Sviluppi analitici sul grado di giunzione me dio all'ordine ω

Il confronto tra modelli teorici di reti uviali con reti uviali reali è stato oggetto di indagine per molti anni e nella letteratura specialistica, a tal pro- posito, sono stati sviluppati numerosi studi. Tra tutti questi si ricordano ad esempio quelli di Howard [42], Willgoose et al.[97, 98, 99, 100], Kirchner [45], Rodriguez-Iturbe e Rinaldo [75], Rinaldo et al. [74], Perron et al. [69], Rosso et al. [76, 77], La Barbera e Rosso [46, 47, 48]. Questi studi sono tutt'ora di grande importanza per la comprensione dei meccanismi che controllano l'origine e le dinamiche delle reti uviali naturali. In questo contesto assu- me un ruolo di fondamentale importanza l'accuratezza dei dati estratti da DEM. In questo paragrafo, sulla base del modello analitico di De Bartolo et al. [17] a tre parametri, i cui aspetti analitici saranno mostrati nel successivo sotto-paragrafo, sarà presentato un nuovo modello perturbato del grado me- dio di giunzione che permetterà di eettuare un nuovo confronto tra modelli di reti uviali teorici e naturali. In particolare, lo scopo è quello di misurare la vicinanza o la distanza di una rete uviale hortoniana rispetto alla rete deterministica di Peano attraverso il solo parametro di uniformità γ.

4.2.1 Modello a tre parametri

Il comportamento del ⟨kn(ω)⟩ per una generica rete uviale può essere va-

lutato direttamente dalla media relativa a ciascun grado di giunzione medio ottenuto nel processo di gerarchizzazione ω [17]. Nell'analisi condotta da De Bartolo et al. nel 2009, i dati calcolati sperimentalmente sono stati utilizzati come valori di input in una procedura non lineare di best-tting caratteriz- zata da una idonea famiglia di funzioni interpolanti. La famiglia di funzioni è stata scelta in base al caso esatto fornito dalla rete deterministica di Peano. Questa funzione, in particolare, soddisfa l'equazione dierenziale di Bernoulli (3.33), di cui al paragrafo (3.3), con parametri specici β, λ e γ [17]:

⟨kn(ω)⟩ =

1

β + γe−λω. (4.12)

Si può osservare che, in forza della condizione iniziale, all'ordine ω = 1, le variabili β, λ e γ risultano essere correlate dall'equazione:

β + γe−λ = 1. (4.13)

L'indagine condotta sulla rete uviale del Corace ha consentito di determi- nare i coecienti costanti della funzione (4.12), ovvero β, λ e γ, i quali sono

Capitolo 4 - Introduzione al coeciente di uniformità γ 37

risultati essere pari rispettivamente a 0.499, 1.384 e 2.001. Inne, sostituen- do i valori numerici dei coecienti nell'equazione (4.13), è stato trovato che β + γe−λ = 1.0006. Questa relazione ha permesso di stabilire che l'equa- zione (4.12) può essere usata come legge generale per una descrizione delle dipendenze del grado medio di giunzione, ⟨kn(ω)⟩, dall'ordine ω di Horton.

4.2.2 Modello perturbato a un parametro: introduzione

al coeciente di uniformità γ

Sulla base del precedente modello a tre parametri, si osserva dalla relazione (4.13) che λ = − ln(1−β

γ ), e quindi l'equazione precedente (4.12) diventa

⟨kn(ω)⟩ =

1 β + γeln(1−βγ )ω

. (4.14)

Una ulteriore equazione supplementare è fornita dalla condizione asintotica [17]:

lim

ω→∞⟨kn(ω)⟩ = 2 (4.15)

la quale implica che 1. non può essere 1−β

γ > 1, altrimenti il limite sarebbe 0;

2. da 1−β

γ ≤ 1 ne consegue che lim_ω→∞e

ln(1−β_γ )ω = 0 e che 2 = lim ω→∞ 1 β + γeln(1−βγ )ω = 1 β, da cui otteniamo β = 1 2.

Le condizioni precedenti mostrano che deve essere valida anche la seguente relazione: ⟨kn(ω)⟩ = 2 1 + 2γeln(2γ1 )ω , (4.16) e pertanto ⟨kn(ω)⟩ = 2 1 + ( 1 2γ )ω−1 (4.17)

in considerazione della proprietà eln(_2γ1)ω

= (_2γ1)ω_{. Questa relazione è impor-}

tante perchè, oltre ad essere un ulteriore anamento della relazione (4.12) [17], essa permette di connettere ⟨kn(ω)⟩ all'ordine ω attraverso un unico

parametro γ. Inoltre, la (4.17) può essere vista come un modello perturbato del grado medio di giunzione (vedi equazione (3.32)) per la rete di Peano. La stessa, infatti, sottolinea la possibilità dell'esistenza di reti ad albero (e

Capitolo 4 - Introduzione al coeciente di uniformità γ 38

in ogni caso uviali) vicine alla rete di Peano, se la distanza di confronto è misurata mediante il grado medio di giunzione. In eetti, l'equazione (3.32) può essere ottenuta dalla equazione (4.17), impostando γ = γP = 2. Per-

tanto, sulla base delle osservazioni sopra menzionate e come sarà dimostrato in seguito, tale parametro può essere considerato come un fattore di unifor- mità (vicinanza o distanza) rispetto alla rete uviale di Peano. Dall'analisi dell'equazione (4.17), possiamo osservare inoltre che γ > 1

2. Infatti, ⟨kγ(ω)⟩ = 2 1 + ( 1 2γ )ω−1 > 1 (4.18)

se ω ≥ 2 il che implica che (1 2γ

)ω−1

< 1. Questo signica che non esistono reti uviali con γ < 1

2, mentre per γ = 1

2 possiamo semplicemente congurare

una rete non realistica composta da segmenti del primo ordine costituiti da soli nodi sorgente. Per quanto riguarda i valori di γ, per qualsiasi rete uviale reale, questi possono essere stimati attraverso una procedura di regressione non lineare, sulla base dei dati osservati del ⟨kn(ω)⟩, mediante la funzione

⟨keγ(ω)⟩. Questa procedura permette la denizione della vicinanza strutturale

tra le reti di versante (grid networks) e di canale (channel networks) alla rete deterministica di Peano, anche in considerazione della risoluzione spaziale delle celle h (coarse graining analysis), utilizzando un criterio di estrazione come il metodo D8-LTD [63, 64, 66] o altri metodi [62, 57]. Analogamente, confronti simili possono essere eettuati per comprendere le forme uviali, che caratterizzano le strutture morfologiche delle reti uviali come compatte e allungate. Inoltre, la relazione (4.18) assume, per valori di γ nell'intorno di γP, variazioni particolari in corrispondenza degli stessi ordini ω. Infatti, in

accordo all'approssimazione in serie di Taylor del primo ordine, la relazione (4.18) può essere riscritta come:

⟨kγ+δγ(ω)⟩ = ⟨kγ(ω)⟩ +

d

dγ⟨kγ(ω)⟩δγ + · · ·. (4.19) Perciò, assumendo che il valore esatto di γ non è noto, ma si conosce solo un valore approssimato eγ = γ + δγ, l'errore commesso calcolando il grado medio di giunzione, ⟨kn(ω)⟩ (prossimo a ⟨kγ(ω)⟩), con la relazione ⟨keγ(ω)⟩ uguale

alla relazione (4.18), è proporzionale, attraverso l'equazione (4.19), all'errore eγ − γ per un fattore:

d dγ⟨kγ(ω)⟩ = 22−ω(1 γ )ω (ω− 1) [ 1 + 2ω−1 ( 1 γ )ω−1]2. (4.20)

Capitolo 4 - Introduzione al coeciente di uniformità γ 39

È facile osservare, per un intorno di γ = 2, che la massima variazione di ⟨kγ(ω)⟩ è in corrispondenza di ω = 2. Valori gradualmente decrescenti si ot-

tengono per ordini ω > 2. In Figura (4.2), a titolo di esempio, sono riportati i valori di ⟨kγ(ω)⟩ in funzione dell'ordine ω con la perturbazione di γ nell'in-

tervallo costituito dagli estremi 1.5 e 2.5, mediante un incremento uguale a 0.1. Nella stessa Figura sono riportati gli andamenti analitici di ⟨kP(ω)⟩ con

γ = γP = 2. Inne, si può osservare che questa variazione è rilevante per-

ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ 0 2 4 6 8 10 12 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Ω Xk Γ H Ω L\ á1.5bΓb2.5

æPeano river network, Γ=ΓP=2

Figura 4.2: ⟨kγ(ω)⟩ versus ω con γ perturbato da 1.5 a 2.5 attraverso un

incremento uguale a 0.1, e ⟨kP(ω)⟩ con γ = γP = 2.

chè, come si vedrà nei risultati sperimentali, è dello stesso ordine dell'errore commesso nel calcolo del grado medio di giunzione all'ordine ω espresso dalla relazione (4.6). Gli errori di stima nel calcolo del grado medio di giunzione all'ordine ω sono stati valutati tenendo conto della distribuzione poissoniana dei conteggi n(ω, i), ossia in considerazione del corrispondente errore pari a √

n(ω, i). In particolare, l'errore ϵ è risultato essere pari a

ϵ = 2ω−1∑+L−1 i=2ω−1  1_i 2 ω−1_∑+L−1 i=2ω−1 n(ω, i)− 2ω−1∑+L−1 i=2ω−1 n(ω, i)1 i   (2ω−1∑+L−1 i=2ω−1 n(ω, i) )2 √ n(ω, i). (4.21)

Nel prossimo capitolo verranno descritti la tecnica Lidar per il rilievo topo- graco, la quale consente la derivazione di modelli digitali del terreno (DEM) ad elevata risoluzione, e il criterio non dispersivo di estrazione dei reticoli u-

Capitolo 4 - Introduzione al coeciente di uniformità γ 40

viali D8-LTD, il quale permette la determinazione delle direzioni di drenaggio a partire da DEM su griglia rettangolare.

Capitolo 5