Modello termomeccanico

Come si è avuto già modo di spiegare, le leghe a memoria di forma esibiscono uno trasformazione reversibile tra una fase ordinata austenitica alle alte temperature ed una martensitica alle basse temperature. Le variazioni di densità e quindi di volume sono piccole, dell’ordine di 0.003. Le deformazioni di trasformazione, maggiormente di tipo deviatorico, sono dell’ordine di 0.07-0.085. Tuttavia, nella fenomenologia, queste piccole deformazioni di dilatazione non portano necessariamente ad una mancanza di sensibilità alla pressione. Si ripete inoltre come il comportamento delle SMAs sia differente a differenza che esse siano sottoposte a tensione o compressione idrostatica.

La fenomenologia è rappresentata in Fig. 2-53.

Fig. 2-53 Trasformazioni austenite-martensite e martensite-austenite [34, vol. A].

Le curve indicano che a seguito di un raffreddamento, la trasformazione da austenite a martensite inizia una volta raggiunta la Ms. Dopo un ulteriore raffreddamento, la frazione di volume della martensite è una funzione data della temperatura, e diventa il 100% quando si

80 raggiunge la Mf. Dopo il riscaldamento, la trasformazione da martensite ad austenite ha inizio solo dopo A_s. questa trasformazione si completa al raggiungimento di A_f. Inoltre, si ricordi che le quattro temperature di trasformazione dipendono dallo stato tensionale. I dati sperimentali mostrano che Ms, Mf,As e Af possono essere approssimate con i rispettivi valori riferiti al caso senza stress, M⁰s, M⁰f,A⁰s ed A⁰f e definiti dalle espressioni:

(Eq. 9)

(Eq. 10)

(Eq. 11)

(Eq. 12)

dove σeq è la tensione equivalente di von Mises, e Ca, Cm sono opportuni coefficienti per l’austenite e la martensite rispettivamente, che permettono di esprimere la dipendenza delle temperature di trasformazione dalla tensione.

Si sottolinea, come già spiegato, che ad una temperatura sufficientemente elevata, spesso detta Md, la trasformazione in martensite non avviene a nessun livello di tensione.

Inoltre, si tenga presenta che le caratteristiche di trasformazione dipendono sia dalla specifica composizione della lega che dai trattamenti termici subiti.

Per i dettagli teorici sull’effetto a memoria di forma e sulla superelasticità si rimanda al paragrafo 2.2.

La teoria costitutiva formulata da Auricchio si basa sulla cinematica delle piccole deformazioni, sebbene l’estensione alle grandi deformazioni sia semplice. Di conseguenza, la deformazione incrementale Δε è semplicemente la somma dei seguenti contributi:

dove:

- deformazione incrementale elastica; - deformazione incrementale termica; - deformazione viscoplastica incrementale;

- deformazione incrementale associata alle trasformazioni termoelastiche di fase. è semplicemente correlata ad una serie di moduli elastici L e alla variazione incrementale dello stress di Cauchy Δσ attraverso la relazione:

(Eq. 13)

Per il calcolo del coefficiente di espansione termica del composito viene utilizzata la regola delle mescolanze:

81 dove gli apici A e M si riferiscono rispettivamente ai valori relativi all’austenite e alla martensite e f rappresenta la frazione di volume della martensite.

Come notato precedentemente, le deformazioni indotte dalla trasformazione di fase sono il risultato della formazione di martensite orientata e indotta da stress e dalla riorientazione di martensite indotta termicamente disposta in modo random. Per tener conto di questo, viene espresso come:

(Eq. 15) dove: (Eq. 16) (Eq. 17) dove e { } rappresentano le parentesi di McCauley:

, (Eq. 18) Nell’equazione (Eq. 16), rappresenta la velocità alla quale la martensite si è formata,

è il modulo della parte deviatorica della deformazione di trasformazione, mentre ne rappresenta la parte volumetrica.

La fenomenologia della trasformazione delle SMAs è tale per cui l’allineamento della martensite varia con lo stress deviatorico dominante. La funzione è descritta schematicamente in Fig. 2-54 ed è una misura del grado di allineamento alla quale le deformazioni di trasformazione della martensite si attesta con lo stress deviatorico applicato. La funzione può essere calibrata con dati sperimentali. Lo stress equivalente è definito da:

(Eq. 19) dove è lo stress deviatorico.

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Fig. 2-54 Funzione g(σ_eq ) [34, vol. A].

I primi due termini dell’Eq. 17 descrivono lo sviluppo delle deformazioni indotte da trasformazione dovute alla formazione di martensite indotta da stress (parzialmente orientata). è la variazione della formazione di austenite; rappresenta il recupero della deformazione di trasformazione di fase accumulata.

Riconsiderando la funzione g, in MSC Marc è stata implementata una forma funzionale che garantisce un buon fit dei dati sperimentali:

(Eq. 20) In molti casi il primo termine è sufficiente, e valori di e forniscono i migliori risultati. è un livello di stress impiegato per rendere adimensionali le costanti e può essere scelto in modo che quando . In certi casi, per garantire un miglior fit dei dati, si deve includere anche le potenze di ordine maggiore e i valori consigliati sono e . Si sottolinea che e che dovrebbe essere una funzione monotona crescente. In Marc viene quindi fornito un parametro di cut off tale per cui, quando

g raggiunge il valore massimo g^max al livello di stress , esso viene poi mantenuto costante a g^max.

Le proprietà e il comportamento di trasformazione/riorientazione del Nitinol dipendono dalla chimica della lega, dalla sua microstruttura e dai processi termici a cui è stata sottoposta. Ogni volta che uno dei parametri precedenti viene modificato, la calibrazione deve essere ripetuta. La calibrazione dei dati sperimentali riguardanti il Nitinol è migliore quando i provini sono inizialmente al 100% di austenite. Le proprietà che richiedono la calibrazione sono:

- le temperature di trasformazione non sotto stress M⁰_s, M⁰_f,A⁰_s ed A⁰_f; - i coefficiente Cm e Ca;

- le costanti elastiche E^M, E^A, νM

e ν^A;

- i coefficienti di espansione termica α^M e α^A; - la funzione ;

- le tensioni di snervamento delle fasi martensite e austenite σ^M, σA

; - le deformazioni di trasformazione ε^T_eq, εT

83 Per quanto riguarda la calibrazione della funzione g, la strategia più diretta e precisa è quella di fittarla sulla curva stress uniassiale vs. deformazione per la martensite orientata casualmente, condotta ad una temperatura sotto M_f⁰ (Fig. 2-55). La curva continua rappresenta i dati realmente registrati, mentre quella tratteggiata rappresenta la curva di fit. εT

eq è la deformazione deviatorica di trasformazione equivalente. Spesso si osserva l’esistenza di un livello soglia dello stress equivalente sotto il quale non avviene il detwinning e viene identificato con σg

eff. Il valore della funzione g rispetto a questo stress è . Dall’Eq. 17 si vede come la deformazione di twinning sia zero quando . Inoltre, è stato dimostrato dalla pratica che la funzione g tende a 1 per un valore finito del livello di stress equivalente detto . Per definizione . Solitamente, una buona approssimazione per è offerta dall’espressione , ma dipende molto dalle misurazioni sperimentali effettuate.

Fig. 2-55 Tipica curva stress-strain per un provino 100% martensite testato sotto Mf0 [34, vol. A].

In Marc vi è la possibilità di implementare tutti questi parametri, come sarà mostrato nel seguito.