Nel § 5.1.1 è stato introdotto il modello di dispersione nei volumi esterni alla colonna, facendo notare quanto sia importante tener conto di questo fenomeno in tutte le fasi cromatografiche. Nelle fasi di adsorbimento e di lavaggio si può semplicemente descrivere l’insieme dei ritardi e dei mescolamenti nel sistema attraverso le equazioni 5.10 e 5.11. Nella fase di eluizione non si assiste ad un cambio di concentrazione della proteina di interesse, bensì è il tampone stesso che cambia, quindi le equazioni di dispersione non sono applicabili così come sono in questa fase.
Tuttavia è evidente che il recupero della proteina non può iniziare finché il tampone di eluzione non fa il suo ingresso nella colonna. Inoltre, è da considerare il fatto che i mescolamenti nei volumi esterni alla colonna fanno giungere il tampone di eluizione diluito in quello di lavaggio. Si può supporre quindi che la velocità della reazione di eluizione sia proporzionale alla concentrazione di eluente e che raggiunga il suo massimo una volta che il tampone di lavaggio sia stato completamente spiazzato dalla colonna. Il metodo più semplice per tener conto di questi effetti è quello di usare nell’equazione cinetica una costante di eluizione fittizia che include gli effetti della dispersione, k : 'e
(
)
+ ≥ − − − − + < × = e d e d CSTR e d e e t t t per t t t V F t t t per k k exp 1 0 ' 6.53Questa forma della costante cinetica può essere facilmente implementata in una cinetica del primo ordine irreversibile:
s e s k c dt dc =− ' 6.54 L’equazione cinetica 6.54 si è rivelata particolarmente utile per eseguire le simulazioni del picco di eluizione, dimostrando una eccellente capacità di approssimare i dati sperimentali (§ 7.4).
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Horstmann, B. J., Chase, H. A., Modelling the affinity adsorption of Immunoglobulin G to Protein A immobilized to agarose matrices, Chemical Engineering Research and Design, 1989, 67, 243–254.Capitolo 7
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VALIDAZIONE DELALIDAZIONE DELALIDAZIONE DELALIDAZIONE DEL
M
MM
MODELLO ODELLO ODELLO ODELLO MMMMATEMATICOATEMATICOATEMATICOATEMATICO
Introduzione
Per definizione, un modello matematico è uno strumento che cerca di descrivere un sistema reale attraverso metodi matematici [1]. Un modello affidabile è in grado di approssimare il comportamento del sistema in esame commettendo errori contenuti.
La modellazione matematica costituisce uno degli strumenti più importanti e largamente utilizzati nell’industria odierna. Permette infatti di determinare le caratteristiche di un sistema in via previsionale, eliminando così la necessità di eseguire prove sperimentali lunghe e dispendiose. Un buon modello matematico può risultare indispensabile al progettista durante la fase di scale–up di un impianto.
Lo sviluppo di un modello matematico può essere suddiviso in due fasi principali. Nella prima si formalizza il problema matematico, ovvero si cerca di descrivere tramite equazioni tutti i principali fenomeni coinvolti nel sistema sperimentale. Nella seconda si procede alla validazione del modello matematico con dati sperimentali; in questa parte è anche possibile stimare i parametri presenti nel modello che risultano di difficile determinazione sperimentale.
In questo capitolo saranno confrontate le simulazioni generate dal modello presentato nel Capitolo 5 con i dati sperimentali riportati nel Capitolo 3. In base alle osservazioni sperimentali, saranno proposte delle modifiche al modello in modo da prendere in considerazione fenomeni solitamente trascurati.
Per la risoluzione del sistema di equazioni sono stati impiegati due diversi software. Entrambi sono in grado di trattare complessi problemi matematici differenziali per via numerica ma usano diverse procedure risolutive: il COMSOL
Multiphysics® 3.3 risolve il sistema di equazioni in base al metodo dei volumi finiti, mentre l’Aspen Custom ModelerTM applica il metodo delle differenze finite.
Nelle prime simulazioni condotte nel corso del dottorato di ricerca è stato usato il COMSOL Multiphysiscs® 3.3. Nonostante l’intuitiva interfaccia grafica e la facilità di implementazione delle equazioni differenziali, il programma risulta difficilmente personalizzabile. Dunque si è preferito passare all’Aspen Custom Modeler, in cui le equazioni sono espresse secondo un apposito linguaggio di programmazione che permette di gestire il problema in modo più dinamico ed interattivo.
Laddove le equazioni ammettono una soluzione analitica, come per esempio nel modello di dispersione nei volumi esterni alla colonna (si veda § 5.1.1), il problema è stato implementato e risolto in un foglio Microsoft® Excel.
Per eseguire le interpolazioni e determinare gli eventuali parametri aggiustabili presenti nei modelli applicati è stato seguito il metodo di minimizzazione dello scarto quadratico medio tra i dati sperimentali e le simulazioni generate dal modello.