Modellazione tape spring

In [68] è stata analizzata tutta una serie di modelli con diversi parametri geometrici, con il fine di capire la loro influenza nei confronti del comportamento del dispositivo.

Per gli scopi di questo lavoro, si considera un modello con le seguenti caratteristiche geometriche:

lunghezza L = 130 [mm] spessore t = 0.12 [mm] angolo sotteso α = 90° raggio R = 20 [mm]

Tab. 6-1 Parametri geometrici della tape spring.

La realizzazione del modello si è basata sul lavoro svolto da Ligustri [68] e soprattutto prendendo per valide le relazioni che garantiscono sia il non raggiungimento della tensione massima ammissibile, sia i corretti rapporti tra le diverse grandezze. Si è già detto come il comportamento di una tape spring sia vincolato principalmente dalle sue proprietà geometriche, ossia L, α, R e t. Ci si avvale della relazione

(Eq.50)

per verificare che le combinazioni di raggio di curvatura e spessore siano tali da non causare il superamento della tensione massima ammissibile per il composito,

.

Nel caso in esame, avendo considerato ,i valori geometrici suddetti soddisfano tale condizione. La lunghezza L è stata ottenuta dal parametro adimensionale di rapporto di aspetto l definito tramite

148 Nelle diverse prove eseguite in [68] prendono in considerazione diversi valori di l, che viene fatto variare tra 4, 6, 8 e 16. Per i modelli studiati in questa sede, si considera solo il caso l = 4, cioè L = 125,7 ≈ 130 [mm] (per α = π/2 e R = 20 [mm]).

Il modello geometrico è stato costruito utilizzando il pre-processore MSC Patran, con solutore impostato su MSC Marc.

In Fig. 6-12 si riporta il modello della la tape spring.

Fig. 6-12 Modello geometrico della tape spring.

Il materiale impiegato è un composito polimerico rinforzato con fibre di carbonio (CFRP) le cui proprietà sono riportate in Tab. 6-2, dove:

- E11, E22 ed E33 sono i moduli di Young nelle direzioni principali; - ν è il coefficiente di Poisson;

- G12, G13 e G23 rappresentano i moduli di taglio. t [mm] E11 [MPa] E2 [MPa] E33 [MPa] G12 = G23 = G13 [MPa] ν 0.12 7.8∙104 7.8∙1010 7.8∙104 6.9∙103 0.04

Tab. 6-2 Proprietà del materiale CFRP.

Il sistema di riferimento ha l’asse z che percorre la lunghezza della tape spring, mentre gli assi x e y giacciono sulla sezione trasversale, come mostrato in Fig. 6-12.

Dopo aver costruito la geometria, si sono impostate le proprietà del materiale (2D

orthotropic) e quelle degli elementi (thin shell).

Per quanto riguarda la mesh, a differenza di quella adottata in [68], si considerano un numero maggiore di elementi in quanto i software utilizzati per queste simulazioni sono meno robusti di ABAQUS e richiedono quindi una discretizzazione più fine. S'impiega dunque una mesh di 20×96 elementi QUAD4 con un bias di -1.03 per garantire un infittimento nella parte centrale, quella più critica per l’analisi. Particolare attenzione è stata posta nella scelta della mesh in modo tale da mantenere il rapporto d’aspetto delle singole celle inferiore a 2.

Per dimostrare l’insensibilità dei risultati nei confronti della discretizzazione, si è creato anche un modello con una mesh più fine nella parte centrale, dove si sono quadruplicati gli elementi

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QUAD 4, inserendone anche di tipo TRIA 3, per garantire la continuità nella trasmissione

delle tensioni tra gli elementi. Svolgendo un’analisi con entrambe le tipologie di mesh si è notato che i risultati sono insensibili al grado di discretizzazione, come si può osservare dalla Fig. 6-13 dove le curve M-θ per i due casi si sovrappongono.

Fig. 6-13 Confronto dei risultati tra la mesh di base (Mesh 1) ed una più fine (Mesh 2).

I nodi di estremità del lato corto sono vincolati da elementi multi point constraint (MPC) a due nodi di controllo posti sullo stesso piano della sezione e posti sull’asse neutro. Gli MPC impongono ai nodi dipendenti di muoversi come se fossero collegati al nodo indipendente attraverso delle travi rigide (Fig. 6-14).

Fig. 6-14 Rappresentazione dell’elemento MPC.

L’asse neutro è localizzato, rispetto alla geometria, in base alle relazioni sviluppate in [66]. Facendo riferimento alla Fig. 6-15 si definiscono le due distanze d1 e d2 dall’asse neutro:

150

(Eq. 52)

(Eq. 53)

Fig. 6-15 Asse neutro della tape spring [66].

Per i casi analizzati l’asse neutro, si posiziona ad un valore pari a .

Ai nodi indipendenti delle MPC sono imposte le condizioni di vincolo ed i momenti, e rispetto ad essi vengono valutati i risultati. Una delle due estremità è vincolata in modo da permettere solo le rotazioni attorno all’asse x, mentre l’altra ha libere sia le rotazioni in x sia gli spostamenti lungo z.

Nelle prime simulazioni si sono scelte le soluzioni SOL 400 e SOL 600 (solutore implicito di MSC Patran) con metodo di Riks-Ramm [60-62]. Dopo diversi tentativi, si è giunti alla conclusione che le due tipologie di soluzione non sono abbastanza robuste per questo tipo di problema e quindi si è scelto di utilizzare il software MSC Marc Mentat [35, 58-59].

La scelta di impiegare il metodo Riks-Ramm (una delle tipologie dell’arc length method) risiede nella sua capacità di seguire l’andamento delle sollecitazioni in funzione degli spostamenti (e viceversa) per il fenomeno dello snap through. Per chiarire l’efficienza di questa soluzione si riportano in Fig. 6-16 i diagrammi relativi al medesimo modello, con la differenza che nel primo viene impostato, per gli incrementi, il metodo fixed, mentre nel secondo è stato utilizzato l’arc length method. Dalla figura si nota come, pur essendo comparabili i valori caratteristici di M+^max e θ+^max, nel secondo caso l’andamento del momento è seguito correttamente, a differenza del primo in cui si osserva un salto netto in corrispondenza dello snap through.

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Fig. 6-16 Confronto fra metodo Fixed e arc length method.

Scelto dunque di utilizzare MSC Marc Mentat, una volta importato il modello, è stato fatto un controllo per verificare che tutti i parametri fossero stati passati da MSC Patran nel modo corretto.

L’analisi è stata fatta impostando adeguati valori per il loadcase e per il job in modo da garantire l’ottenimento dei risultati ricercati. Nelle Tab. 6-3 e Tab. 6-4 si riportano i dati che si riferiscono all’analisi.

PROPRIETÀ LOADCASE

Massimo numero di incrementi nel job 9999

Massimo numero di iterazioni per incremento 100

Procedura iterativa Full Newton-Raphson

Tolleranza sulla forza relativa 0.01

Nello specifico: Arc Length Method

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Frazione iniziale del carico 0.001

Massima frazione di carico in un incremento 0.5 (costante)

Numero max di incrementi nel loadcase 9998

Iterazioni desiderate per incremento 50

Rapporto max tra lunghezza d’arco e lunghezza

iniziale dell’arco ¹⁰

Rapporto minimo tra lunghezza d’arco e

lunghezza iniziale dell’arco ^10e-7

Numero max di cutbacks 1000

Tab. 6-3 Parametri di controllo del loadcase.

PROPRIET À DEL JOB

Procedura non lineare Large Strain

Large Strain Update Lagrange

Tab. 6-4 Parametri di controllo del job.

Per questo modello si sono compiute delle simulazioni sia per il caso opposite sense che per il caso equal sense.

Nel documento SMART MATERIALS PER APPLICAZIONI AEROSPAZIALI, TIPOLOGIE E PROPRIETÀ (pagine 157-162)