Analisi dei risultat
7.1 Stima del grado medio di giunzione
Al ne di analizzare il comportamento del grado medio di giunzione al gene- rico ordine gerarchico sono state analizzate le reti di versante (grid networks) estratte mediante il metodo D8-LTD [63, 64], e le corrispondenti reti di cana- le (channel networks) ottenute applicando i metodi soglia delle aree cumulate At, del prodotto tra area di drenaggio e quadrato della pendenza (AS2)t, e
dell'ordine di Horton-Strahler ω∗
t. L'analisi ha riguardato, inoltre, il confron-
to tra le suddette strutture uviali e la rete deterministica di Peano, nonchè la validazione del coe ciente di uniformità nell'ambito dell'analisi di scala (coarse graining analysis) dipendente dalla risoluzione delle celle relative al- l'estrazione dei reticoli uviali. Sono state analizzate, come riportato nel secondo paragrafo del precedente capitolo, sei strutture uviali localizzate in Italia, ovvero le reti DB1, DB2,DB3,DB4, DB5 e Crostolo, al variare della risoluzione spaziale h compresa tra 1 e 50 metri. In seguito alla procedura di estrazione dei reticoli uviali, alla scala di versante e di canale, ogni strut- tura uviale è stata gerarchizzata attraverso il criterio di Horton-Strahler. Attraverso questa procedura si è constatato che gli ordini di chiusura dei re- lativi bacini di versante assumono valori dierenti, in quanto essi dipendono dalla risoluzione spaziale delle celle, diminuendo all'aumentare della distanza tra le stesse. Gli ordini risultano compresi nell'intervallo 4÷10 relativamente ai sotto-bacini DB1÷DB5 e compresi nell'intervallo 8÷12 limitatamente alla rete del torrente Crostolo.
Le reti di canale, ottenute imponendo i tre dierenti metodi soglia di inne- sco dei canali, hanno mostrato ordini gerarchici di chiusura dei sotto-bacini dierenti e che sembrano non dipendere, come per le reti di versante, dalla risoluzione spaziale delle celle. Questo comportamento è dovuto alla localiz-
Capitolo 7 - Stima del grado medio di giunzione 73
zazione e alla sovrapposizione delle teste di canale osservate sulle reti estratte mediante il metodo D8-LTD. Infatti, le teste di canale, a causa delle perdite di informazioni che si hanno con l'aumentare della distanza tra le celle h, pos- sono intersecare aste della rete di versante che presentano un diverso ordine gerarchico, e contemporaneamente, quindi, ricadere in celle che presentano un'area drenante dierente da esse. Così facendo, la soglia sperimentale ot- tenuta può assumere valori molto alti, ma allo stesso tempo anche bassi, i quali andranno a mutare appunto il valore medio della soglia di innesco. I valori dell'ordine di chiusura per i sotto-bacini DB1÷DB5, estratti alla scala di canale, è risultato essere compreso tra 2 e 5, mentre la rete del Crostolo, estratta applicando i metodi soglia ω∗
t e (AS2)t, presenta valori dell'ordine
gerarchico dell'asta terminale del bacino compresi tra 7 e 10, e che media- mente diminuiscono al diminuire della risoluzione spaziale delle celle. Fanno eccezione, infatti, la rete del torrente Crostolo e la rete DB1 estratte con il metodo soglia At per le quali sono stati ottenuti ordini di chiusura del bacino
pari rispettivamente a 8 e 4 per tutte le risoluzioni spaziali analizzate. Il valore soglia, inoltre, ha in uito in maniera diretta sulla stima di parametri morfometrici come la densità di drenaggio della rete di canale estratta dalla relativa struttura di versante. Infatti, le reti di canale, ottenute imponendo tali valori soglia osservati, hanno mostrato valori della densità di drenaggio, in funzione della risoluzione spaziale h, più uniformi rispetto a quelli ottenuti per le reti di versante. Quest'ultime, in particolare, hanno mostrato un trend decrescente al diminuire della risoluzione spaziale delle celle h. Per mostrare ciò, in Figura (7.1), sono riportati, come esempio, i valori della densità di drenaggio calcolata per la rete del torrente Crostolo alla scala di versante e alla scala di canale in funzione della dimensione delle celle h. Analizzando il gra co è possibile osservare che, relativamente alle reti di canale, la densità di drenaggio mostra un trend costante, e quindi con una minore variabilità, nei primi 10 metri di risoluzione. Questo comportamento, come vedremo nel prossimo paragrafo, è paragonabile a quello ottenuto per il parametro di uniformità nell'ambito dell'analisi di scala. La densità di drenaggio, è stata calcolata per tutte le reti esaminate attraverso la seguente relazione [10]:
D = LT AΩ = Ω ∑ ω=1 Nω ∑ i=1 Lωi AΩ = Ω ∑ ω=1 NωLω AΩ , (7.1)
dove LT è la lunghezza totale dei canali all'interno del bacino, AΩ è l'area to-
tale del bacino all'ordine massimo Ω, mentre Nω e Lω sono, rispettivamente,
il numero e la lunghezza media delle aste all'ordine ω. L'analisi dei reticoli uviali è stata suddivisa in passaggi ben precisi. Il primo passo è stato quello di valutare le sotto-strutture ricavate dal processo di gerarchizzazione. Si è
Capitolo 7 - Stima del grado medio di giunzione 74 è è è è èè èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè è è è è 0 10 20 30 40 50 0 200 400 600 800 1000 1200 h HmL Dd Hkm - 1 L ìììììììììììììììììììììììììììììì ì ì ìì ò ò òòòòò òò òòòòòòòòòòòòòòòòòòòò ò ò ò ò ò 0 10 20 30 40 50 0 20 40 60 80 h HmL Dd Hkm - 1 L
Figura 7.1: Densità di drenaggio Dd in funzione della risoluzione spaziale
h per la rete del torrente Crostolo estratta sia alla scala di versante che di canale. Nel gra co esterno, la serie identi cata con i pallini neri rappresenta i valori ottenuti per la rete di versante, mentre nel gra co interno sono ri- portati gli andamenti della densità di drenaggio per le reti di canale esratte rispettivamente con il metodo soglia ω∗
t (), At () e (AS2)t (N).
potuto osservare che il numero di sotto-strutture Nω, per tutti i bacini e per
tutte le risoluzioni spaziali analizzate, in funzione dell'ordine gerarchico ω, presenta un andamento esponenziale decrescente i cui valori massimi risul- tano essere in corrispondenza della magnitudo [40, 35, 79, 80, 67, 68], come riportato in Figura (7.2). Eettuata la gerarchizzazione di Horton-Strahler, e valutato il numero delle sotto-strutture, il passo successivo è stato quello di analizzare il numero di occorrenze, ovvero i corrispondenti vettori n(ω, i) ai vari ordini gerarchici che sono stati ordinati secondo il criterio decrescente esposto dalla relazione (4.1).
Relativamente alle reti di versante, si è osservato che le sotto-strutture n(2, i), ossia del secondo ordine, con i nodi sorgente, per tutti i sotto-bacini analizza- ti, hanno un andamento delle occorrenze di tipo decrescente. Al terzo ordine, invece, si è osservato che le sotto-strutture n(3, i), hanno un andamento uni- modale limitatamente ad un ristretto intervallo di i nodi sorgente (5÷10) per tutti i sotto-bacini esaminati (vedi esempio riportato in Figura 7.3). In parti- colare questi andamenti sono risultati abbastanza evidenti in corrispondenza della massima risoluzione spaziale, ossia 1 metro, e comunque ben delineati sino alla risoluzione di circa 7 metri per i sotto-bacini DB1÷DB5, e no alla risoluzione spaziale di 50 metri per il bacino del torrente Crostolo. Le reti
Capitolo 7 - Stima del grado medio di giunzione 75 ç ç ç ç ç ç ç ç ç á á á á á á á á í í í í í í í í í í ó ó ó ó ó ó ó ó õ õ õ õ õ õ õ õ õ 0 2 4 6 8 10 0 50 000 100 000 150 000 200 000 Ω NΩ éDB1 ãDB2 íDB3 óDB4 õDB5
Figura 7.2: Numero di sotto-strutture Nω estratte dalle reti di versante per
i sotto-bacini DB1, DB2, DB3, DB4 e DB5 alla risoluzione di 1 m.
ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç 0 5 10 15 20 25 0 5000 10 000 15 000 20 000 i source nodes n H2, iL ó ó óó óó óó ó óó óóó óóóó óóóóóóóóóó óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó 0 10 20 30 40 50 60 70 0 200 400 600 800 i source nodes n H3, iL
Figura 7.3: Occorrenze n(2, i) e n(3, i) per la rete uviale DB3 estratta a scala di versante alla risoluzione di 1 m.
Capitolo 7 - Stima del grado medio di giunzione 76
di canale dei sotto-bacini DB1÷DB5 estratte mediante i tre metodi soglia, invece, presentano andamenti di tipo casuale, sia al secondo che al terzo or- dine gerarchico. Si è potuto osservare che, per alcune risoluzioni spaziali, al secondo ordine il numero di sotto-strutture con i nodi sorgente decresce all'aumentare del numero di nodi sorgente, così come avviene analogamente per le reti di versante. La carente analisi delle occorrenze per le reti di canale è causata dal limitato numero di sotto-strutture n(2, i) e n(3, i), nonché di i nodi sorgente. Comportamento analogo alle reti di versante, dovuto in que- sto caso all'elevato numero di sotto-strutture ricavate sia al secondo che al terzo ordine gerarchico, lo si è osservato per la rete del torrente Crostolo, la quale ha mostrato, per tutti e tre i metodi soglia, che le sottostrutture n(2, i) hanno un andamento decrescente, mentre le sotto-strutture n(3, i) presenta- no un comportamento unimodale per tutte le risoluzioni spaziali oggetto di indagine. Questi risultati concordano con i valori ottenuti da Giusti and Sch- neider [35] e Shreve [79, 80] nel contesto della distribuzione delle biforcazioni nelle reti uviali hortonianie.
Successivamente alla valutazione dell'andamento del numero di sotto-strutture ricavate dal processo di gerarchizzazione, è stato calcolato il grado medio di giunzione, ⟨kn(ω)⟩, per i dierenti ordini gerarchici ω, i cui valori sono sta-
ti ottenuti direttamente attraverso l'equazione (4.6). È stato inoltre stimato l'errore, ϵ, che si può commettere nel conteggio delle sotto-strutture hortonia- ne con i nodi sorgente. In particolare tale errore, come già detto nel capitolo (4.2.2) (vedi equazione 4.21), è stato valutato considerando la distribuzione poissoniana dei conteggi n(ω, i), e successivamente propagato con tecniche di espansione asintotica. Sono state calcolate in ne le dierenze relative, ∆, del ⟨kn(ω)⟩ dai corrispondenti valori della rete di Peano.
I valori numerici del grado medio di giunzione, ⟨kn(ω)⟩, dell'errore di stima,
ϵ, e delle dierenze relative, ∆, per le reti di versante e di canale, sono ripor- tati in Appendice (A), per le diverse risoluzioni spaziali oggetto di indagine. Dall'analisi relativa alle reti di versante si è osservato che i valori numerici del grado medio di giunzione, relativamente al secondo ordine gerarchico, sono compresi tra 1.553 e 1.756 per i sotto-bacini DB1÷DB5 (con media pari a 1.629), e tra 1.616 e 1.665, per il bacino del Crostolo. Al terzo ordi- ne gerarchico risultano invece compresi tra 1.878 e 1.968 per i sotto-bacini DB1÷DB5, con valore medio pari a 1.901, e tra 1.884 e 1.902 per il torrente Crostolo. Ai restanti ordini gerarchici il descrittore assume valori maggiori di 1.955 e tende asintoticamente a 2 all'ordine gerarchico di chiusura dell'intera rete estratta dal bacino oggetto di studio per tutti i sotto-bacini analizzati. Relativamente agli errori stimati nel calcolo del grado medio di giunzione si è osservato, per tutte le reti esaminate, che esso è risultato massimo agli ordini gerarchici due e tre, poiché la media pesata è stata calcolata su un più grande
Capitolo 7 - Stima del grado medio di giunzione 77
numero di sotto-strutture. In particolare per i sotto-bacini analizzati l'errore di stima mostra ordini di grandezza tra 10−2 e 10−7, mentre le dierenze re-
lative hanno mostrato valori compresi tra 10−1 e 10−7. Si è potuto osservare,
inoltre, che per tutti i bacini indagati, tale valore massimo dell'errore di sti- ma, agli ordini ω = 2, 3, è risultato dipendente dalla risoluzione spaziale delle celle dei modelli digitali del terreno. E cioè all'aumentare della distanza tra le celle, tale valore è risultato crescente. Quindi sulla base dei dati osservati e sulle elaborazioni dei conteggi eseguiti, esso risulta minimo all'aumentare della risoluzione e massimo al diminuire. Per quanto concerne le dierenze relative rispetto a Peano, si è osservato che che i valori più alti si hanno agli ordini gerarchici minori, no al valore dell'asta terminale rispetto alla quale tali dierenze assumono valori più bassi. Gli ordini, infatti, che presentano i valori più bassi delle dierenze relative rispetto alla rete di Peano sono pari al secondo e terzo ordine. Questo comportamento risulta paragonabile ai valori delle barre d'errore del calcolo del grado medio di giunzione delle reti estratte dai sei sotto-bacini, i quali risultano maggiori agli ordini ω = 2, 3. Per le reti di canale estratte mediante i tre metodi soglia di innesco dei canali, si è osservato che i valori numerici del grado medio di giunzione, rela- tivamente al secondo ordine gerarchico, sono compresi tra 1.500 e 1.875 per i sotto-bacini DB1÷DB5 (con media pari a 1.688), e tra 1.592 e 1.623, per il bacino del Crostolo. Al terzo ordine gerarchico risultano invece compresi tra 1.750 e 1.974, con media pari a 1.886, per i sotto-bacini DB1÷DB5, e tra 1.866 e 1.904 per il torrente Crostolo. Ai restanti ordini gerarchici il descrit- tore assume valori maggiori di 1.941 e tende asintoticamente a 2 all'ordine gerarchico di chiusura dell'intera rete per tutti i sotto-bacini analizzati. La rete del torrente Crostolo, inoltre, ha mostrato, sia alla scala di versante che di canale, valori del grado medio di giunzione con una leggera diminuizione a parità di ordine gerarchico per tutte le risoluzioni spaziali prese in esame. Relativamente agli errori stimati nel calcolo del grado medio di giunzione, si è osservato, per i sotto-bacini DB1÷DB5, che esso è risultato massimo agli ordini due e tre, nonostante siano state comunque analizzate strutture di rete che presentano ordini di chiusura del bacino pari al secondo e terzo ordine, eccetto alcune risoluzioni spaziali. In particolare si è osservato, che per i sotto-bacini DB1÷DB5, il valore massimo dell'errore di stima è risulta- to in media dell'ordine di grandezza pari a 10−2, relativamente al secondo e
terzo ordine gerarchico, analogamente alle reti di versante. Fanno eccezione alcune risoluzioni spaziali esaminate, le quali presentano ordini di grandezza di 10−1, e 10−3. A dierenza delle reti di versante, per le quali tale valore
massimo dell'errore di stima, agli ordini ω = 2, 3, è risultato dipendente dal- la risoluzione spaziale dei modelli digitali del terreno, per le reti di canale non si è riscontrata nessuna correlazione tra distanza delle celle h e l'errore
Capitolo 7 - Stima del fattore di uniformità 78
di stima ϵ. Quest'ultimo assume valori dierenti per le diverse h, cioè non risulta massimo al diminuire della risoluzione o minimo all'aumentare della stessa. La rete del torrente Crostolo, invece, presenta una certa uniformità riguardo la variazione dell'errore di stima in funzione della risoluzione delle celle, in quanto esso rimane pressoché costante al variare della stessa per tut- ti gli ordini gerarchici esaminati. In particolare mostra ordini di grandezza dell'errore di stima più piccoli, e pari in media a 10−3 al secondo gerarchico,
pari in media a 10−2 al terzo e quarto ordine, e compreso tra 10−3 e 10−5
per i restanti ordini gerarchici. Circa i valori delle dierenze relative delle reti di canale rispetto a Peano, relativamente ai sotto-bacini DB1÷DB5, si è osservato che essi variano da 10−2 a 10−3, ad eccezione di alcune risoluzioni
spaziali le quali presentano ordini di grandezza pari a 10−4. La rete del tor-
rente Crostolo, invece, mostra ordini di grandezza delle dierenze relative, che variano tra 10−3 e 10−6, ad eccezione di alcune reti le quali mostrano
ordini di grandezza pari a 10−2 e 10−7.
Si è notato comunque, analogamente alle reti di versante, che i valori più bassi delle dierenze relative rispetto al valore di Peano si hanno per gli or- dini gerarchici maggiori no al valore dell'asta terminale rispetto alla quale tali dierenze assumono valori più bassi. Gli ordini che presentano invece i valori più alti delle dierenze relative rispetto alla rete di Peano sono pari al secondo e terzo ordine. Questo comportamento coincide in molti casi con i valori delle barre d'errore del calcolo del grado medio di giunzione delle reti di canale estratte dai sei bacini oggetto di studio, i quali risultano maggiori agli ordini 2 e 3. Questo risultato conferma, in termini di dierenze relative, i valori ottenuti nel precedente lavoro di De Bartolo et al. [17] e sono indi- catori della validità del grado di giunzione medio come utile descrittore per la connessione tra reti uviali naturali e la rete deterministica di Peano.