6.7 Utilit` a della derivata prima
6.7.2 Relazione tra monotonia e segno di f 0 (x)
La relazione tra questi due fatti `e spiegata dal seguente teorema:
Teorema 6.7.2 Data una f : I → R, dove I `e un intervallo, ed f derivabile in I, si ha che sono equivalenti i due seguenti: • f `e crescente su I
• ∀x ∈ I : f0(x) ≥ 0 (la derivata della funzione su I `e sempre positiva)
Ovviamente, nel caso opposto si avr`a una funzione decrescente ed una derivata sempre negativa.
Per dimostrare il teorema, bisogna prima dimostrare che la prima proposizione implica la seconda, quindi che la seconda implica la prima.
Per quanto riguarda la prima, si tratta di dimostrare che, a partire dall’ipotesi che: ∀x1, x2∈ I, x1< x2: f (x1) ≤ f (x2) Si ha che
∀x ∈ I : f0(x) ≥ 0
Per fare ci`o, prendo un x ∈ I, calcolo il rapporto incrementale tra questo x ed x0: f (x) − f (x0)
x − x0
Se x0> x, avr`o che x − x0≤ 0 e che f (x0) ≥ f (x) (per ipotesi la funzione `e crescente . . . ), e quindi f (x) − f (x0) ≤ 0. Il rapporto incrementale risulta quindi il rapporto tra due valori negativi o nulli, e quindi il risultato sar`a positivo o nullo. Nel caso opposto, ovvero x0< x, avrei invece il rapporto di due valori entrambi positivi o nulli, e quindi avrei sempre un rapporto positivo o nullo. Il limite per x → x0deve quindi sempre darmi un risultato positivo o nullo, ma questo limite `e la derivata della funzione, ovvero:
∀x ∈ I : f0(x) ≥ 0 Ed ecco che la prima parte del teorema `e dimostrata
Per la seconda parte invece occorre utilizzare il cosiddetto Teorema di Lagrange, che dimostreremo poco pi`u avanti ( 6.7.4)e che dice che, per una funzione f derivabile in [a, b] e derivabile in (a, b), esiste sempre un punto c, interno all’intervallo, tale che
f0(x) = f (b) − f (a) b − a
Quindi, tornando al nostra teorema, prendiamo due punti x1 ed x2: Lagrange dice che ∃c ∈ (x1; x2) : f0(c) = f (x1) − f (x2)
x2− x1
Ma f0(c) ≥ 0 per ipotesi, x2> x2per costruzione, e quindi anche il numeratore della nostra frazione deve essere positivo o nullo: f (x2) − f (x1) ≥ 0
Ovvero
f (x2) ≥ f (x1) Ecco dimostrato il nostro teorema.
A questo punto possiamo dire qualcosa di pi`u sulla ricerca dei massimi e dei minimi. Se prendiamo un punto x0 nel quale la derivata cambia segno, ad esempio, da negativo (nell’intervallo [x0− δ; x0]) a positivo (nell’intervallo [x0; x0+ ε], avremo che, per continuit`a, nel punto x0 la funzione `e nulla, e quindi potrebbe presentare un massimo o minimo. Ma, in effetti, nell’intervallo [x0− δ; x0] la funzione `e descrescente, dato che la derivata ha segno negativo, mentre in [x0; x0+ ε] `e crescente, e quindi abbiamo che:
∀x ∈ [x0− δ; x0] : f (x) ≥ f (x0) Dato che x < x0, ed inoltre:
∀x ∈ [x0; x0+ ε] : f (x) ≥ f (x0) Poich´e x > x0. Unendo le due affermazioni, si ha che
∀x ∈ [x0− δ; x0+ ε] : f (x) ≥ f (x0)
Dato quindi che in un intorno di x0 la funzione `e maggiore di f (x0), x0`e un punto di minimo relativo. Il discorso inverso vale per punti di massimo relativo, e si ha una regola generale che ci dice che:
Teorema 6.7.3 Se nel punto x0la funzione f0cambia di segno da negativo a positivo, si ha un punto di minimo relativo, mentre se cambia segno da positivo a negativo si ha invece un punto di massimo relativo.
Quindi, se la funzione non cambia di segno, non si ha n´e massimo n´e minimo. Esempio 6.7.2 Studiare
f (x) = x2e−x
Calcoliamo la derivata prima:
f0(x) = 2xe−x− x2e−x= xe−x(2 − x)
Questa funzione si annulla nei punto x = 0 ed x = 2. Nel primo punto si ha ovviamente un minimo, poich´e in 0 la funzione vale 0, mentre per tutti gli altri punti ha sempre valore positivo. Nel punto 2 invece? Se esaminiamo il segno della derivata prima, otteniamo che nell’intervallo (−∞, 0) `e negativa, in (0; 2) `e positiva e infine in (2; +∞) `e di nuovo negativa. Quindi, nel punto 0 si ha un minimo come gi`a avevamo constatato, mentre nel punto 2 si ha un massimo.
Ora che abbiamo trovato a grandi linee il comportamento della funzione in un intervallo finito, vediamo il suo comportamento ±∞: lim x→+∞f (x) = lim x→+∞ x2 ex = 0 e lim x→−∞f (x) = lim x→−∞ x2 ex = +∞ Quindi il grafico della funzione avr`a approssimativamente questo andamento:
Dato che `e una funzione continua che ha per dominio un intervallo (R), avr`a un intervallo anche per sua immagine, e dato che contiene i valori 0 come minimo e +∞ come massimmo, tale intervallo sar`a R+, per il teorema di Bolzano.
Esempio 6.7.3 Per quali valori di λ, l’equazione
x2e−x= λ Ha 3 soluzioni distinte?
Noi sappiamo che il problema di trovare le soluzioni di un’equazione f (x) = k pu`o anche essere visto in chiave geometrica, ovvero diventa il problema di trovare le intersezioni tra la retta y = k e la curva y = f (x). Nel nostro caso abbiamo gi`a il grafico della curva y = f (x), e ci viene chiesto in pratica quali rette y = λ intersecano in 3 punti questo grafico. Esaminiamo i vari casi che si presentano:
• Per λ < 0, non ci sono intersezioni.
• Per λ = 0, `e presente una sola intersezione (x = 0).
• Per 0 < λ < f (2) = 4/e2, si hanno tre intersezioni, (x1< 0, 0 < x2< 2, x3> 2). • Per λ = 4/e2, si hanno due intersezioni (x1< 0, x2= 2).
6.7. UTILIT `A DELLA DERIVATA PRIMA 63 Come si pu`o notare, dal semplice studio del grafico della funzione si `e ricavata una notevole mole di dati. La soluzione del problema sar`a quindi:
0 < λ < 4 e2
Da notare anche il fatto che noi non abbiamo per nulla risolto l’equazione, cosa d’altronde molto probabilmente impossibile con gli strumenti a nostra disposizione.
Un teorema che avevamo lasciato non dimostrato era:
Teorema 6.7.4 (Teorema di Lagrange, o del valor medio) Presa una funzione f : f : [a; b] → R
continua su [a; b] e derivabile su (a; b), allora:
∃c ∈ (a; b) : f0(c) = f (b) − f (a) b − a
Ovvero esiste sempre almeno un punto interno all’intervallo nel quale la tangente alla funzione `e parallela alla retta passante per i punti agli estremi dell’intervallo.
Inanzitutto, spieghiamo l’equivalenza tra la formula data e la sua spiegazione. Sappiamo che f0(c) `e il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f nel punto c. Il secondo membro dell’uguaglianza in realt`a non `e altro che l’espressione per trovare il coefficiente angolare della retta passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)), che sono per l’appunto i punti estremi dell’intervallo. Se queste due rette hanno coefficiente angolare uguale, significa che hanno la stessa pendenza, ovvero che sono parallele.
Da notare subito che questo teorema non esclude che i punti in cui ci`o avviene siano addirittura pi`u di uno! Per dimostrarlo si parte inanzitutto col caso in cui f (a) = f (b); l’enunciato del teorema diventa quindi il seguente: Teorema 6.7.5 (Teorema di Rolle) Presa una funzione f :
f : [a; b] → R
continua su [a; b], derivabile su (a; b) e con valori uguali agli estremi (f (a) = f (b)), allora: ∃c ∈ (a; b) : f0(c) = 0
Ovvero esiste sempre almeno un punto interno all’intervallo nel quale la tangente alla funzione `e parallela all’asse x.
Se la funzione f (x) `e costante, il teorema `e dimostrato, in quanto non solo uno, ma tutti i punti nell’intervallo hanno derivata nulla.
In caso contrario, dato che la funzione `e considerata continua, allora, per il teorema di Weierstrass, possiede minimo (m) e massimo (M ) assoluti. Sicuramente, m < M , poich´e la funzione non `e costante. Quindi, abbiamo che:
m = f (α) M = f (β)
m < M =⇒ α 6= β
Dato che f (a) = f (b), sicuramente non pu`o essere che a = α e b = β, altrimenti avremmo f (α) = f (β), ovvero m = M . Quindi, almeno uno dei due punti deve essere interno all’intervallo, ma in quel caso, avremo che o il massimo, o il minimo, `e interno all’intervallo, e quindi in questi punti la funzione avr`a derivata nulla. CVD.
Passando nuovamente al caso generale, come vedremo potremo servirci di questo risultato parziale per costruire la nostra dimostrazione. Adesso siamo di nuovo nel caso in cui f (a) ed f (b) non devono necessariamente essere uguali, e cerchiamo un punto in cui
f0(c) = f (b) − f (a) b − a Prendiamo ora una funzione ausiliaria, chiamiamola F , cos`ı definita:
F (x) = f (x) −f (b) − f (a) b − a (x − a)
Dato che abbiamo sottratto ad f (derivabile) un polinomio di primo grado in x (derivabile anch’esso), avremo quindi ancora una funzione derivabile, ovvero la nostra F . A questo punto calcoliamo il valore di questa nuova funzione in a e b:
F (a) = f (a) −f (b) − f (a)
b − a (a − a) = f (a) F (b) = f (b) −f (b) − f (a)
Quindi, F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, dato che `e continua, derivabile ed ha uguali valori agli estremi. Quindi, esiste almeno un punto c ∈ (a; b) tale per cui vale:
F0(c) = 0 Ma
F0(x) = f0(x) −f (b) − f (a) b − a E quindi la relazione trovata equivale a:
f0(c) −f (b) − f (a) b − a = 0 Che `e poi:
f0(c) = f (b) − f (a) b − a Ecco trovato il nostro punto c. CVD.