4.1–CONSIDERAZIONI SUI MODELLI
La definizione e l’applicazione di ‘modelli’ si è sviluppata come una delle principali attività della ricerca scientifica in generale e in particolare dell’Ingegneria.
È opportuno richiamare alcune osservazioni di base sul significato e quindi sui limiti dei ‘modelli’, citando Hawking, uno dei più noti fisici teorici del XX secolo:
“Per poter parlare della natura… e discutere problemi… occorre avere ben chiaro che cosa sia una teoria scientifica. Io adotterò qui la concezione ingenua che una teoria sia solo un modello… e un insieme di regole che mettono in relazione le quantità presenti nel modello con le osservazioni che facciamo nella realtà. Il modello esiste solo nella nostra mente e non ha alcun’altra realtà (qualsiasi cosa questa affermazione possa significare). Una teoria, per essere una buona teoria scientifica, deve soddisfare due richieste: descrivere con precisione una grande classe di osservazioni sulla base di un modello contenente solo qualche elemento arbitrario, e fare predizioni ben definite sui risultati di future osservazioni.
Qualsiasi teoria fisica è sempre provvisoria, nel senso che è solo un’ipotesi: una teoria fisica non può cioè mai venire provata. Per quante volte i risultati di esperimenti siano stati in accordo con una teoria, non si può mai essere sicuri di non ottenere la prossima volta un risultato che la contraddica.”
“Abitualmente noi scomponiamo il problema in varie parti e inventiamo teorie parziali. Ognuna di queste teorie descrive e predice una certa classe limitata di osservazioni, trascurando gli effetti di altre quantità, o rappresentandole per mezzo di semplici insiemi di numeri. Può darsi che questa impostazione sia completamente sbagliata.”
[HAWKING 1988]
Questi concetti erano stati già introdotti nel 1926 da Smuts:
“Vagueness, indefinite and blurred outlines, anything savoring of mysticism, was abhorrent to that great age of limited exactitude. The rigid categories of physics were applied to the indefinite and hazy phenomena of life and mind. Concepts were in logic as well as in science narrowed down to their most luminous points, and the rest of their contents treated as nonexistent. Situations were not seen as a whole of clear and vague elements alike, but were analyzed merely into their clear, outstanding, luminous points. A ‘cause’, for instance, was not taken as a whole situation which at a certain stage insensibly passes into another situation, called the effect. No, the most outstanding feature in the first situation was isolated and abstracted and treated as the cause of the most outstanding and striking feature of the next situation, which was called the effect. Everything between this cause and this effect was blotted out. …. This logic precision made it impossible to understand how the one passed into the other in actual causation.
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There is no way out of this impasse but to retrace our steps and see that these concepts are partial and misleading abstractions.”
[SMUTS 1926]
Tradizionalmente i modelli sono espressi in forma matematica, ad esempio tramite una o più equazioni differenziali, risolvibili in modo ‘esatto’ o ‘analitico’ oppure ‘approssimato’ con procedure di Calcolo Numerico. Ad esempio, la cosiddetta ‘seconda legge di Fick’ è un modello della diffusione di carbonio in un processo di cementazione o del trasporto dello ione cloruro nello strato di copriferro nel cemento armato, oppure il cosiddetto ‘reticolo cubico a facce centrate’ è un modello geometrico del reticolo cristallino del ferro a 850°C, ecc.
Questi approcci per quanto eleganti e intellettualmente soddisfacenti, anche perché su di essi è basata la nostra formazione culturale, tuttavia non sono sempre necessariamente ‘efficienti’. Al riguardo si può citare un esempio ben noto nella letteratura fuzzy e nell’ambito dei controlli digitali e della sistemica in quanto spesso utilizzato come modello ‘fortemente’ non lineare sia nella didattica che nel testare nuove strategie di controllo: quello del pendolo inverso. Lo scopo è quello di ‘insegnare’ ad un robot a mantenere in equilibrio un’asta rigida attaccata con un perno ad una base motorizzata; il veicolo può muoversi avanti e indietro su un binario perciò per tenere l’asta in equilibrio è necessario variare in continuazione la velocità e il verso del moto (con un poco di esperienza un essere umano è in grado di mantenere l’equilibrio dell’asta sul palmo della mano… intuitivamente).
Figura 4.1 – Il pendolo inverso.
Il modello matematico ordinario consiste in quattro equazioni differenziali, di cui se ne riporta una come esempio, da cui si ricava la forza orizzontale H che agisce sul dispositivo:
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(
)
⋅(
θ′′ θ−θ′ θ)
+ ′′ =my m L/2 cos 2sin Hnella quale y indica la posizione del veicolo sul binario (y’’ è la sua accelerazione), θ è l’angolo formato dall’asta con la verticale (θ’ è la velocità angolare e θ’’ è l’accelerazione angolare). Il tempo di risposta del dispositivo, legato alla risoluzione delle equazioni differenziali, affidato ad un computer attuale, si è rivelato nettamente superiore rispetto a quello ottenibile con un blocco di regole del tipo SE… E… ALLORA (IF/THEN). L’adozione di un modello fuzzy basato sull’utilizzo di sole sette regole IF/THEN semplici e apparentemente banali (tabella 4.1), risolve molto rapidamente il problema del controllo del dispositivo e del suo mantenimento in equilibrio. Il modello fuzzy ha come variabili di input l’angolo θ e la sua derivata θ’, fuzzificate nei 7 subset PP piccolo positivo, MP medio positivo, GP grande positivo, ZR zero, PN piccolo negativo, MN medio negativo e GN grande negativo. La variabile di output è y’, anch’essa fuzzificata in 7 subset.
Tabella 4.1 – Regole IF/THEN per modellare le condizioni necessarie all’equilibrio del pendolo inverso [SANGALLI 2000; COX 2005]. Regola IF Angolo (θ) IS AND Velocità angolare (θ’) IS THEN Velocità (y’) IS 1 ZR ZR ZR 2 PP PP PP 3 MP ZR MP 4 PP PN ZR 5 MN ZR MN 6 PN PN PN 7 PN PP ZR
L’esempio riportato mostra che in ambito fuzzy la modellazione assume un carattere decisamente differente rispetto a quello tradizionale. In alcuni settori applicativi (controlli di singole apparecchiature o macchine o interi impianti industriali nell’industria chimica ed energetica, compreso il settore elettronucleare), tale nuovo approccio è ora largamente riconosciuto come un valido strumento, certamente non esclusivo ma, perlomeno, alla pari con altri.
Secondo alcuni ricercatori l’approccio fuzzy può sostituire efficacemente qualunque approccio tradizionale ed in qualsiasi settore della tecnologica e della scienza. Ben note al riguardo sono le affermazioni ‘estremistiche’ di KOSKO [1994]. Se questa è certamente una
constatazione valida a livello di principio, tuttavia al di fuori delle tecniche di controllo occorre constatare che le applicazioni sono ancora limitate e debbono essere soggette, caso per caso, ad intenso studio. E questa è appunto l’ispirazione di questa Tesi, che esplora le possibilità della modellazione fuzzy nel settore dei fenomeni chimico-fisici della reologia, della resistenza meccanica e dei modelli di degrado dei materiali e delle strutture.
Esistono diversi tipi di modelli.
I modelli narrativi consistono nella rappresentazione formale di alcuni aspetti molto specifici; vengono utilizzati soprattutto nelle ricerche di mercato. La creazione di questi modelli consiste nell’elaborazione di una serie di questionari che vengono ripetutamente analizzati da Esperti per predire punti critici, margini di vendite o nuove tendenze del mercato.
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I modelli fisici sono costruiti per valutare o testare alcuni sistemi fisici. Esempi di questo sono i modelli di velivoli utilizzati per i test nelle gallerie del vento, i modelli di ricostruzione e di rendering delle costruzioni in progetto, oppure i modelli utilizzati in chimica o biologia quali le rappresentazioni della molecola del DNA o il modello dell’anello benzenico.
I modelli analogici o similari utilizzano le proprietà di un sistema per descrivere quelle di un altro sistema caratterizzato da differenti forme fisiche. Questo tipo di approccio può essere utilizzato poiché esiste un’analogia o parallelismo tra i sistemi di forze che sovrintendono i due sistemi. Si utilizzano modelli analogici per lo sviluppo di modelli meccanici, elettrici, ecc.
I modelli matematici sono costituiti da equazioni, spesso interdipendenti tra loro, che legano le variabili o incognite del sistema e permettono una risoluzione matematica del problema. I modelli matematici comprendono anche i modelli statistici, i neural network e altre procedure di knowledge discovery.
I modelli euristici, chiamati anche modelli IF/THEN/ELSE possono essere considerati un mix tra i modelli visti in precedenza. Vengono oggi utilizzati negli Expert Systems e nei Decision Support Systems e possono riunire al loro interno elementi appartenenti ai modelli visti in precedenza quali dati numerici, esperienza soggettiva, regole empiriche, ecc. A differenza del modello matematico basato su equazioni, esso non è deducibile a priori; questo significa che il sistema di regole previsto deve essere verificato sperimentalmente, perchè a priori non si può dire nulla sulla sua validità [YAMAKAWA 1989].
“The basic idea behind this approach was to incorporate the ‘experience’ of a human process operator in the design of the controller. From a set of linguistic rules which describe the operator’s control strategy, a control algorithm is constructed where the words are defined as fuzzy sets. The main advantages of this approach seem to be the possibility of implementing ‘rules of thumb’ experience, intuition, heuristics, and the fact that it does not need a model for the process.”
[MAMDANI 1977]
Infine, un cosiddetto ‘agent based model’ è basato sull’assunto che alcuni fenomeni possano essere modellati direttamente in termini di algoritmi più che in termini di equazioni. L’idea centrale è quella di avere parametri/variabili che interagiscono con altri secondo regole prestabilite. Questo tipo di modellazione in molti casi compete e spesso sostituisce i comuni modelli basati sull’uso di equazioni [OTTINO 2003].
La soluzione dei modelli matematici, eccetto i casi più semplici, richiede una serie di approssimazioni e l’inserimento di parametri empirici (costanti di ignoranza). Vedremo nei successivi capitoli, ad esempio, come la trattazione di un fenomeno apparentemente ben noto quale la formazione del ghiaccio all’interno della matrice porosa di un materiale porti alla formulazione di modelli matematici certamente complessi e sui quali non sussiste concordanza. Nei nostri contesti il più delle volte comunque il numero delle variabili coinvolte è tale da rendere impossibile una precisa modellazione matematica.