Volumi di solidi di rotazione

Z (6x − 1) dx 3x2− x + 1 ⁼

Z dt

t ^{= ln |t| + k = ln(3x}

2− x + 1) + k

Il secondo integrale `e invece di uno dei tipi visti precedentemente: in questo caso ∆ < 0, e quindi compiamo un completamento del quadrato. Il coefficiente della x sar`a√

3, poich`e (√

3x)2= 3x2. poi, −x = 2 ·√

3 · a · x, quindi a = −1/2√

3. Il quadrato cos`ı ottenuto si svilupperebbe per`o in x2− x + 1/12, mentre noi abbiamo 3x2− x + 1, e quindi:

Z 4 3x2− x + 1^{dx = 4} Z 1 √ 3x − 1 2√ 3 2 +11 12

A questo punto attraverso una sostituzione e la regola trovata precedentemente, si ottiene per questo secondo integrale il risultato: 8 √ 11^arctan "√ 11 2  x −¹ 6 ^#

Quindi, a questo punto basta sommare i due integrali trovati e si ha il risultato.

7.11 Volumi di solidi di rotazione

Una breve nota riguardo ai volumi dei cosiddetti solidi di rotazione. Vengono chiamati cos`ı quei solidi che si possono costruire partendo da una curva e facendola ruotare intorno ad un asse. Ad esempio il cilindro, il cono, la sfera, sono tutti solidi di rotazione.

Prendiamo un solido costruito facendo ruotare intorno all’asse x il tratto di grafico di una funzione continua f (x) presa nell’intervallo [a; b]. Intuitivamente (per una dimostrazione pi`u precisa occorrer`a prima studiare gli integrali doppi e tripli), il volume di questo solidi sar`a costituito dalla somma di tutti i vari cerchi che si sono formati per rotazione di ciascun punto del grafico. Ognuno di questi cerchi avr`a all’ascissa x area pari a πf²(x), quindi il volume del solido sar`a dato da:

V = π Z b

a

f²(x) dx Esempio 7.11.1 Calcolare il volume della sfera di raggio 1.

La sfera pu`o essere considerato un solido di rotazione, per la precisione dato dalla rotazione intorno all’asse x del semicerchio di raggio 1. Questo semicerchio avr`a come equazione analitica:

f (x) =^p1 − x2

Definita tra −1 ed 1; quindi la formula da utilizzare per calcolarne il volume sar`a: π Z 1 −1 p 1 − x2^ 2 dx = π Z 1 −1 (1 − x²) dx = π  x − ^x 3 3 1 −1 = ⁴ 3^π

Capitolo 8

Vettori, matrici e sistemi lineari

8.1 Vettori

Prima di poter passare all’esame delle funzioni in pi`u variabili, occorre studiare gli spazi di tipo R<sup>n</sup>. Questi insiemi numerici sono costituiti da n-uple ordinate di numeri di R, chiamati vettori. Il termine ordinate significa, molto semplicemente, che, ad esempio, il vettore (1, 2, 3) `e diverso dal vettore (1, 3, 2): l’ordine `e importante.

Esiste anche una facile interpretazione geometrica dei vettori. Prendendo i casi in cui n = 2 ed n = 3, i vettori possono essere rappresentati da punti degli spazi cartesiani bidimensionali o tridimensionali.

In generale, un vettore di componenti x₁, x₂, . . . , x_n si indica con la scrittura: (x1, x2, . . . , xn)

Una variabile di tipo vettore si pu`o indicare in vari modi: ~

x, x, x In questo testo sar`a utilizzata la prima notazione.

Se prendiamo due vettori ~x = (x₁, x₂, . . . , x_n) e ~x0 = (x0 1, x0

2, . . . , x0

n), allora si pone per definizione: ~

x + ~x^{0 def}= (x₁+ x⁰₁, x₂+ x⁰₂, . . . , x_n+ x⁰_n)

La somma cos`ı definita risulta sempre essere commutativa, associativa, possiede elemento neutro (~0 = (0, 0, . . . , 0)) ed ogni vettore possiede un inverso (−~x = (−x1, −x2, . . . , −xn)). Si scopre facilmente che il prodotto tra vettori non `e definibile come prodotto dei loro singoli componenti – per lo meno non senza perdere le propriet`a che gi`a conosciamo del prodotto. Tuttavia, `e facilmente definibile il prodotto per uno scalare:

λ~x = (λx₁, λx₂, . . . , λx_n)

Si pu`o inoltre definire il concetto di distanza tra due punti, o vettori, di Rⁿ estendendo semplicemente il concetto di distanza euclidea:

dist_~x→~y^def= ^p(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ . . . + (xn− yn)2

Anche in questo caso, la definizione di distanza rispetta tutte le propriet`a gi`a studiate in R. Inoltre, se prendiamo il caso n = 1, abbiamo ~x = (x₁) e ~y = (y₁), e la distanza diventa:

dist~x→~y=^p(x1− y1)2= |x1− y1| Che `e effettivamente la definizione gi`a usata in precedenza.

Possiamo quindi anche dire che:

|~x|^def= dist_~x→~0 e che

|~x − ~y|^def= dist_~x→~y

Bisogna ricordare, come gi`a fatto notare nello studio dei numeri complessi, che in un Rn generico non esiste alcuna relazione d’ordine che rispetti le propriet`a che si possono trovare in R.

8.1.1 Dipendenza lineare

Prendiamo k vettori di Rn: ~v₁, ~v₂, . . . , ~v_k e k scalari λ₁, λ₂, . . . , λ_k 93

A questo punto se considero la somma

λ₁~v₁+ λ₂~v₂+ . . . + λ_k~v_k Ho costruito una combinazione lineare di k vettori.

Un insieme di vettori ~v1, ~v2, . . . , ~vk si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare che valga 0 senza che tutti i suoi coefficienti siano nulli. In caso contrario si dicono lineamente indipendenti.

Questo in pratica significa che non `e possibile scrivere un vettore come combinazione lineare dei restanti.

Si verifica facilmente che questa ultima condizione in R2 coincide semplicemente con l’imporre che i due vettori non siano l’uno multiplo dell’altro.

Un importante teorema afferma che:

Teorema 8.1.1 In Rⁿ, k vettori ~vk sono dipendenti se k > n – il massimo numero di vettori indipendenti `e n.

Questo ad esempio significa che 3 vettori in R2 sono obbligatoriamente dipendenti, ed al massimo si possono avere 2 vettori indipendenti.

n vettori indipendenti di Rn

si dice che formano una base di Rn

. Ad esempio, una classica base di R2 `e la coppia ~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Dimostriamo che ~i e ~j sono indipendenti. Infatti, λ~i + µ~j = (λ, µ). Ora, dire che sono linearmente indipendenti significa che il fatto che una loro generica combinazione lineare `e nulla implica che i coefficienti della combinazione lineare sono nulli anch’essi. Ed in effetti, in modo alquanto ovvio:

(λ, µ) = ~0 =⇒ λ = 0 ∧ µ = 0 Con un metodo del genere di pu`o dimostrare che una qualunque n-upla di vettori:

~i1 = n componenti z }| { (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ~i2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) . . . ~in−1 = (0, 0, 0, . . . , 1, 0) ~in = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) In uno spazio Rn `e una base per questo spazio.

Per ritornare al nostro esempio, facilmente estendibile a spazi con dimensione maggiore, si pu`o notare che qualunque altro vettore di R2 pu`o essere scritto come combinazione lineare di ~i e ~j – infatti, per il teorema 8.1.1 una terna di vettori `e sempre linearmente dipendente.

La coppia ~i, ~j (o la n-upla ~i1, ~i2, . . . , ~in) viene detta base standard o canonica di R2

(o di Rn).

A parte la base canonica di uno spazio, ne esistono infinite altre. Ad esempio, sempre in R2, prendiamo la coppia: ~v1= (1, −1)

~v2= (1, 1) Anch’essa `e una base del nostr spazio; infatti:

λ~v1+ µ~v2= (λ + µ, −λ + µ)  λ + µ = 0 −λ + µ = 0  2µ = 0 λ = µ  λ = 0 µ = 0

Ecco quindi che abbiamo dimostrato l’indipendenza di questa coppia di vettori. Quindi, dovremmo essere in grado di rappre-sentare un qualunque vettore ~x = (x1, x2) sotto forma di combinazione lineare di questa base, ovvero ~x = λ~v1+ µ~v2. Da qui si ricava:  x1= λ + µ x₂= −λ + µ Da cui le soluzioni:        λ = ^{x1+ x2} 2 µ = ^x1− x2 2

8.2. MATRICI 95

Nel documento Appunti di Analisi Matematica (pagine 99-103)