Simmetrie e complessità

La modellazione (3.2) delle note ci consente una rappresentazione visiva della melodia come in Figura 3.3. Questa può essere ottenuta nel modo seguente:

1. consideriamo un piano bidimensionale dove sull'asse rappresentiamo il tempo e sull'asse delle l'altezza delle note;

2. ad ogni nota di una melodia, associamo un segmento orizzontale, posto in corrispondenza dell'altezza della nota;

3. mettiamo in successione le varie note della melodia, avendo cura di lasciare uno spazio vuoto quando incontriamo una pausa, pari alla durata della nota stessa.

Figura 3.3. Rappresentazione visiva del Preludio N. 1 di Bach. Si noti lo sviluppo della melodia e la successione delle note al progredire del tempo.

Se uniamo le note consecutive tramite un segmento, avendo cura di lasciare uno spazio in presenza di una pausa, risultano del tutto evidenti le simmetrie presenti nella melodia, come strutture ripetute (e/o variate),a differenti tempi o su differenti altezze ( Figura 3.4).

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Figura 3.4. La presenza di simmetrie all’interno delle melodie è messa in risalto dalla ripetizione dei pattern.

Le simmetrie possono essere di tipo differente come traslazioni (orizzontali e verticali), riflessioni e/o contrazioni (Frova,1999; Pierce, 1992). Le variazioni possono essere considerate come rotture di simmetria. Un esempio di traslazione orizzontale occorre quando un blocco di note viene ripetuto inalterato nel tempo all’interno di una melodia. Una traslazione verticale interviene quando un blocco di note viene ripetuto ad una differente frequenza, mantenendo la stessa durata (valore) delle note e gli stessi rapporti armonici. Una contrazione e/o dilatazione interviene quando un gruppo di note viene ripetuto inalterato modificandone la durata/valore. Se un blocco di note appare in ordine inverso allora si parla di riflessione. Lo strumento che ci permette di misurare le simmetrie è l’entropia (Shannon, 1948; Adami, 1998). La misura dell’entropia è stata usata da Meyer (1956) per suggerire un legame diretto tra il significato musicale e la tensione, secondo questo autore interpretabile musicalmente sia come una misura di informazioni sia di incertezza sul contenuto musicale, espresso attraverso gli andamenti dei contorni melodici, solitamente realizzati da tensioni/ rilassamento. In ambito musicale, altri ricercatori hanno usato misure di entropia in molti modi diversi, tra cui l'analisi della struttura nella musica atonale (Hiller e Fuller, 1967), la variazione stilistica nella musica tonale (Knopoff & Hutchinson, 1981), e le differenze tra gli stili musicali (Margulis & Beatty, 2008).

L’entropia è una grandezza statistica che misura la distribuzione dell’informazione in un sistema. Se si ha un sistema di eventi, e questi eventi occorrono in modalità diverse , ed ogni evento viene ripetuto , allora l’entropia per definizione è pari a

(3.6)

∑

( )

Esistono due valori estremi:

a) il primo quando il numero di eventi ed il numero di modalità coincidono ); questo significa che, se un evento occorre un’unica volta, e tutti gli eventi sono differenti, allora . Quindi la formula (3.6) diventa:

57 (3.7)

∑

( )

Questo fenomeno accade quando una persona digita in modo casuale i tasti del pianoforte. La misura dell’entropia, in questo caso, coincide col massimo del disordine/caos.

b) il secondo caso si ha quando abbiamo un’unica modalità e, quindi, gli eventi sono identici. Allora . La formula diventa in questa occasione:

(3.8)

∑

( )

Questo accade ad esempio quando uno strumento meccanico preme lo stesso tasto del pianoforte per lo stesso tempo M volte. Gli altri casi stanno nel mezzo. Quindi l’entropia di un sistema di M eventi che occorrono in m modalità diverse ha un valore compreso tra 0 e ln(M).

Se si considera l’entropia relativa come il rapporto tra l’entropia e il massimo, , questo valore si colloca in un intervallo compreso tra 0 e 1. E’ quindi possibile fare una comparazione tra sistemi diversi. Se abbiamo una melodia composta da note, gli eventi saranno le singole note, ovvero differenti note, che comporranno la melodia. E’ possibile in tal modo calcolare l’entropia delle note di una melodia.

Consideriamo ad esempio il Preludio N. 2 di Bach, seconda traccia, estratto dalla raccolta The Well

Tempered Clavier, libro I. In tale sonata, si individuano 34 note differenti, mentre la melodia è composta da

493 note, ovvero sono suonati 493 eventi, e esistono 34 possibilità di realizzazione di tali eventi. Un risultato di tale organizzazione è riportato nella Figura 3.5.

Per questa melodia l’entropia è 0,443936367573034, che rappresenta un valore intermedio tra l’ordine (rappresentato da 0) e il caos ( rappresentato da 1).

Una coppia di note che si ripetono (traslazione orizzontale senza dilatazione/compressione) costituiranno un blocco di due note; una terna di note un blocco di 3, e così via. Nella Figura 3.6, è possibile osservare l’entropia dei vari blocchi, nelle prime 10 melodie della collezione Art of Fugues di Bach (AOF). Coppie di note uguali (uguale frequenza e durata) non sono infrequenti; le terne ripetute, meno frequenti, non sono comunque trascurabili.

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Figura 3.5. Esempio di distribuzione delle note in tutta la melodia. Come si può notare, la nota più frequente è il Mi# 3, seguita da Do, Sol e Re, sempre nella stessa ottava. Le 34 note differenti sono indicate nel codice

Met, la cui specifica si trova alla fine del capitolo.

Figura 3.6. Entropia dei blocchi individuati nelle prime 10 melodie della collezione The Art of Fugues di

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Questo diagramma descrive solo una delle possibili simmetrie presenti in una melodia. Nella Figura 3.7 osserviamo il rapporto tra le simmetrie precedenti (indicate con S1), nel caso della melodia m1, considerando blocchi di note ripetute senza distorsioni e in presenza anche di traslazioni verticali di ottava.

Figura 3.7. Confronto tra le entropie nel caso di simmetrie di traslazione (S1) ed altre simmetrie (dilatazione/compressione, traslazione verticale di ottava e traslazione orizzontale) nella prima melodia

della collezione The Art of Fugues di Bach.