In questa sezione viene inserita anche la massa ai planetesimi e quindi si studia l'eetto che il disco ha sul pianeta. Nel caso precedente si è posto
Fig. 6.6: Istogramma dell'eccentricità degli asteroidi nella fascia principale e confronto con il t di una funzione di Rayleigh analitica. La somiglianza tra le due consente di supporre come, anche per un sistema cosi complesso come il sistema solare e per un tempo molto più lungo delle simulazioni eettuate in questo elaborato, si conservi la distribuzione di Rayleigh iniziale variando solamente la larghezza di tale funzione.
ferentemente all'interazione gravitazionale con un pianeta.
Aggiungendo la massa ai planetesimi si ha uno scambio di momento angolare che coinvolge anche il pianeta e che perdendone più di quanto ne riceve dai planetesimi è (generalmente) vincolato a migrare verso l'interno.
Le simulazioni che sono state condotte in questo caso, presentano un disco di 4 × 104 planetesimi con una massa 1/600 della massa del pianeta2
distribuiti in modo omogeneo su un intervallo di semiasse maggiore di 10 A.U.con rin = 20 A.U.e rf in= 30 A.U.. La distribuzione omogenea è stata
de nita anche in Cionco e ...(2002) ed è stata qui riutilizzata. Il pianeta è posto ad una distanza di 22, 25 e 28 unità astronomiche (A.U.). La massa dei pianeti è stata scelta per simulare quella di un pianeta di tipo terrestre (1 M⊕), di una super-terra (10 M⊕) e di un gigante gassoso (300 M⊕).
Seguendo l'articolo di Cionco (2001) sono state calcolate le stesse quantità de nite in tale articolo per le simulazioni proposte in questa tesi ed è stata fornito inoltre un confronto con le stesse condizioni iniziali di una delle sim- ulazioni per confermare i risultati ottenuti. Nonostante i dierenti codici, il dierente metodo con cui sono state calcolate le quantità d'interesse, il timestep e il valore dell'eccentricità media (non de nito nell'articolo citato)
2Il rapporto di massa così de nito è sicamente corretto poichè, nella teoria di for-
mazione planetaria esistono due stadi durante i quali i planetesimi, a causa di scontri sici, aumentano la propria massa in modo dierenziale: planetesimi più massivi au- mentano molto velocemente la loro massa (runaway growth) per poi rallentare il rate di accresimento nel tempo ma rimanendo sempre massivi rispetto gli altri planetesimi (oli- garchig growth). In questo caso dunque si crea una distribuzione in massa dei planetesimi in cui molti hanno una massa relativamente bassa, alcuni hanno una massa intermedia mentre pochi, quelli che hanno iniziato un accresciento iniziale molto veloce hanno una
Fig. 6.7: Istogramma del numero di planetesimi in funzione dell'eccentricità per il caso controrotante e corotante. In alto: Istogramma dell'eccentricità per un disco controrotante con un pianeta posto a 2A.U. con una massa di 1M⊕ ed un numero di planetesimi uguale a 104. In basso: come nel
caso precedente ma adesso il disco è controrotante. Si nota un aumento del numero di particelle ad alta eccentricità rispetto al caso precedente e una conseguente diminuzione del loro numero per eccentrcità molto basse. Viene riportato un ingrandimento del gra co poichè non si è interessati ad osservare la distribuzione totale per la quale il numero di planetesimi con eccentricità uguale a zero rimane comunque molto alto. Si è scelto quindi di binnare tali gra ci ad un valore di conteggi uguale a 40 per meglio osservare le dierenze tra i due casi.
Fig. 6.8: istogramma del numero di planetesimi in funzione dell'eccentricità per il caso controrotante al variare della massa del pianeta. La dipendenza della σ dalla massa del pianeta, ssato il semiasse maggiore ed il numero di planetesimi. Maggiore è la massa del pianeta maggiore è l'allargamento dell'istogramma e, analogamente, meggiore è il numero di planetesimi scat- terati ad eccentrcità maggiori. La posizione del pianeta è la stessa ma cambia la massa che, dall'alto verso il basso, è rispettivamente di 10, 100 e 300 M⊕.
Come nel caso precedente, anche ora, si è eettuato un ingrandimento dei gra ci per meglio osservare le caratteristiche dei dierenti istogrammi.
6.2.1 La migrazione del pianeta: disco corotante
costante. Nella simulazione mostrata in gura 6.9 è mostrato l'andamendo del semiasse maggiore di un pianeta di 1 MJ all'interno di un disco composto
da un numero sso di planetesimi ma a cui è stata, nelle varie simulazioni, diminuita la massa a nchè il rapporto tra la massa di un planetesimo e la massa del pianeta fosse uguale a 1/600, 1/6000 e 1/600000.
Un risultato interessante è come nel caso di un disco molto massivo e di un disco molto poco massivo sembra che si instauri un dierente meccan- ismo di stallo che rallenta la migrazione planetaria. Nel primo caso infatti (quando il rapporto tra la massa del pianeta e la massa di un planetesimo è uguale a 1/600) l'interazione gravitazionale è così forte che il pianeta migra per tutta la dimensione radiale del disco no ad uscirne e, solo in quel mo- mento, cambia l'andamento del semiasse maggiore nel tempo, raggiungendo una con gurazione di equilirio. Nel caso opposto invece, il pianeta, trovan- dosi ancora all'interno del disco, dovrebbe continuare una lenta ma costante migrazione verso il centro del sistema causata dall'interazione conitnua con i planetesimi che compongono il disco circostante. Ciò invece non si osserva e anzi per tempi maggiori di 106 giorni, sembra che ci sia un brusco cambi-
amendo nella variazione del semiasse maggiore dell'orbita. Tale fenomeno è stato già osservato e, in parte formalizzato, in B. C. Bromley [2013], A. Brom- ley [2009] e Hahn and Malhotra [1999]. Nelle conclusioni verrà brevemente riportato quanto qui descritto e verrà inoltre chiarita l'importanza di questo risultato.
Nel caso invece di un disco corotante senza distribuzione di eccentricità i risultati sono ancora più interessanti.
Il risultato è stato interpretato come possibile ulteriore prova della dif- ferente interazione che il pianeta ha con il disco.
6.2.2 La migrazione del pianeta: disco controrotante
Nel caso di un disco controrotante l'interazione impulsiva con i planetesimi, la dierente forma e posizione delle risonanze nonchè la dierente estensione del gap generano degli andamenti del semiasse maggiore nel tempo che per- mettono di comprendere come, in questo caso, la presenza o meno di una distribuzione di eccentricità per i planetesimi diversa da zero sia irrilevante. Ciò è mostrato nella gura 6.10 in è riportata la variazione temporale del semiasse maggiore nel caso di un disco corotante con distribuzione di Rayleigh in eccentricità e lo stesso disco con distribuzione iniziale uguale a zero.