Il riscaldamento del disco

Nel caso delle simulazioni di un N -R3BP, si e analizzata la distribuzione in eccentricità delle particelle che hanno interagito con il pianeta. In questo caso infatti, partendo da un disco completamente freddo (orbite kepleriane circolari), l'introduzione del pianeta ha generato uno scattering delle par- ticelle su orbite fortemente ellittiche generando cosi un disco "caldo" nel senso di dispersione di velocità diversa da zero. Viene infatti riportata la denizione di dispersione di velocità:

σ = s Pn i=1Mi(vi− vK,i)2 Pn i=1Mi , (6.1)

dove il termine vi rappresenta la velocità eettiva della particella mentre

il termine vK,i rappresenta la velocità della stessa particella come se fosse

in un'orbita circolare Kepleriana. Il termine Mi rappresenta la massa della

particella presa in considerazione. Questa denizione e ben posta quando si prende in considerazione una massa per le particelle mentre non e ben denita quando si cerca di applicarla al caso di particelle prive di massa. Il problema viene però ridenito prendendo in considerazione una variante della prece- dente denizione e cioè la dispersione di velocità relativa all'eccentricità delle particelle. Se infatti si prende in considerazione una certa distribuzione di velocità per le particelle, è possibile, calcolandone il momento di ordine due, ottenere la dispersione di velocità. Si evita l'introduzione della massa delle particelle e, ricordando la denizione di velocità orbitale kepleriana circolare e velocità orbitale kepleriana ellittica (si è interessati solo alle particelle con eccentricità ≤ 1): vK,i= r µ r, (6.2) vi = r µ2 r − 1 a, (6.3)

costante di gravitazione planetaria (µ = G · Mtot), si ottiene una nuova

denizione di dispersione di velocità che dipende dalla sola eccentricità:

σ = v u u tµ Pn i=1 1 ai  2 1−ei − 1 2 n − 1 (6.4)

L'evoluzione di tale parametro è collegata con il riscaldamento del disco e, a parte fattori costanti, presenta lo stesso andamento nel tempo. Vengono inoltre rappresenti in gura 6.4 i due valori dell'entropia di Kolmogorov Sinai e (in gura 6.5) della σdin. denita in precedenza per il disco corotante.

Fig. 6.4: Evoluzione nel tempo del entropia per il caso controrotante e corotante. L'entropia di Kolmogorov Sinai, che dovrebbe tracciare la dier- ente evoluzione dell'eccentricità e della densità nello spazio delle fasi risulta essere identica per i due dischi studiati. Questo metodo non consente quindi di dierenziare dischi corotanti e controrotanti.

tra le coppie di graci e dunque, attraverso questo metodo si può solo de- durre in modo indiretto la presenza di un pianeta eprturbatore all'interno di un disco di planetesimi o, da un punto di vista formale, che un sistema iso- lato non collisionale e bidimensionale soggetto alla forza gravitazionale di un corpo centrale e di un corpo secondario presenta fenomeni di diusione (sia nello spazio delle fasi sia nello spazio semiasse maggiore - eccentricità) che au- mentano nel tempo ma che raggiungono, praticamente istantaneamente una congurazione di equilibrio. Questo ci ha consentito di comprendere come, dalla sola analisi dell'entropia o della σdin non si possa avere alcuna infor-

mazione sul tipo di disco che si sta analizzando. Interessante osservazione è invece il raggiungimento dell'equilibrio per entrambi i dischi di planetes- imi. Un ulteriore conferma che il problema dei tre corpi può essere denito ne completamente caotico (altrimenti l'evoluzione dell'entropia sarebbe in- denita nel tempo) ne non caotico (in quanto l'entropia e la dispersione di velocità, sarebbero dovute rimanere costanti attorno al loro valore iniziale). In accordo con quanto denito da F. Casciati (1993) (gura 11, pag. 14) per sistemi dinamici simili (oscillatore armonico di Dung), il valore unitario dell'entropia ed il raggiungimento dello stesso in tempi relativamente brevi consente di denire il problema dei tre corpi come intermedio tra un prob- lema regolare (moti ordinati) ed un problema interamente imprevedibile (in cui i moti non possono essere prevedibili in alcun modo), si ritiene quindi che il problema dei tre corpi è, dallo studio condotto in questa tesi, un problema di tipo stocastico e non completamente ergodico.

La motivazione di usare una funzione di Rayleigh è dovuta al fatto che, inizialmente, l'eccentricità di planetesimi è stata denita utilizzando tale distribuzione che, per un set bidimensionale è quella con minore energia Rakov [2002]. In questo caso dunque si è fatta un'assunzione di base molto forte e cioè che l'evoluzione dell'eccentricità del disco sia simile a se stessa nel tempo. Cambia la larghezza della distribuzione ma non il prolo. Ciò è giusticato dal fatto che l'andamento dell'eccentricità degli asteroidi nella fascia principale dopo 5×109 _{anni rimane abbastanza simile ad una funzione}

di Rayleigh (gura 6.3).

Inoltre la dierenza nelle risonanze nei due casi, corotante e contro- rotante, genera un dierente riscaldamento e quindi un dierente andamento nell'istogramma dell'eccentricità. La prima dierenza che si osserva è che, all'aumentare dell'eccentricità nel caso corotante diminuisce il numero di particelle mentre nel caso controrotante si osservano sporadici ma costanti picchi in tale istogramma (gura 6.4).

Anche qui, come nel caso precedente, il valore della σ dipende dalla massa del pianeta. Ciò è visibile nella gura 6.5 in cui sono presentati tre istogrammi per il caso controrotante, con stesso numero di planetesimi e pianeta posto alla stassa distanza (2A.U.) ma con masse dierenti, rispetti- vamente di 10M⊕, 100M⊕ e 300M⊕.

Fig. 6.5: Evoluzione nel tempo della σ. Come si può osservare i valori della sigma, calcolati per due dierenti dischi protoplanetari: controrotante (in alto) e corotante (in basso) danno gli stessi.

sorgente termica (che in questo caso è rappresentata dal pianeta). Poichè il riscaldamento è di tipo dinamico maggiore è la massa del pianeta, maggiore è il momento angolare che esso trasmette ai planetesimi e maggiore è il loro riscaldamento. Un terzo metodo usato per osservare il dierente andamento dell'evoluzione dell'eccentricità nei due casi proposti è il cacolo dell'entropia di Kolmogorov-Sinai. In questo caso si parte dalla denizione di densità numerica di particelle nello spazio delle fasi.I