nel punto dove dovrebbe esserci la Delta, più o meno largo in base alla qualità dei dati. Questo allargamento di riga è sempre presente ogni volta che si simu- lano andamenti multiesponenziali caratterizzati dall’avere precisi valori di tempi di rilassamento piuttosto che strette distribuzioni attorno al valor medio39, infatti
simulando i dati con una distribuzione gaussiana unimodale yk = 1 √ 2πσ Z Tmax Tmin e− (T − Tmed)2/2σ2etk/TdT + B + (4.2)
la determinazione della forma di riga avviene più semplicemente per il programma. Nella precedente equazione σ rappresenta la larghezza del picco, k rappresenta il
rumore, B la linea di base e Tmed il valore medio del picco. Non sono stati utilizzati
tali tipi di distribuzioni poiché non era noto il valore medio della larghezza di tali distribuzioni. I fenomeni di spin-diffusion tendono, in base alla caratteristiche del sistema, a generare distribuzioni più o meno larghe, quindi per non imporre un valore di larghezza, il cui valore cambia in realtà da caso a caso, si è deciso di simulare direttamente decadimenti caratterizzati da singoli tempi di rilassamento (corrispondenti a distribuzioni caratterizzati da Delta di Dirac).
4.2
Misure CONTIN - griglia e spaziatura punti
Decadimenti monoesponenziali noise-free
Alcuni decadimenti monoesponenziali simulati, sia in presenza che in assenza di ru- more, sono stati testati sul software CONTIN al fine di determinare la miglior griglia di punti su cui effettuare l’operazione di inversione. Come si vede dall’Equazione (3.2) CONTIN risolve il problema inverso trovando le componenti g(λ)i, ottenute
dalla discretizzazione dell’equazione integrale e risolve un sistema di equazioni li- neari in cui le incognite sono le g(λ)i e i corrispettivi coefficienti dello sviluppo cj.
La discretizzazione avviene su una griglia di NG punti (vedi Sezione 3.1.2) e i punti su questa griglia possono essere spaziati logaritmicamente o linearmente tra loro. La scelta della griglia di punti influenza profondamente l’esito della procedura di inversione, in quanto influenza la risoluzione di g(λ). Insieme a questo parametro è stato anche osservato l’effetto di un diverso tipo di campionamento dei punti speri- mentali nel dominio del tempo. Dati di letteratura riguardanti inversione di dati di
decadimento spin-spin39confermano che per questo tipo di dati la natura ottimale
della spaziatura che permette di avere un buon risultato è quella logaritmica. Ciò tuttavia non è spesso compatibile con le procedure sperimentali a disposizione, i decadimenti T2 infatti normalmente prevedono sequenze di acquisizione aventi un
intervallo di campionamento lineare18, 35. I decadimenti simulati in questa sezione
sono caratterizzati dall’avere un esiguo numero di punti (≈ 30) rispetto a quelli comunemente utilizzati per analisi continue39 che sono dell’ordine di alcune cen-
tinaia. Ciò è stato fatto per osservare l’effetto di questi parametri su set di dati caratteristici di T1ρ , più sensibili dei dati di rilassamento T2 a possibili artefat-
ti di inversione, poiché caratterizzati da un numero minore di punti e quindi, in principio, da un minore contenuto informativo.
Risultati decadimenti monoesponenziali noise-free
Sono qui di seguito riportati i risultati dei diversi esperimenti effettuati. I test effettuati sono stati condotti su decadimenti monoesponenziali aventi tempi di ri- lassamento di 0.1, 1.0 e 10.0 ms. L’intervallo temporale va da 0 a 4 ms, generando in questo modo tre tipologie di decadimento, un decadimento molto veloce (0.1 ms), un decadimento normale (1.0 ms) e un decadimento lento che non riesce a decadere completamente a zero nell’intervallo di campionamento (10.0 ms); i de- cadimenti sono mostrati in Figura 4.2. Nella Tabella 4.1 sono riportati i valori ottenuti al variare dei parametri citati precedentemente per l’inversione dei diversi transienti. I dati riportati non sono stati analizzati simulati più volte, in quanto si tratta di decadimenti noise-free e quindi i risultati dell’inversione sono sempre gli stessi in assenza di rumore. L’effetto della griglia di proiezione si può osservare paragonando i valori delle colonne A con B e C con D (vedi Tabella 4.2). Si può subito vedere che per decadimenti noise-free la scelta di una griglia di T1ρ lineare
o logaritmica porta a delle variazioni nei valori dei parametri ottenuti; per una griglia logaritmica i valori dei tempi di rilassamento trovati sono generalmente più in accordo con i valori di input ed hanno una incertezza percentuale minore. Anche la larghezza di riga del picco della distribuzione (γ) è notevolmente inferiore. A parità di punti, una griglia equispaziata in T1ρ ha lo svantaggio di poter essere uti-
lizzata efficacemente soltanto per piccoli intervalli di tempi di rilassamento, perché solo in quel caso la spaziatura riesce a coprire adeguatamente l’intervallo di pro-
4.2. MISURE CONTIN - GRIGLIA E SPAZIATURA PUNTI 63 T1 Ρ= 0.1 ms T1 Ρ= 1.0 ms T1 Ρ= 10.0 ms 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 tHmsL IH u .a .L
T1ρ A B C D 0.1 ms 0.0926 0.0999 0.0974 0.0999 1.0 ms 1.0219 1.0004 1.0294 1.0047 10.0 ms 10.0180 10.0190 12.1590 12.9890 Incertezza % A B C D 0.1 ms 2.50 0.02 2.70 0.32 1.0 ms 0.21 0.01 0.22 0.07 10.0 ms 0.04 0.05 4.60 5.70 γ A B C D 0.1 ms 0.760 0.032 0.840 0.065 1.0 ms 0.190 0.028 0.190 0.067 10.0 ms 0.031 0.032 0.300 0.370
Tabella 4.1: Valori dei tempi di rilassamento, le loro incertezze e la larghezza relativa dei picchi per le simulazioni dei rilassamenti monoesponenziali noise-free, effettuate tramite CONTIN. Il significato delle sigle A,B,C,D utilizzate è riportato in Tabella 4.2.
A Decadimenti campionati linearmente nel tempo ed aventi una griglia di inversione lineare in T1ρ
B Decadimenti campionati linearmente nel tempo ed aventi una griglia di inversione logaritmica in T1ρ
C Decadimenti campionati logaritmicamente nel tempo ed aventi una griglia di inversione lineare in T1ρ
D Decadimenti campionati logaritmicamente nel tempo ed aventi una griglia di inversione logaritmica in T1ρ
4.2. MISURE CONTIN - GRIGLIA E SPAZIATURA PUNTI 65
Figura 4.3: Esempi di distribuzioni aventi griglia logaritmica (blu) e lineare (rosso) in T1ρ .
iezione. Per intervalli maggiori le componenti a bassi tempi di rilassamento sono descritte male, il programma in quest’ultimo caso ha pochi punti a disposizione su cui proiettarle. L’accuratezza del fitting come si può vedere in A e C peggiora al diminuire del tempo di rilassamento del transiente, le larghezze di riga più elevate sono associate alle inversioni dei transienti con T1ρ di 0.1 ms, il cui picco viene
determinato in maniera non ottimale. I momenti della distribuzione estraibili da tale picco sono molto incerti e quindi per grandi intervalli di T1ρ è sconsigliabile
l’uso di tale griglia. La griglia logaritmica invece permette di spaziare su un range di almeno 3 o 4 ordini di grandezza di tempi di rilassamento senza che i risultati ne siano fortemente influenzati. Due distribuzioni aventi diversi intervalli di proiezione sono mostrati in Figura 4.3. Come si può vedere su una stessa scala di T1ρ (che
copre 3 ordini di grandezza) la scelta di una griglia lineare porta a picchi molto stretti e descritti solo da pochi punti. L’uso di tale griglia risulta utile solo se si è in grado di circoscrivere l’intervallo di T1ρ da proiettare ad un solo ordine di gran-
dezza, altrimenti la descrizione dei picchi non è adeguata. L’effetto della spaziatura dei punti invece si può osservare comparando le colonne A con C e B con D. Su un set di pochi punti la variazione del tipo di spaziatura dei dati porta a piccole variazioni, i dati ottenuti sono simili per tutti i transienti studiati, a parte per il transiente di 10 ms che con una spaziatura logaritmica viene descritto peggio degli altri. Le distribuzioni ottenute dall’inversione per i set di dati aventi spaziatura lineare e logaritmica nel tempo e con una griglia logaritmica in T1ρ sono riportati
rispettivamente in Figura 4.4 e Figura 4.5. I risultati ottenuti sono molto buoni per questo set di dati, i picchi per i decadimenti a 0.1 ms e 1.0 ms sono molto stretti, il che significa che il programma riesce a determinare con una grande accuratezza la presenza dei decadimenti intermedi e rapidi rispetto all’intervallo temporale scel- to. Il valore peggiore si ha per il picco a 10 ms, ma, nonostante la sua larghezza, il valore medio (ottenuto dal primo momento della distribuzione) viene comunque stimato abbastanza bene. Gli stessi set di dati sono stati analizzati successivamen- te con il metodo dei minimi quadrati non lineari, i parametri del fitting ottenuti sono riportati in Tabella 4.3. Il fitting è stato effettuato imponendo un modello monoesponenziale e inserendo come parametri iniziali valori vicini a quelli imposti nella simulazione dei transienti. Il valore del χ2 è stato utilizzato per giudicare
l’accuratezza del fitting. Le incertezze in questo caso sono estremamente basse e la stima dei parametri è ottima, essendo il transiente privo di rumore. In questo caso anche il transiente che non decade completamente viene stimato bene. Ciò dipende dalla natura del metodo dei minimi quadrati non lineari, esso lavora meglio in caso di dati che non decadono a livello del rumore, in quanto la somma dei residui su dati non completamente decaduti è più semplice da minimizzare. L’algoritmo di inversione su dati questo tipo di dati è invece più sensibile, decadimenti lenti ven- gono facilmente confusi con la linea di base e quindi la loro determinazione è spesso difficoltosa; conseguentemente i risultati per questo metodo sono peggiori rispetto ai minimi quadrati non lineari.
4.2. MISURE CONTIN - GRIGLIA E SPAZIATURA PUNTI 67 T1 Ρ= 0.1 msHcampionamento logaritmicoL T1 Ρ= 1.0 msHcampionamento logaritmicoL T1 Ρ= 10.0 msHcampionamento logaritmicoL 0 5 10 15 0 2 4 6 8 T1 ΡHmsL gH T1 Ρ L
Figura 4.4: Distribuzioni ottenute per inversione di decadimenti noise-free aventi punti campionati logaritmicamente nel tempo, la griglia di proiezione è logaritmica in T1ρ .
T1ρ Decadimenti t-equispaziati Decadimenti ln(t) equispaziati
0.1 ms 0.1 0.1002
1.0 ms 1.0000 1.0010
10.0 ms 10.0000 10.0050
Incertezza Decadimenti t-equispaziati Decadimenti ln(t) equispaziati
0.1 ms ≈ 5 × 10−9 0.0001
1.0 ms ≈ 1 × 10−7 0.0003
10.0 ms ≈ 2 × 10−7 0.0021
T1 Ρ= 0.1 msHcampionamento lineareL T1 Ρ= 1.0 msHcampionamento lineareL T1 Ρ= 10.0 msHcampionamento lineareL 0 5 10 15 0 5 10 15 20 25 T1 ΡHmsL gH T1 Ρ L
Figura 4.5: Distribuzioni ottenute per inversione di decadimenti noise-free aventi punti campionati linearmente nel tempo, la griglia di proiezione è logaritmica in T1ρ .
4.2. MISURE CONTIN - GRIGLIA E SPAZIATURA PUNTI 69 æ æ æ æ æ æ æ æ æ ææ ææ ææ æææææææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ àà ààà àà à à àà à àà à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à ììììììììììììììì ìììì ììì ì ì ì ìì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì æ T1 Ρ= 0.1 ms à T1 Ρ= 1.0 ms ì T1 Ρ= 10.0 ms 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 tHmsL IH u .a .L
Figura 4.6: Un set di decadimenti noised analizzati, aventi T1ρ di 0.1, 1.0 e 10 ms
e valore di SNR pari a 100.
Decadimenti monoesponenziali noised
Il passaggio successivo è stato quello di analizzare decadimenti monoesponenziali affetti da rumore aventi diversi valori di SNR.
Risultati decadimenti monoesponenziali noised
I decadimenti sono stati simulati sulla stessa scala di tempi di quelli precedenti e la griglia di inversione utilizzata è stata in ogni caso quella logaritmica. Un set di dati esemplificativo, avente SNR pari a 100, è stato riportato in Figura 4.6. I dati ottenuti per l’analisi continua di uno dei set sono riportati in Tabella 4.4. Ri- sultati simili sono stati ottenuti per i restanti set di dati analizzati che differivano solo per il valore del rumore aggiunto. Passando da E ad G e da F a H il valore
T1ρ E F G H 0.1 ms 0.1109 0.1007 0.1042 0.1041 1.0 ms 0.97 1.10 0.98 1.06 10.0 ms 10.0 15.6 11.1 16.1 Incertezza % E F G H 0.1 ms 4.5 3.1 2.7 2.7 1.0 ms 4.0 6.0 2.1 2.8 10.0 ms 7.2 8.9 7.0 5.8 γ E F G H 0.1 ms 0.14 0.11 0.12 0.12 1.0 ms 0.26 0.48 0.19 0.35 10.0 ms 0.76 0.50 0.70 0.48
Tabella 4.4: Valori dei tempi di rilassamento, le loro incertezze % e la larghezza relativa dei picchi per le simulazioni monoesponenziali noised, effettuate tramite CONTIN. Il significato delle sigle utilizzate è riportato in Tabella 4.6.
di SNR raddoppia, dai risultati si evince che l’accuratezza nella determinazione aumenta con l’aumentare del SNR, inoltre le incertezze percentuali e le larghezze di riga diminuiscono. Anche per questo set di dati si può osservare che la stima peggiore per i parametri del decadimento si ha per il decadimento avente un T1ρ di
10 ms (vedi Figura 4.6), i cui valori di incertezza percentuale e larghezza di riga sono poco sensibili alla variazione del rapporto segnale-rumore e in generale l’ac- curatezza sul risultato risulta essere sempre la più bassa. Ciò è in accordo con i valori osservati per i decadimenti noise-free della sezione precedente. Paragonan- do a parità di rumore i risultati delle colonne E con F e G con H si può vedere l’effetto della spaziatura dei dati nel dominio del tempo. Gli accordi sui singoli tempi di rilassamento sono buoni; come ci si può aspettare i risultati più accurati si ottengono con la spaziatura logaritmica sui decadimenti aventi tempi di rilas- samento brevi e un accordo migliore sui dati di rilassamento più lunghi con una spaziatura lineare, sempre dovuto al numero di punti utilizzati per la descrizione di quella zona di tempi di rilassamento. Le incertezze percentuali e le larghezze di riga sono comunque molto simili per tutti e due i set di dati. Questi parametri sono
4.2. MISURE CONTIN - GRIGLIA E SPAZIATURA PUNTI 71 T1ρ I L M N 0.1 ms 0.104 0.097 0.102 0.099 1.0 ms 0.98 1.00 0.99 1.00 10.0 ms 10.2 10.07 10.1 10.0 Incertezza % I L M N 0.1 ms 4.1 2.3 2.1 1.2 1.0 ms 1.6 1.6 0.8 0.8 10.0 ms 3.3 0.3 1.6 0.2
Tabella 4.5: Valori dei tempi di rilassamento, le loro incertezze % e la larghezza relativa dei picchi per le simulazioni monoesponenziali noised, effettuate tramite minimi quadrati non lineari. Il significato delle sigle utilizzate è riportato in Tabella 4.7.
E Decadimenti linearmente equispaziati nel tempo aventi SNR 50 F Decadimenti logaritmicamente equispaziati nel tempo aventi SNR 50 G Decadimenti linearmente equispaziati nel tempo aventi SNR 100 H Decadimenti logaritmicamente equispaziati nel tempo aventi SNR 100
Tabella 4.6: Sigle per i vari decadimenti monoesponenziali noised studiati. stati paragonati con quelli ottenuti analizzando gli stessi set di dati con il metodo dei minimi quadrati non lineari, più comunemente utilizzato in letteratura. Questi ultimi sono riportati in Tabella 4.5 ed è possibile vedere che essi non differiscono sostanzialmente da quelli ottenuti nel caso continuo. Le considerazioni effettuate sull’effetto del SNR e del campionamento sono analoghe al caso dei dati analizzati con il CONTIN, infatti l’incertezza sui risultati si dimezza passando da SNR 50 a SNR 100 per tutti i transienti studiati. Le incertezze più basse si hanno per i dati campionati logaritmicamente. L’accordo sui singoli tempi di rilassamento è molto buono, come si può vedere paragonando le corrispondenti colonne delle Ta- belle 4.4 e 4.5. La componente a 10 ms viene determinata meglio con il metodo dei minimi quadrati di quanto non venisse fatto nel metodo continuo. Sulla base di queste misure non è possibile stabilire quale metodo di campionamento di pun-
I Decadimenti linearmente equispaziati nel tempo aventi SNR 50 L Decadimenti logaritmicamente equispaziati nel tempo aventi SNR 50 M Decadimenti linearmente equispaziati nel tempo aventi SNR 100 N Decadimenti logaritmicamente equispaziati nel tempo aventi SNR 100
Tabella 4.7: Sigle per i vari decadimenti monoesponenziali noised studiati. ti è preferibile in assoluto per analisi continue. Entrambe (lineare o logaritmica) possono dare dei risultati buoni su decadimenti di tipo monoesponenziale, affetti o meno da rumore. Tuttavia al fine della determinazione di proprietà dinamiche è molto importante poter determinare adeguatamente le componenti aventi tempi di rilassamento molto corti, quindi una spaziatura dei dati di tipo logaritmica (che è generalmente utilizzata per esperimenti di T1ρ ) è stata utilizzata per le successive
misure. Alla fine di questa serie di inversioni e paragonando i risultati ottenuti con quelli derivanti dal fitting classico, si può quindi concludere che un’analisi di tipo continuo è utilizzabile per ottenere informazioni dinamiche da dati rilassometrici T1ρ . A tal fine sono stati quindi scelti i parametri per le successive simulazioni;
si è scelto di operare utilizzando una griglia logaritmicamente spaziata in T1ρ e un
dati campionati in modo logaritmico nel dominio del tempo. Utilizzando questi pa- rametri sono state effettuate simulazioni su dati di decadimento T1ρ e, in secondo
luogo, anche su T2.