Simulazioni PWRA

Sugli stessi set di dati analizzati precedentemente si è effettuato il calcolo, per ogni transiente, della PWRA. In questo caso la PWRA è una grandezza connessa alla distribuzione determinata da CONTIN, e corrisponde al primo momento della distribuzione dell’inverso dei tempi di rilassamento, ottenuto per integrazione su tutto il range di T1ρ studiato

PWRA =

Z T1ρ,max

T1ρ,min

T1ρ−1g(T1ρ−1) dT1ρ−1. (4.5)

CONTIN restituisce direttamente nell’output questa grandezza. Nel caso di una distribuzione avente un singolo picco la PWRA si riduce all’inverso del tempo di decadimento medio per il sistema. Per le analisi effettuate con il metodo discre- to si è utilizzata la definizione di PWRA della Sezione 2.8, dove n è il numero di esponenziali associati a quel decadimento multiesponenziale. In Tabella 4.12 sono riportate le PWRA ottenute per gli esperimenti aventi un SNR simulato di 100: i valori in questo caso sono mediati sui vari set analizzati aventi rumore generato indipendentemente con lo stesso modello. Anche in questo caso la prima colonna

4.4. ANALISI T1ρ 91

rappresenta il rapporto tra i due diversi tempi di rilassamento nei transienti biespo- nenziali simulati. I dati sono stati quindi comparati con l’andamento atteso sulla base dei parametri inseriti nel fitting ed il grafico corrispondente è rappresentato nelle Figure 4.16 e 4.17. La determinazione della PWRA avviene in maniera accet- tabile, anche quando questi transienti sono stati classificati come monoesponenziali dall’algoritmo di inversione e non riproducono quindi l’andamento teorico biespo- nenziale. Nella Figura 4.17 è mostrato il grafico logaritmico diagonale che mostra la PWRA ottenuta in ascissa e la PWRA attesa in ordinata. La maggior parte dei punti giace vicino alla diagonale, in media si ha una sottostima media della PWRA del 10-20% rispetto al valore atteso, per ogni combinazione di dati analizzata. Ciò è particolarmente evidente per i set aventi un peso relativo di 50% e 70% (rispet- tivamente il set rosso e viola). La PWRA è sottostimata di una quantità costante per ogni rapporto di tempi di rilassamento. Un buon risultato si ha nella parte alta del grafico, dove ci sono le componenti ad alto valore di PWRA. Queste infatti vengono stimate molto bene, anche per decadimenti caratterizzati da una compo- nente a decadimento rapido con il peso di 30% (che da un contributo maggiore alla PWRA ma la cui determinazione è più critica e spesso difficile da ottenere). Per le PWRA intermedie si può vedere come esse siano generalmente abbastanza ben determinate anche se uniformemente sottostimate. La stima peggiore si ha per le PWRA aventi un basso valore, come si può notare nella parte in basso a sinistra del grafico diagonale. Il set (punti blu) corrisponde, in quella zona del grafico, a dati aventi valori di T1ρ,2 elevati (con un peso del 70 %): per le condizioni di

campionamento ciò corrisponde a decadimenti incompleti che vengono quindi de- terminati male dal metodo di inversione. Ciò comporta che la restante componente venga sovrastimata e quindi la PWRA ottenuta sia più bassa di quella attesa. Per piccoli valori di PWRA questa discrepanza è tuttavia numericamente trascurabile (come si può anche osservare dalla parte finale delle tre diverse curve in Figura 4.16). Inoltre contestualizzando questo risultato nell’ambito della determinazione dei parametri del moto si può sicuramente dire che piccole differenze nei valori assoluti delle singole PWRA, soprattutto quelle piccole, hanno un impatto molto basso nella corretta determinazione dei parametri. Più in generale per una corretta determinazione dei parametri del moto non è indispensabile avere un ottimo accor- do sulle singole PWRA, ciò che è più importante è che l’andamento della PWRA

d

Figura 4.16: Valori di PWRA trovati con il metodo continuo (rappresentati dai punti) per i vari decadimenti biesponenziali noised descritti aventi T1ρ ,1 paria 5

mse graficati variando T1ρ ,2, come descritto in Sezione 4.4.2. I dati sono comparati

con l’andamento teorico (curva continua) per i vari set aventi pesi relativi differenti e con SNR pari a 100. Nel riquadro è rappresentata un’espansione del grafico nella zona a PWRA intermedie.

4.4. ANALISI T1ρ 93

Figura 4.17: Valori di PWRA medi trovati con il metodo continuo (rappresentati dai punti) per i vari decadimenti descritti in Sezione 4.4.2 comparati con l’andamento teorico (lungo la diagonale) per i vari set aventi pesi relativi differenti, SNR pari a 100.

Figura 4.18: Valori di PWRA medi trovati con il metodo discreto (rappresentati dai punti) per i vari decadimenti descritti in Sezione 4.4.2 comparati con l’andamento teorico (lungo la diagonale) per i vari set aventi pesi relativi differenti, SNR pari a 100.

4.4. ANALISI T1ρ 95

T1ρ,i/ ms (wi/ %)

T1ρ ,1 / T1ρ ,2 wsim1 = 30% w1sim= 50% w1sim= 70%

50 7.08 2.39 0.23 10 1.38 1.10 0.75 5 0.56 0.37 0.27 3.3 0.42 0.34 0.26 2.5 0.37 0.30 0.26 2 0.32 0.27 0.24 1.7 0.28 0.26 0.23 0.5 0.12 0.13 0.16 0.3 0.11 0.13 0.15 0.25 0.10 0.12 0.15

Tabella 4.13: Valori medi di PWRA ottenute con i minimi quadrati non lineari per i differenti set biesponenziali analizzati con SNR pari a 100. T1ρ ,1 = 5 ms

al variare della temperatura sia ben descritto. Infatti i parametri caratteristici del moto sono descritti dall’andamento delle PWRA con la temperatura mentre il va- lore assoluto delle PWRA è determinata solo da una costante moltiplicativa che ha scarso significato fisico. In Tabella 4.13 sono riportati i valori medi di PWRA ottenuti per i fitting non lineari ai minimi quadrati. Le PWRA ottenute sono sta- te estratte dai dati ottenuti dalla precedente sezione; per ogni singolo transiente sono stati mediati tra loro tutti i risultati associati a stessi rapporti T1ρ,1/ T1ρ,2.

In Figura 4.18 è rappresentato lo stesso tipo di grafico mostrato precedentemente per i dati ottenuti mediante processo di inversione. I valori di PWRA ottenuti in questo modo sono anch’essi abbastanza in accordo con quelli teorici, tuttavia soprattutto per alti valori di PWRA si osservano dei punti molto fuori diagonale, segno che una o più tempi di rilassamento vengono determinate male. Nella zona a basse PWRA i valori ottenuti sono più in accordo di quelli ottenuti con il metodo continuo, questo sempre perché con il fitting discreto è più semplice determinare decadimenti parziali, che nel metodo continuo possono venir semplicemente confusi con la linea di base. Per confronto tra la Figura 4.17 e la Figura 4.18 si vede nel me- todo continuo le PWRA vengano generalmente sottostimate in maniera uniforme

su tutto il range studiato, mentre per il metodo discreto l’accordo migliore si ha per le PWRA basse e l’accuratezza della determinazione varia considerevolmente con il rapporto tra i tempi di rilassamento dei transienti analizzati. Quindi la procedura continua e quella discreta permettono di ottenere in maniera ottimale le PWRA; in particolare l’approccio continuo stima meglio le PWRA elevate rispetto a quello discreto. L’uso dell’inversione continua per l’ottenimento sistematico dei valori di PWRA a partire dai dati rilassometrici sembra quindi utilizzabile. Per mostrare ciò nel successivo capitolo si è deciso di utilizzare questo metodo, sempre in com- parazione a quello discreto, per la determinazione delle PWRA e dei parametri del moto di un campione sperimentale.