Limite di una successione per n → +∞

n∈N

2

((−1)

)

Ad esempio nella seconda successione il dominio `e un sottoinsieme di N che parte da n0= 1.

Si dice che una successione an `e limitata inferiormente se ∃m : ∀n : an > m, ovvero se l’insieme dei valori di an `e limitato inferiormente. Analogamente si definisce il concetto di limitata superiormente. Una successione limitata sia superiormente che inferiormente si dice genericamente limitata.

4.1.2 Limite di una successione per n → +∞

Una delle informazioni che sono utili sapere su una successione, `e questa: come si comportano i valori successivi che assume an

man mano che n aumenta? O, in altre parole, a che valore si avvicinano (se mai si avvicinano ad un valore) i successivi an? Tale valore, espresso per ora in maniera alquanto intuitiva, `e detto limite della successione per n che tende a ∞ e si pu´o indicare con le seguenti notazioni: lim n→∞an = l an n→∞ −→ l a_n−→ l

Talvolta ci´o pu´o essere intuitivo analizzando i successivi valori della successione, altre volte molto di meno. Quel che serve in realt´a `e trovare una definizione che ci consenta di esprimere il fatto che la successione converga ad un certo valore, quando si prendono termini sempre pi´u avanti.

In pratica quello che si vuole dire `e che i vari a<sub>n</sub> si avvicinano sempre di pi´u ad un certo valore l man mano che n aumenta. Questo pu`o essere detto in questo modo: la distanza tra a_n ed l diventa sempre pi´u piccola (ovvero piccola a piacimento) quando n `e abbastanza grande. O ancora, dato un qualunque “errore” da assegnare ad l, tutti i punti della successione an dopo un certo nε sono compresi al suo interno. Scritto sotto forma di formula:

∀ε ∈ R, ε > 0, ∃nε∈ N : |an>nε− l| < ε

E questa `e la definizione di limite finito di una successione per n che tende a +∞ . L’espressione |an>n_ε− l| < ε pu´o anche essere riformulata come:

an∈ ]l − ε, l + ε[, n > nε

Quel che rende complessa questa definizione e la sua verifica `e l’arbitrariet´a di ε. ´

E facile dimostrare che:

Teorema 4.1.1 (Teorema sull’unicit`a del limite) Il limite di una successione, se esiste, `e unico.

Prendiamo per assurdo che esistano due limiti l1 ed l2 (l1 6= l2) per la successione an. Allora sar´a possibile trovare almeno un ε per il quale i due intervalli ]l1− ε, l1+ ε[ e ]l2− ε, l2+ ε[ non si intersecano. Per questo ε sicuramente non sar´a possibile che la condizione di limite valga sia per l1 che per l2, in quanto ogni punto di an pu´o stare in un intervallo o nell’altro, ma mai in entrambi assieme. Quindi, l₁ non pu´o essere diverso da l₂, il che `e come dire che il limite `e unico. CVD.

Da questa osservazione si pu`o poi anche dedurre un altro fatto, ovvero che ogni successione convergente `e limitata. Esempio 4.1.1 Preso 0 < α < 1, an= αⁿ, verificare che an→ 0.

Per verificare ci´o dobbiamo mostrare che per ogni ε > 0, qualunque esso sia, esiste sempre un indice nε della successione an

tale che, dopo di lui, |an− l| < ε, n > nε.

In questo caso abbiamo l = 0. Il membro sinistro della disuguaglianza diventa quindi −ε < an< ε, ovvero: (

−ε < αn

αⁿ< ε

Ora, la prima uguaglianza `e sempre verificata: −ε `e sempre negativo, αn `e invece sempre positivo. Sulla seconda possiamo invece compiere la semplice operazione di applicare ad entrambi i membri il logaritmo in base α, ricordando che a queste condizione esso `e una funzione decrescente, e quindi costringe ad invertire il verso della disuguaglianza:

ln_ααⁿ > ln_αε n > lnαε

Dato che ε `e positivo, esister´a sempre il logaritmo, e quindi un n cos´ı definito. Ecco che abbiamo trovato il nostro n_ε. Esempio 4.1.2 Dato an= ⁿ 2+ 2 2n2+ 1 dimostrare che an→ ¹ 2^.

Come prima, impostiamo il sistema di disuguaglianze e sviluppiamolo 1 2 − ε < ⁿ 2+ 2 2n2+ 1 ^{< ε +} 1 2 −ε < ⁿ 2+ 2 2n2+ 1 −¹ 2 ^{< ε} −ε < ²ⁿ 2+ 4 − 2n2− 1 4n2+ 2 ^{< ε} −ε < ³ 4n2+ 2 ^{< ε}

In quest’ultima disuguaglianza, come prima, il primo termine `e sempre vero, mentre il secondo `e da risolvere. 3 − 4εn2− 2ε 4n2+ 2 ^{< 0} 4εn²+ 2ε − 3 > 0 4εn²> 3 − 2ε n²> ^{3 − 2ε} 4ε n > r 3 − 2ε 4ε

Ed anche in questo caso abbiamo trovato la soluzione che cercavamo per n_ε.

Tuttavia, si devono ancora considerare un paio di casi sul comportamento della successione an quando si considerano termini sempre pi`u avanti. Questi infatti possono, ad esempio, diventare sempre pi`u grandi (in positivo, o negativo). In questo caso scriveremo: lim n→∞an= +∞ oppure lim n→∞an= −∞

In questo caso le definizioni di limite cambieranno leggermente: infatti ora non dobbiamo pi`u chiedere che gli an siano compresi in un certo intervallo, ma che siano sempre superiori al ε arbitrario maggiore di zero, o sempre minore di ε, questa volta considerato negativo (oppure positivo, ma con segno cambiato nella disuguaglianza):

4.1. SUCCESSIONI 25 • lim

n→∞a_n = +∞ ^def= ∀ε > 0 : ∃n_ε∈ N : an>nε > ε • lim

n→∞an = +∞ ^def= ∀ε < 0 : ∃nε∈ N : an>n_ε < ε

I tre limiti l ∈ R, +∞, −∞ sono esclusivi l’uno dell’altro, ma ci`o non significa che una successione debba obbligatoriamente tendere ad uno di questi tre valori.

Se una successione tende ad un valore reale, si dice allora che la successione `e convergente, se tende a pi`u o meno infinito che `

e divergente, altrimenti che `e irregolare o indeterminata, il che significa che non tende ad alcun valore. Esempio 4.1.3 Stabilire che la successione

an= (−1)^{n n}

n + 1^{, n ≥ 1} ha carattere irregolare.

L’unico sistema che abbiamo per verificare ci`o `e mostrare che non pu`o tendere n`e ad un valore finito, n`e a +∞, n`e a −∞. Inanzitutto osserviamo che

|an| = ⁿ n + 1 E questi sono tutti valori minori di 1. Quindi:

−1 < a_n< 1

I suoi termini sono alternativamente positivi e negativi (dovuto ci`o al termine moltiplicativo (−1)n). Quindi, sicuramente non tende n`e a +∞, n`e a −∞. Mostriamo che, se an tende ad un valore reale, questo valore deve essere 0, per mezzo di una breve dimostrazione per assurdo.

Infatti, se tendesse ad un l > 0, si potrebbe prendere sicuramente un ε tale che 0 < l − ε. In questo caso, l’intervallo ]l − ε, l + ε[ sarebbe composto solo da valori positivi, e la succesione an dovrebbe, da un certo nεin poi, essere costituita solo da termini positivi, cosa che non `e possibile per la natura alterna dei suoi segni. Quindi non pu`o essere vero che l > 0. Analogo ragionamento per l < 0. (Vedi pi`u avanti il Teorema sulla permanenza del segno – 4.1.2).

Quindi ora rimane da verificare se a_n tende a 0 o meno. Utilizzando la definizione di limite:

? ∃ nε: ∀n > nε:     (−1)^{n n} n + 1     < ε Possiamo ora compiere queste semplici operazioni:

n n + 1 ^{< ε} n < nε + ε n(1 − ε) | {z } a < ε |{z} b

Ora, se ε > 1, allora a < b, e la disuguaglianza `e sempre verificata, per qualunque n. Se invece 0 < ε < 1, allora devo risolvere:

n < ^ε 1 − ε

Quindi abbiamo che non per tutti gli ε si trova un nε - allora, an non tende neanche a 0.

Avendo esaurito tutte le possibilit`a, l’ultima che rimane `e che la successione data sia quindi irregolare. Esempio 4.1.4 Data

an = αⁿ, α > 1 Dimostrare che an→ +∞.

La dimostrazione `e molto semplice. Utilizzando la definizione: ∀ε > 0 : αⁿ> ε

Applichiamo il logaritmo in base α da entrambi i membri (questa volta non si deve invertire il verso perch´e, per basi maggiori di 1, il logaritmo `e una funziona crescente).

n > lnαε Quindi abbiamo trovato il nostro nε.

La piccola dimostrazione per assurdo utilizzata nell’esempio 4.1.3 si pu`o facilmente essere estesa al seguente teorema: Teorema 4.1.2 (Teorema della permanenza del segno) Data una successione a_n che tende ad un valore finito l, questa successione ha definitivamente il segno di l.