Abbiamo introdotto nella simulazione l'interazione tra planetesimi e pianeta generando così uno scambio di momento angolare tra il pianeta stesso ed i planetesimi. Nel caso corotante è controrotante è stato possibile osservare
migration), in gura 7.. è presentato un caso particolare. Mmentre nel caso di disco con distribuzione di eccentricità alla Rayleigh è stato possi- bile osservare una migrazione verso l'interno (inward migration). I tassi di migrazione medi osservati sono in discreto accordo sia con le simulazioni ri- portate nell'articolo di Cionco e Brunini (2002) sia con i risultati analitici presentati in questa tesi.
Dierenti sono invece le simulazioni eettuate per i casi di un disco freddo corotante e controrotante quando vengono introdotti un numero ridotto di planetesimi e una massa di poco minore di quella del pianeta. Viene riportata la variazione del semiasse maggiore nel tempo per un caso caratteristico in gura ...
Fig. 7.2: Variazione del semiasse maggiore del pianeta rispetto alla po- sizione iniziale. Come e possibile osservare in questo caso si ha una prima variazione, quasi istantanea, del semiasse maggiore e poi una migrazione di tipo stocastico che dura per tutto il tempo d'integrazione.
Tale migrazione può esser'de nita di tipo stocastico (Kirish, 2007) in quanto, dopo un certo periodo di tempo, il semiasse maggiore dell'orbita del pianeta risulta rimanere quasi costante anche se si notano delle brusche variazioni dello stesso come in Ida et. al (2000). Questo tipo di migrazione stotacastica è dierente da quella introdotta in altri lavori (citali) nei quali è dovuta ad un comportamento realmente sico del disco studiato. Aumen- tando inoltre il tempo d'integrazione delle simulazioni si è scoperto come tale con gurazione non risulti essere stabile bensì presenti, come nel caso prece- dente, brusche variazioni di semiasse maggiore per il pianeta interagente all'interno del disco. Quanto detto è osservabile nella gura ....
Abbiamo osservato inoltre che, quando sono stati inseriti dei valori più realistici per la massa dei planetesimi: che ha come limite superiore quella calcolata nelle simulazioni precedenti (da 1/600 Mp a 1/60000 Mp), un loro
numero adeguato (4 × 104) ed un intervallo d'integrazione abbastanza lungo
(34 anni) il risultato atteso è stato del tutto dierente.
Ciò è mostrato in gura ...e permette di essere compreso alla luce dei risultati sull'eccentricità e sulle risonanze ottenuti in precedenza. La presenza di dierenti risonanze, posizionate anche a dierente distanza dal pianeta, l'assenza di una zona di risonanza 1:1 che protegge molti planetesimi dall'interagire fortemente con il pianeta, la dierente velocità relativa tra
Fig. 7.3: Variazione del semiasse maggiore del pianeta rispetto alla po- sizione iniziale per un disco controrotante. Pianeta situato a 5A.U. di dis- tanza dalla stella centrale, disco di dimensioni 10A.U. con 104planetesimi con
massa 1/600-esimo della massa della Terra. Anche in questo caso si osserva un fenomeno analogo al caso precedente in cui il pianeta raggiunge una con- gurazione di equilibrio che perdura per quasi tutto il tempo d'integrazione. Ma tale con gurazione di equilibrio risulta essere precaria, infatti contin- uando con l'integrazione si ottiosserva una migrazione istantanea e veloce del pianeta all'interno del disco.
prodotte nel disco stesso, permette di comprendere le dierenze osservate nelle due simulazioni.
Nel caso infatti di un disco di planetesimi controrotante la velocità rela- tiva tra i planetesimi ed il pianeta è tale da generare delle interazioni molto rapide e quindi lo scambio di momento angolare tra planetesimi e pianeta è molto basso. Ciò è confermato dalla dierente distribuzione di velocità nel caso corotante e controrotante e viene riportata nella gura 7.10. Quando però si iniziano a formare le onde di densità all'interno del disco i singoli planetesimi si comportano come un'unico corpo marcoscopico con una certa energia (o momento angolare) e l'eetto totale è la perdita repentina di mo- mento angolare da parte del pianeta quando interagisce con l'onda stessa.
Anche se il numero di planetesimi è stato aumentato non sono però da escludere completamente che i risultati ottenuti in questa tesi siano dovuti anche al modesto numero di particelle (Kirsh e Levison, 2012) e al tempo d'interazione (capitolo cinque). Le simulazioni che presentano una direzione della migrazione verso l'esterno risultano ancora inspiegate e necessitano di ulteriori comprensioni.
E' riportata qui di seguito una tabella in cui sono presentati i tassi di migrazione media nei casi di disco freddo corotante e controrotante con una distribuzione di eccentricità di Rayleigh e gli analoghi con eccentricità uguale a zero per tutti i planetesimi.
Si osserva come il tasso medio di migrazione per il caso corotante e contro- rotante, quando l'eccentricità del disco di dei planetesimi è posta inizialmente uguale a zero, non risulta essere molto dierente. La dierente asimmetria nelle ali di Jacobi, la presenza o meno di risonanze e la diversa estensione giocano un ruolo fondamentale nel dierente tasso di migrazione osservato
Fig. 7.4: Dierenze nel valore della velocità nello spazio delle fasi per il disco corotante e controrotante. La distribuzione con meno picchi nel caso controrotante e la dierente posizione delle risonanze nei due dischi consente di comprendere l'asimmetria del problema. Una quantità, seppur ridotta, di planetesimi nel caso controrotante ha infatti una velocità relativa, in mod- ulo, maggiore rispetto quella nel caso corotante e quindi l'interazione con il pianeta e di tipo impulsivo. Questo genera una pardita di momento angolare per il pianeta minore.
Massa del pianeta < da/dt > ×106 [A.U./anno] Distribuzione dell'eccentricità inclinazione del pianeta [°]
100 6.81 0 180
- 8.03 0 0
- 6.03 R 180
- 12.07 R 0
Table 7.1: Tasso di migrazione radiale medio. In tabella è descritta, per pianeti con la stessa massa (Mp = 100 M⊕), e con stesso semiasse maggiore
iniziale (5 A.U.), la variazione media del semiasse maggiore nel tempo per sistemi corotanti per i quali l'inclinazione tra il pianeta ed il piano equatoriale del disco di planetesimi è di 0 gradi, controrotanti (l'inclinazione del pianeta è di 180 gradi) con distribuzione di eccentricità alla Rayleigh (R) od uguale a zero (0).
fattore due) è presente quando si inserisce una distribuzione di eccentricità alla Rayleigh per i due dischi di planetesimi. Questo risultato sottolinea:
• l'importanza che l'eccentricità ha nel favorire la migrazione di un pi- aneta nel caso corotante;
• l'indipendenza dall'aggiunta di una distribuzione di eccentricità per il tasso di migrazione medio nel caso controrotante;
• la dierenza, a parità di distribuzione di eccentricità, che ha l'inclinazione del pianeta rispetto al piano equatoriale del disco di planetesimi. La nostra conlusione è che a parità di massa, numero di planetesimi, den- sità super ciale del disco, posizione iniziale del pianeta e tempo d'integrazione, dischi protoplanetari con pianeti controrotanti sono meno e centi nel trasferire momento angolare dal pianeta sul disco. Una teoria sulla migrazione plan- etaria deve tener presenta non solo della distribuzione in eccentricità dei planetesimi ma anche della distribuzione in inclinazione degli stessi. In- oltre, uno dei risultati fondamentali è che, a parità di massa del pianeta, posizione inziziale ed inclinazione, la densità super ciale del disco ne mod- i chi l'andamento medio del semiasse maggiore nel tempo. In gura .... è presentato quanto appena detto per una particolare con gurazione di massa (M = 1 MJ), numero di planetesimi (104) e rapporto di massa variabile (da
1/600 Mp a 1/60000 Mp).
Fig. 7.5: Dierenze nel tasso di migrazione orbitale medio in funzione del numero di planetesimi. Il dierente valore della densità del disco di plan- etesimi, a causa del dierente rapporto tra la massa del pianeta e quella dei singoli planetesimi permette di osservare una netta diminuzione della variazione, circa lineare, del semiasse maggiore del pianeta.
Tabelle delle torque !!!!!
• il metodo della DF utilizzato negli articoli di Del Popolo (e trattato in questa tesi nel capitolo tre) introduce la dipendenza funzionale dalla distribuzione di eccentricità del disco di planetesimi ma non nell'inclinazione del pianeta rispetto al disco ne sul dierente peso che le risonanze possiedono nell'interagire con il pianeta togliendo momento angolare. Inoltre i vari metodi con cui è possibile calcolare il logaritmo di Coulomb e i dierenti valori che possono essere ottenuti genera di per se un netuning all'interno del metodo che, grazie a questa costante, può essere portato a riprodurre i dati numerici ottenuti (Bontekoe e van Albada, 1986);
• la teoria sulle onde di densità, proposta nel capitolo due, descrive ac- curatamente l'interazione che le risonanze hanno con il pianeta ma non descrive la dipendenza dell'inclinazione del pianeta rispetto al disco di planetesimi, inoltre in regime lineare, il momente torcente ricavato con questa teoria è in disaccordo, anche di un ordine di grandezza, rispetto quello ottenuto dalle simulazioni numeriche (Cionco e Brunini, 2002); • la variazione del semiasse maggiore calcolata con il metodo dei tre corpi generale non tiene conto ne della distribuzione in eccentricità dei plan- etesimi ne dell'inclinazione del pianeta rispetto al disco ma permette una buona corrispondenza tra dati osservativi e numerici (Rein et al., 2010).