Propriet` a delle serie

X n=0 qⁿ, q ∈ R

Dobbiamo per prima cosa trovare la legge delle somme parziali. Procediamo cos`ı: calcoliamo inanzitutto sn: sn = 1 + q + q²+ · · · + qⁿ

Quindi moltiplichiamo per q:

q · sn= q + q²+ q³+ · · · + qⁿ⁺¹ ed ora calcoliamo la differenza tra i due membri:

s_n− qs_n= (1 + q + q2+ q3+ · · · + qn) − (q + q2+ q3+ · · · + qn+1) (1 − q)sn= 1 − qn+1

sn =^{1 − q}

n+1

1 − q

Adesso che abbiamo un’espressione generale per l’n-simo termine della successione delle somme parziali (ottenuta presupponendo, si osservi, che q 6= 1) possiamo calcolare il suo limite per n che tende ad infinito. Considerando i vari casi, otteniamo:

• Per |q| < 1, qn+1tende a 0, quindi la serie tende al valore 1/(1 − q).

• Per q=1, esaminiamo direttamente la serie (non possiamo utilizzare la formula come premesso perch´e `e stata ottenuta partendo dal presupposto che q 6= 1): diventa:

1 + 1 + 1 + · · · + 1 + . . . che tende chiaramente ad infinito

• Per q > 1, qn+1 tende ad infinito, quindi abbiamo che il limite tende anch’esso ad infinito.

• Per q ≤ −1 la potenza qn+1diventa una successione irregolare, e cos`ırisulta anche il limite della successione delle somme parziali. Riassumendo: ∞ X n=0 qⁿ=      1 1 − q ^{se |q| < 1} +∞ se q ≥ 1 non esiste se q ≤ −1

4.2.2 Propriet`a delle serie

Alcune serie, come quella geometrica qui discussa, sono particolarmente importanti. Un altro genere di serie gi`a analizzato `e quello della serie armonica, ovvero:

1 + ¹ 2⁺ 1 3 ^{+ · · · +} 1 n^{+ · · · =} ∞ X n=1 1 n

che abbiamo dimostrato divergere a pi`u infinito. D’altronde, per`o, se consideriamo pi`u genericamente

∞

X

n=1

1 nk

(ovvero la cosiddetta “serie armonica generalizzata”) cosa otteniamo? Ora i valori della serie decrescono molto pi`u rapidamente di prima, quindi potrebbe succedere che la loro somma sia un numero reale. Si pu`o dimostrare che la serie armonica generalizzata converge per k > 1 e diverge per i k ≤ 1. Ad esempio, per k = 2, converge al valore π2/6. Intanto possiamo gi`a dimostrare che essa `e convergente utilizzando un paio di considerazioni.

Prima per`o enunciamo una facile proposizione: Teorema 4.2.1

∞

X

n=0

4.2. SERIE NUMERICHE 35 Importante `e il fatto che l’implicazione va in un unico verso: ovvero, la convergenza a 0 della successione dei termini della serie `

e condizione necessaria, ma non sufficiente! Questo significa che si pu`o dimostrare che una serie non `e convergente mostrando che la successione a_n non converge a 0, ma il fatto che a_ntenda a 0 non permette di dire che la serie sia convergente (ad esempio la serie armonica semplice ha termini che tendono a 0, ma non converge).

Questa proposizione si dimostra facilmente: infatti, se supponiamo che la serie in questione sia convergente ad s, significa che sn→ s, e quindi:

an= (sn− sn+1) → (s − s) = 0 CVD.

D’ora in poi, a meno che non venga detto il contrario, si considereranno solo serie a termini positivi, ovvero in cui an ≥ 0. Qual’`e il vantaggio di questa scelta? `E che sicuramente queste serie avranno risultato, finito o infinito. Infatti la successione delle somme parziali risulta crescente, e si dimostra facilmente:

sn< sn+1 sn+1− sn> 0 an+1> 0

Il che `e vero per ipotesi. Ripercorrendo le uguaglianze al contrario si ha la dimostrazione cercata. Quindi, per il Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monot`one ( 4.1.3), abbiamo che la serie o converge ad un valore finito, oppure a pi`u infinito. Ovviamente tutti i discorsi che si faranno in seguito varranno anche per serie a tutti termini negativi.

Inoltre, sussiste anche il seguente criterio, chiamato:

Criterio 4.2.2 (Criterio d’equivalenza (o criterio del confronto asintotico)) Se an ∼ bn, allora le serie

∞ X n=0 an e ∞ X n=0 bn

hanno lo stesso comportamento, ovvero sono entrambe o divergenti o convergenti Dimostreremo ci`o fra poco.

Esempio 4.2.2 Dimostrare che la serie

∞ X n=1 1 n2 ` e convergente.

Per dimostrare ci`o prima dimostreremo che un’altra serie `e convergente, per la precisione la cosiddetta serie di Mengoli. Questa `e la serie: ∞ X n=1 1 n(n + 1) Osserviamo inanzitutto che ciascun termine si pu`o riscrivere come:

1 n(n + 1) ⁼

1 n− ¹

n + 1 Quindi, troviamo la somma parziale n-sima:

sn= ¹ 1 · 2⁺ 1 2 · 3⁺ 1 3 · 4^{+ · · · +} 1 n(n + 1) che si pu`o anche scrivere come:

sn= 1 −¹ 2 | {z } 1 1·2 +¹ 2−¹ 3 | {z } 1 2·3 +¹ 3−¹ 4 | {z } 1 3·4 + · · · + ¹ n − ¹ n + 1 | {z } 1 n(n+1) = 1 − ¹ n + 1

A questo punto possiamo calcolare il limite di sn per n che tende ad infinito, e otteniamo: lim

n→∞sn= 1 Il quale quindi `e anche il risultato della serie.

Torniamo ora alla serie originale, e verifichiamo che i termini della sua successioni sono asintotici con quelli della serie di Mengoli: 1 n2 1 n(n+1) = ¹ n2· (n2+ n) =ⁿ 2+ n n2

che `e una successione che chiaramente tende ad 1. Le due serie sono quindi convergenti e, per il criterio di equivalenza, hanno lo stesso comportamento: la serie armonica data quindi converge.

Facciamo notare inoltre che solamente il comportamente `e lo stesso, ma non il valore a cui tendono: la serie di Mengoli tende ad 1, quella armonica considerata al ben pi`u strano valore π2/6.

Il criterio di equivalenza ci consente di determinare molto spesso il carattere di una serie senza particolari difficolt`a, anche quando la serie in questione appare piuttosto complessa: basta riuscire a trovarne un’altra asintotica alla prima.

Esempio 4.2.3 Determinare che la serie

∞ X n=0 n²+ 1 n4+√ n + 2 converge o meno.

Osserviamo senza molti problemi che la successione dei termini della serie `e asintotica a 1/n² – dato che abbiamo dimostrato la convergenza di questa serie, anche quella data risulta convergente.

Il criterio di equivalenza `e un caso particolare del pi`u vasto principio seguente: Criterio 4.2.3 (Criterio del confronto) Date due serie

∞ X n=0 an e ∞ X n=0 bn

a termini positivi, se ∃c > 0 : an≤ c · bn, ∀n ∈ N, allora abbiamo che: • SeP bn converge, alloraP an converge.

• SeP an diverge, alloraP bn diverge.

Dimostrare il criterio di equivalenza a partire da questo `e abbastanza facile. Inanzitutto, abbiamo che, se a_n∼ bn, allora:

lim

n→+∞

a_n bn

= 1 Il che, utilizzando la definizione di limite, significa che

∀ε ≥ 0, 1 − ε <^an bn

< 1 + ε, n > nε

Il che, se vale per qualunque ε, varr`a in particolare per qualunque ε che renda la differenza 1 − ε positiva, ovvero per qualunque ε ≤ 1.

Ora, i rapporti di successione non considerati sono quelli con coefficiente ≤ n_ε, quindi comunque un numero finito di valori. Quindi, potr`o sempre avere tra di loro un minimo m ed un massimo M :

0 < m ≤ ^an bn

≤ M, n ≤ nε

Ora, considerando entrambe le disuguaglianze scritte, si trova che in generale i rapporti an/bn saranno maggiore del pi`u piccolo tra 1 − ε > 0 ed m, e saranno minori del pi`u grande tra 1 + ε ed M , quindi abbiamo che:

0 < min(1 − ε, m) ≤ ^an bn

≤ max(M, 1 + ε) Ora, chiamiamo il valore minimo k ed il massimo h. Abbiamo quindi:

0 < k ≤ ^an bn

≤ h

Ora, il “0 <” ad inizio disuguaglianza ci assicura che lavoriamo con valori positivi e non dobbiamo quindi neanche preoccuparci di cambiamenti di verso della disuguaglianza con divisioni e moltiplicazioni.

Dal primo termine ricaviamo quindi che

an≤ hbn, ∀n ∈ N e quindi per il criterio del confronto (h > 0), questo significa che:

• Convergenza di bn =⇒ Convergenza an

• Divergenza di an=⇒ Divergenza bn

Dalla prima uguaglianza troviamo invece che:

bn ≤ ¹ k^an E quindi, sempre per il criterio del confronto (1/k > 0), abbiamo che:

• Convergenza di a_n=⇒ Convergenza b_n • Divergenza di bn=⇒ Divergenza an

Ora, unendo i due blocchi di affermazioni abbiamo: • Convergenza di an⇐⇒ Convergenza bn

• Divergenza di a_n⇐⇒ Divergenza b_n

4.2. SERIE NUMERICHE 37