato. Per quantificare la sensibilità di un‟opzione al variare dei diversi fattori, vengono utilizzati degli indicatori sintetici (espressi con lettere dell‟alfabeto greco, comunemente definite come “le greche”: Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho). Le “greche”, di fatto rappresentano numericamente in forma sintetica le diverse dimensioni del rischio connesso al portafoglio opzionario, offrendo all‟investitore un‟ottima approssimazione delle conseguenze sulla posizione assunta in opzioni del verificarsi di certe condizioni esteriori di mercato. Due sono le modalità con le quali possono essere esplicitati questi coefficienti:

1) unità monetarie, circostanza nella quale ciascuna greca esprime l‟ammontare del profitto (o perdita) che l‟investitore dovrebbe sopportare a seguito di una fluttuazione infinitesima del fattore di rischio;

2) quantità di contratti, caso in cui ogni greca evidenzia il quantitativo di contratti che l‟investitore dovrebbe acquistare o vendere, rispettivamente nell‟eventualità di greca negativa o di greca positiva, per coprirsi dai rischi connessi al movimento di un fattore di rischio (hedging).

Le modalità si rivelano tra loro interscambiabili, nel senso che si può passare dall‟una all‟altra a condizione che si abbiano a disposizione i dati relativi al lotto minimo (lot size) di strumenti oggetto del contratto e il prezzo del sottostante.

Possiamo quindi individuare gli indicatori osservando che ognuno si riferisce ad uno specifico fattore di rischio:

1) Delta (Δ) e Gamma (Γ) → Prezzo del sottostante; 2) Theta (Θ) → Tempo alla scadenza dell‟opzione; 3) Vega (ν) → Volatilità del sottostante (σ);

26 _{Per approfondimenti si veda F. Orsi, Misurazione del rischio di mercato, Plus Ed., Pisa, 2009, pag. .62}

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4) Rho (ρ) → Tasso d‟interesse privo di rischio27.

2.2.2. Il Delta

Conosciuto anche come hedge ratio (ovvero rapporto di copertura), rappresenta la relazione che intercorre tra premio di un‟opzione e prezzo del sottostante.

Le principali caratteristiche del Delta sono cosi riassumibili:

1) per le opzioni call, il delta è positivo, infatti a fronte di una variazione positiva del prezzo del sottostante il valore dell‟opzione aumenta. Viceversa, nel caso di opzioni put il delta è negativo, dal momento che sussiste relazione inversa tra prezzo dell‟opzione e prezzo del sottostante. 2) Il delta non è un valore costante, varia al mutare del prezzo del sottostante

e all‟avvicinarsi alla scadenza del contratto d‟opzione.

3) Sia nel caso di opzioni call che di opzioni put, all‟aumentare del prezzo del sottostante il delta cresce e al diminuire del prezzo del sottostante il delta si riduce.

4) All‟avvicinarsi alla scadenza del contratto d‟opzione , il delta varia, avvicinandosi ad 1 per le opzioni in the money, e assumendo un valore sempre più vicino a 0 per le out of the money; per le opzioni at the money il delta è generalmente costante, pari a 0.50, fino alla scadenza, quando diventa nullo.

Oltre alla sensibilità dell‟opzione alle variazione del prezzo del sottostante, il delta di un‟opzione esprime:

1) l‟esposizione al mercato: il delta viene infatti utilizzato per determinare la posizione in titoli equivalente ad una posizione in opzioni.

27 _{Cfr. Borsa Italiana (2010), Option Pricer,}

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2) La probabilità di un‟opzione di scadere in the money, ed esser quindi esercitata. Per esempio un‟opzione con delta uguale a 0.65, avrà una probabilità del 65% di scadere in the money.

Infine il delta può essere messo in relazione con la volatilità per vedere come questa lo influenza. Il delta, sia per una call che per una put, è correlato inversamente alla volatilità se l‟opzione è in the money, mentre sarà correlato positivamente nel caso in cui l‟opzione è out of the money. Ciò è ascrivibile al fatto che al crescere della volatilità saranno maggiori le probabilità che un‟opzione in the money scada at the money o out of the money e un‟opzione out

of the money scada at the money o in the money.

Formalmente il delta rappresenta la derivata prima del prezzo dell‟opzione rispetto al prezzo dell'attività sottostante (underlying asset):

Δ =

Dove po è il prezzo dell‟opzione e S è il prezzo del sottostante.

Grafico 4: Delta di un‟opzione: asse xprezzo dell‟azione; asse y prezzo dell‟opzione

Pendenza = Δ

Da un punto di vista matematico, il delta può essere interpretato come l‟ inclinazione della curva che pone in relazione il prezzo dell‟opzione e quello dell‟azione sottostante (vedi grafico soprastante)28.

28 _{Cfr. Hull J.C., Options, futures and other derivatives, pag.380.}

Prezzo opzione

Y

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Per esempio, un delta pari a 0.75 significa che quando il prezzo del sottostante registra una fluttuazione di un minimo importo, il prezzo dell‟opzione si modifica di circa il 3/4 (ovvero del 75%) di tale importo.

In un'ottica di hedging, il delta indica la quantità di sottostante da comprare/vendere per compensare le perdite/guadagni derivanti dal movimento del premio dell'opzione (strategia Delta neutral).

Esempio: si ipotizzi di aver comprato C = 100 opzione call, ognuna delle quali restituisce il diritto ad acquistare N = 100 azioni. Il prezzo del sottostante sia S = 10 Euro, il premio dell'opzione sia p = 1 Euro. Si ipotizzi che il Delta dell'opzione sia D = 0.40. Si può creare una strategia

Delta neutral vendendo (allo scoperto) una quantità pari a :

D x C x N = 0.40 x 100 x 100 = 4000 azioni. La verifica della validità della strategia è immediata.

Si supponga che:

o il prezzo dell'azione aumenti di 1 Euro: sulle 4000 azioni vendute si realizza una perdita di -4000 x 1= -4000 Euro. Contemporaneamente, il premio dell'opzione aumenta di 1 x 0.4 = 0.4 Euro, con un guadagno di

0.4 x C x N = 0.4 x 100 x 100 = + 4000 Euro.

o il prezzo dell'azione diminuisca di 1 Euro: sulle 4000 azioni vendute si realizza un guadagno di -4000 x -1 = +4000 Euro. Contemporaneamente, il premio dell'opzione diminuisce di -1 x 0.4 = -0.4 Euro, con una perdita di -0.4 x C x N = -0.4 x 100 x 100 = - 4000 Euro.

Appare chiaro come una strategia delta neutral, data dall'acquisto di 100 opzioni

call e dalla vendita di 4000 azioni sottostanti, non sia soggetta né a perdite né a

guadagni; il rischio legato all'andamento del prezzo del sottostante è stato coperto.

In realtà, non bisogna dimenticarsi che, trattandosi di una derivata di prim'ordine, il Delta indica la quantità esatta di sottostante da acquistare/vendere solo per piccoli movimenti del prezzo del sottostante. Infatti, il delta varia al

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variare del livello del prezzo del sottostante. In caso di grandi movimenti del prezzo del sottostante, il Delta non è più sufficiente per effettuare una copertura corretta. Il delta è inoltre influenzato dal livello della volatilità implicita e del tempo a scadenza. Per questa ragione, la strategia Delta neutral necessita in via teorica di continui ribilanciamenti al cambiare dei parametri di pricing dell'opzione.

Dunque dall‟esempio di cui sopra è possibile desumere due importanti informazioni attinenti tale coefficiente di primo ordine:

1) Il coefficiente in discorso è passibile di utilizzo per il calcolo della posizione in titoli equivalente ad una posizione in opzioni, infatti:

posizione equivalente in titoli = Numero opzioni x Delta x Lotto minimo (lot

size);

2) Per le opzioni di tipo call tale coefficiente è positivo, dato che un‟oscillazione positiva (negativa) del prezzo del sottostante origina un incremento (decremento) del valore dell‟opzione; relazione inversa invece lega il valore delle opzioni put e il prezzo del sottostante, dacché una variazione positiva (negativa) di quest‟ultimo genera una decrescita (crescita) del valore dell‟opzione, con la conseguenza che per le put il delta è negativo.

2.2.3. Il Gamma

Il coefficiente Gamma è un indice di sensibilità del secondo ordine in quanto può essere definito come la variazione del delta di un‟opzione per una variazione unitaria del prezzo del sottostante, assumendo costanti gli altri fattori.

Formalmente:

Γ =

Dove S rappresenta il prezzo del sottostante e po il prezzo dell‟opzione.

In termini matematici, come illustrato, il gamma è in funzione dal rapporto tra la derivata seconda del prezzo dell‟opzione e il prezzo del sottostante. Da notare che il coefficiente in questione dipende anche dalla volatilità del titolo

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sottostante, poiché ad esempio se consideriamo un‟opzione ATM su un titolo che ha bassa volatilità il gamma associato allo stesso sarà più elevato rispetto ad un‟opzione su un titolo ad alta volatilità, viceversa per un‟opzione OTM il gamme sarà più elevato per il sottostante con volatilità superiore. Una posizione d‟acquisto, quindi long sia su call che su put, ha un gamma positivo (o meglio maggiore o uguale a 0), mentre una posizione di vendita, dunque short ha un gamma negativo (o meglio minore o uguale a 0). E‟ evidente che la prima posizione genera benefici in termini di profitto se il mercato si muove rapidamente, mentre la seconda genera benefici se il mercato si mantiene in stabile. Al pari del delta, è caratteristica del gamma quella di non rimanere costante nel tempo: il coefficiente in questione assume il valore massimo per le opzioni at the money vicine alla scadenza, dato che è sufficiente una piccola variazione del sottostante per provocare un‟importante oscillazione del valore del delta (per la susseguente scadenza dell‟opzione in the money o out of the money), ed è tanto più piccolo quanto più grande è il divario esistente tra il valore del sottostante e il prezzo di esercizio. Diversamente, il gamma delle opzioni in the

money e out of the money ha un valore contenuto e resta approssimativamente

costante nel tempo, almeno sino a che non si giunge in prossimità della scadenza, dove il coefficiente in analisi mostra un‟accelerazione nella diminuzione del suo valore per la scarsa significatività delle variazioni del delta.

Il tutto è illustrato nel grafico sottostante .