Il Metodo D8-LTD come criterio di estra zione dei reticoli idrograc

L'algoritmo utilizzato per delineare il reticolo di drenaggio delle strutture uviali (grid networks) qui prese in esame è denominato D8-LTD (eight drai- nage directions, least transversal deviation) [63]. Quest'ultimo è un metodo non dispersivo per la determinazione delle direzioni di drenaggio nei modelli digitali del terreno su griglia rettangolare. In particolare, seguendo la formu- lazione di Tarboton [91], la topograa del terreno viene descritta congiungen- do il centro della cella centrale con quelli delle celle di contorno inquadrate da una nestra mobile 3 × 3, in modo da formare otto faccette triangolari. Uno schema del sistema di calcolo elementare è riportato in Figura (5.3). La direzione teorica di drenaggio (TDD) viene quindi denita come quella di massima pendenza identicabili su tali faccette. Tale direzione può assumere valori variabili con continuità tra 0 e 2π radianti e generalmente non coincide con nessuna delle otto direzioni principali di drenaggio denibili collegando il centro della cella centrale con quello delle celle di contorno.

Nello specico, la geometria di ogni faccetta (vedi schema riportato in Figura 5.3) risulta caratterizzata dalle quote ei(i = 0, 1, 2) e dalle distanze di(i =

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Figura 5.3: Schema del sistema elementare utilizzato dal metodo D8-LTD (Figura tratta da [63]).

s2 = (e1− e2)/d2, l'angolo rispetto alla direzione cardinale della faccetta r e

la pendenza smax del percorso di massima pendenza sulla generica faccetta

risultano espressi dalle relazioni:

r = arctan(s2/s1) (5.1) smax = (s21+ s 2 2) 1/2 . (5.2)

Se r non appartiene all'intervallo [0, arctan(d2/d1)], allora r ed smax devono

essere rideniti in modo da individuare il percorso di massima pendenza che eettivamente appartiene alla faccetta triangolare. Se r < 0, allora r e smax

devono essere impostati rispettivamente pari a 0 e s1. Se r > arctan(d2/d1),

allora r ed smax devono essere impostati rispettivamente pari a arctan(d2/d1)

e (e0− e2)/(d21 + d22)1/2. Le quote dei vertici di ogni faccetta triangolare del

sistema descritto nella Figura (5.3) sono riportati nella Tabella (5.1). La direzione teorica di massima pendenza da attribuire alla generica cella è de- terminata come la direzione di massima pendenza tra quelle calcolate sulle otto faccette aventi vertice e0 nel centro della cella stessa. La TTD calcolata

in un determinata cella del DEM generalmente non segue una delle direzioni cardinali (0, π/2, π, e 3π/2) o diagonali (π/4, 3π/4, 5π/4, e 7π/4 radian- ti quando sono usate le celle quadrate) che possono essere selezionate. Le possibili direzioni di drenaggio da una data cella del DEM sono identicate usando un puntatore p che denota il numero della cella locale della cella dre- nante (vedi Figura 5.3). Più precisamente, i puntatori associati alle direzioni

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Tabella 5.1: Fattori per il calcolo della direzione di drenaggio e della devia- zione trasversale in ogni faccetta triangolare del sistema elementare descritto nella Figura (5.3) [63].

F attore 021 023 063 069 089 087 047 041

e0 ei,j ei,j ei,j ei,j ei,j ei,j ei,j ei,j

e1 ei−1,j ei−1,j ei,j+1 ei,j+1 ei+1,j ei+1,j ei,j−1 ei,j−1

e1 ei−1,j ei−1,j ei,j+1 ei,j+1 ei+1,j ei+1,j ei,j−1 ei,j−1

p1 2 2 6 6 8 8 4 4

p2 1 3 3 9 9 7 7 1

σ +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1

cardinali e diagonali della faccetta contenente la TDD sono nominati rispet- tivamente p1 e p2 (vedi Tabella 5.1).

Nel classico metodo D8 proposto da O'Callaghan and Mark [62] la direzione di drenaggio coincide con una delle otto direzioni principali ed assicura la minima deviazione angolare tra direzione determinata e direzione teorica di drenaggio (TDD). Il metodo D8-LTD, invece, propone una strategia basata sul concetto di deviazione trasversale tra centro della cella drenante (posta a valle di quella di riferimento) e direzione teorica di drenaggio. Inoltre, le deviazioni trasversali vengono sommate algebricamente lungo il percorso di drenaggio e, ad ogni passo, la direzione di drenaggio viene determinata mini- mizzando il modulo della deviazione trasversale cumulata. Alla prima cella di un percorso di drenaggio, le deviazioni trasversali cumulate tra le direzioni possibili e quella teorica sono date dalle relazioni:

δ+₁(1) = σd1sin α1 (5.3)

δ₂+(1) =−σ(d2₁+ d2₂)1/2sin α2 (5.4)

dove σ è il segno assegnato ad ogni deviazione che può vericarsi nelle otto faccette triangolari del sistema di calcolo elementare. Questo segno consente un signicativo (aritmetico) accumulo di deviazioni lungo il per- corso di drenaggio. Inoltre, σ è denito nella Tabella (5.1), α1 = r e

α2 = arctan(d2/d1)−r (vedi Figura 5.3). La direzione di drenaggio, associata

al puntatore p denito nella Tabella (5.1), è selezionata tra le due possibili in modo da minimizzare il modulo della deviazione trasversale cumulata:

se|δ₁+(1)| ≤ |δ₂+(1)|, δ+(1) = δ+₁(1), p = p1 (5.5)

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Alla k−esima cella di un percorso di drenaggio (k = 1, 2, ...), le deviazioni trasversali cumulate tra le direzioni possibili e quella teorica sono date dalle relazioni:

δ+₁(k) = σd1sin α1 + λδ+(k− 1) (5.7)

δ+₂(k) = σ(d2₁ + d2₂)1/2sin α2+ λδ+(k− 1), (5.8)

dove λ è un fattore di smorzamento che può variare tra 0 e 1. La direzione di drenaggio, associata al puntatore p nella Tabella (5.1), è selezionata tra le due possibili in modod da minimizzare il modulo della deviazione trasversale cumulata δ+_{(k) (k = 1, 2, ...):}

se|δ₁+(k)| ≤ |δ₂+(k)|, δ+(k) = δ+₁(k), p = p1 (5.9)

se|δ₁+(k)| > |δ₂+(k)|, δ+(1) = δ+₂(k), p = p2. (5.10)

Per λ = 0, la determinazione della direzione di drenaggio da ogni cella è condotta considerando le sole condizioni locali δ1(k) e δ2(k) (k = 1, 2, ...).

Per 0 < λ ≤ 1, la determinazione della direzione di drenaggio dipende an- che dalle scelte operate ai passi precedenti lungo il percorso di drenaggio. L'algoritmo che implementa il metodo D8-LTD per l'estrazione dei reticoli di drenaggio richiede che venga operato un processo di eliminazione delle depressioni superciali presenti nei modelli digitali del terreno e che le celle vengano processate in ordine di quota decrescente. L'algoritmo può in tal modo identicare i percorsi di drenaggio che hanno origine in celle non ancora processate e hanno termine quando viene incontrata una cella già processata o la cella di chiusura del bacino [63].

Nel prossimo capitolo verrà illustrata la valutazione della legge di scala che permette di descrivere il comportamento scala-invariante delle condizioni so- glia di innesco canali geomorfologicamente attivi, attraverso un'analisi di scala (coarse graining analysis). L'analisi di coarse graining, in particolare, rappresenta l'insieme delle operazioni che si compiono quando si passa da una scala di osservazione più dettegliata a una più grossolana, in termine di risoluzione spaziale delle celle h. Le reti uviali oggetto di indagine sono sta- te ricavate a partire da supporti digitali di elevazione rilevati tramite tecnica Lidar, estraendo i percorsi superciali di usso attraverso il suddetto criterio e ordinando quest'ultimi secondo il criterio gerarchico di Horton-Strahler.

Capitolo 6

Applicazioni alle reti uviali: