Modellazione Matematica delle Melodie Musicali

E’ ben noto che matematica e musica sono tra loro strettamente connesse (Ashton, 2003). Questa relazione ha una duplice valenza: da una parte possiamo utilizzare modelli e strutture matematiche per creare melodie, dall’altra può essere interessante investigare le proprietà matematiche di una melodia per mettere in evidenza relazioni numeriche e rapporti geometrici (Hofstatder, 1979), da utilizzare nello sviluppo di strumenti di sintesi. Sistemi Dinamici, sia continui (Bilotta & Pantano, 2005; Bilotta, Pantano & Gervasi, 2005; Bertacchini et al., 2007; Bilotta et al., 2009) che discreti (Bilotta & Pantano, 2001; Bilotta et al., 2000a, b) possono utilmente essere utilizzati per sintetizzare musica. Per quanto riguarda i sistemi dinamici continui, il circuito di Chua, con il suo gran numero di attrattori caotici (Bilotta & Pantano, 2008; Bertacchini et al., 2009), permette di creare melodie con caratteristiche sempre diverse. Strutture frattali sono anche ampiamente utilizzate per la creazione di musica (Bilotta et al., 2002a, 2002b), perché è noto che la musica proveniente da frattali è percepita come consonante o piacevole, dal momento che ha una legge tipicamente di potenza. Tale legge, individuata per la prima volta da Voss e Clark (1975), è stata poi ritrovata anche in altri prodotti della musica occidentale (Manaris, 2005; Bigerelle & Iost, 2000).

Le leggi dell'armonia musicale sono state dedotte dai discepoli di Pitagora da una serie di esperimenti, rilevanti per la sistematicità e per il tempo in cui sono stati realizzati. La comprensione dei rapporti armonici sonori è avvenuta con il monocordo, uno strumento a singola stringa, che si estendeva su una cassa armonica, con due punti estremi fissi. Esso aveva un ponte mobile, per cambiare il grado di tensione e la lunghezza della corda. Usando una diversa lunghezza e larghezza della stringa, e variando la tensione, ruotando le viti cui si allacciano, si potevano creare suoni diversi. Pitagora osservò che la stringa più corta produce sempre la nota più alta e, la più lunga, la nota più bassa. Egli scoprì in seguito i tre accordi perfetti: l'ottava (corrispondente ad un rapporto di lunghezza di 1:2), la quinta (corrispondente al rapporto che si ottiene da 2:3) e la quarta (corrispondente al rapporto che si ottiene da 3:4). I rapporti tra numeri piccoli (1:2, 1:3, 2:3, ...) producono suoni piacevoli. L'armonia, la teoria di base della consonanza, è quindi strettamente legato ai rapporti tra piccoli numeri. Esiste pertanto una specifica correlazione tra matematica e musica. La musica occidentale è un perfetto sistema matematico. Partendo da una nota campione (convenzionalmente A4, La nella tradizione italiana), è possibile generare l'ottava, raddoppiando la frequenza precedente, e ottenere le altre note, opportunamente dividendo questo intervallo in 12 parti. Questo processo permette di costruire la scala musicale ben temperata. Le altre note, appartenenti a ottave diverse, possono essere ottenute nello stesso modo. Durante il tempo di Bach, per esempio, diversi musicisti avevano rifiutato le scale temperate, disapprovate per le caratteristiche di eccessivo meccanicismo e per il non rispetto delle regole dell'armonia. Johann Sebastian Bach, invece, era del parere opposto: credeva fermamente che la possibilità di passare da una tonalità all'altra era una caratteristica essenziale della vitalità della musica e che la simmetria e la regolarità nelle sequenze di note non erano

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deplorevoli, ma una garanzia di ordine e di trasparenza. Per affermare questo sistema, Bach compose il primo e il secondo libro del Clavicembalo ben temperato, una rinomata collezione di 48 preludi e fughe, in cui ogni pezzo viene eseguito in tutte le tonalità della scala temperata, sia nei modi maggiori che minori. La scala ben temperata permetteva:

1. consonanza – rapporti di terza, quarta, quinta, unisono, ecc.

2. Completa libertà di modulazione, si può passare da un tasto qualsiasi ad un altro.

3. Convenienza nell'utilizzo pratico di strumenti a tastiera, che possono in questo modo suonare insieme senza risintonizzarsi.

Quando ascoltiamo una melodia musicale, in realtà noi ascoltiamo una sequenza di suoni sovrapposti generati da una serie di strumenti musicali. Ciascuno strumento rappresenta una voce. In realtà questi suoni non sono casuali, ma sono opportunamente codificati come note in quanto hanno una definita altezza ed una precisa durata temporale. Le armoniche superiori generate dallo strumento forniscono il timbro dello strumento stesso. Il pitch p è la frequenza percepita di queste note (Machlis & Forney, 1990) e nella notazione standard (Cavanagh, 2009) è correlato alla frequenza fondamentale del suono dalla seguente relazione:

(3.1)

In questa convenzione p è un numero naturale.

Per poter analizzare una melodia, è necessario creare una rappresentazione della melodia stessa, sulla quale poter operare in modo formale con tecniche matematiche. In generale questo processo non è banale e sono utilizzate diverse statistiche (Pearce et al., 2004; Clauset et al., 2009 ), e numerosi metodi (Bengio, 1996; Basili et al., 2004). Anche se molto spesso si introducono errori ed ambiguità, vista la complessità del fenomeno musicale. Il metodo più usato è l’individuazione di pitch ai quali associare una simbolo: la successione di simboli rappresenterà utilmente anche se non esaustivamente la melodia (Manaris et al., 2003, 2005, 2007; Machado et al., 2007).

Nella musica elettronica, spesso al posto dei pitch si utilizza il codice MIDI. Il MIDI è un sistema formale utilizzato nella sintesi musicale a partire da uno strumento elettronico. Le note ed altre informazioni come gli strumenti sono codificati in un codice binario, che in genere è riconosciuto da altri strumenti elettronici, in grado di riprodurre la stessa melodia. E’ importante notare che il codice MIDI è un registratore di eventi, e quindi l’attacco di una nota avviene ad un determinato tempo, indicato dall’evento Note On. La registrazione cessa ad un determinato tempo (Note Off), anche se non sempre questo evento viene esplicitamente rappresentato, visto che può corrispondere ad un concomitante evento di Note On,

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introducendo in tal senso delle ambiguità. Questo è tanto più evidente quando si tenta di rappresentare un file MIDI con l’usuale notazione visiva della rappresentazione delle note, sul pentagramma. Il sistema automatico, in questo caso, tenta di associare ad una serie di eventi, una nota, di una particolare durata e, questa rappresentazione non è ovviamente univoca. Molto spesso, due rappresentazioni fatte da software differenti producono articolazioni diverse per esempio nell’organizzazione del valore della nota, anche se il risultato percettivo, pur leggermente modificato, è largamente coincidente nella fase di sintesi. Nella Tabella 3.1, si riporta una corrispondenza delle note musicali con il relativo codice MIDI.

Tabella 3.1. Corrispondenze tra la nota musicale e il codice midi. Le note sono espresse con la notazione inglese, ormai di largo uso in tutti i software musicali.

Un metodo alternativo per costruire una successione di simboli per rappresentare la melodia è partire da un file che è già in formato MIDI (Campolongo & Vena, 2006; Liu et al., 2010), rispetto alla segmentazione diretta dei suoni (Manaris et al., 2003, 2005, 2007; Machado et al., 2007).

Da un punto di vista formale, possiamo pensare la nota come una terna, composta da un numero intero che rappresenta l’altezza della nota in un opportuno codice, da un valore discreto che rappresenta la durata del suono e da un numero intero che rappresenta lo strumento. In tal modo, la nota può essere espressa come:

(3.2)

Man mano che il tempo scorre (a intervalli discreti), la singola traccia di una melodia può essere rappresentata come un’applicazione f del tempo discreto nello spazio delle note , i cui elementi sono composti da terne del tipo (3.2): . Allora

(3.3) 3

N

N

:



f

Per cui, a ogni tempo (discreto) associamo una terna di numeri interi del tipo (3.2). Dunque la singola voce di una melodia, in formato MIDI può essere rappresentata da una sequenza di elementi di :

54 (3.4)

Mem

,m

,...,m

....,m

/m

M



Nel resto della tesi, rappresentiamo la nota solo con una coppia, in quanto, per semplicità di analisi, la parte di notazione relativa allo strumento non è considerata. Per cui, la (3.2) diventa:

(3.5)

dove h fa riferimento ad una nota nella specifica ottava, come riportato nella Tabella 3.1. T rappresenta il valore della nota, e convenzionalmente assume, al posto di un intero, uno dei seguenti valori convenzionali (4/4, 2/4, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128). Con questa codifica, lo spazio musicale diventa uno spazio bidimensionale discreto, la cui cardinalità è 128*8=1024. A titolo di esempio consideriamo la prima traccia del Preludio n.1 di Johann Sebastian Bach.

Figura 3.1. La prima parte della partitura del Preludio No.1 di Johann Sebastian Bach.

Figura 3.2. Rappresentazione grafica dello spazio musicale . Le singole note della melodia sono rappresentate come rettangoli colorati.

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In questo caso le note del tipo (3.2) utilizzate sono 25: { }. Possiamo rappresentare

queste differenti coppie nello spazio discreto bidimensionale (Figura 3.2a) dove abbiamo posto sull’asse la durata della nota, convenzionalmente posta da 1 a 8, corrispondente al tempo 4/4, 2/4, 1/4, ecc., e sull’asse verticale l’altezza della nota corrispondente, rappresentata da un numero tra 1 e 127, seguendo la Tabella 3.1. Il Do (che corrisponde a C nella notazione inglese) sulla IV ottava, è individuato dal numero 60. La Figura 3.2a mostra le 25 differenti note che compongono la melodia, che hanno tutte la stessa ascissa, in quanto hanno la medesima durata temporale pari a 1/16. Nella Figura 3.2b, è riportata la disposizione delle note nello spazio musicale per un’altra melodia. In basso un codice colore identifica le note La, Si, Do, Re, Mi, Fa Sol, avendo utilizzato lo stesso colore per la nota e le deformazioni della scala tonale (diesis e bemolle).