Citata una possibile soluzione di gestione dell’esercizio di un impianto geotermico funzionante soprattutto in fase di riscaldamento, ci si pone ora il problema di valutare l’entità e possibili soluzioni relative al fenomeno della deriva termica dovuto invece ad un maggiore o ad un continuo funzionamento dell’impianto in fase di raffrescamento . E’ il caso dei moderni centri di calcolo, su cui si focalizzerà una maggiore attenzione, ma è il caso anche di altri edifici destinati ad esempio ad attività industriali o commerciali e di esposizione. In questi casi, a causa di numerosi apparecchi illuminanti o di varie attrezzature meccaniche o elettroniche funzionanti in modo continuativo, oppure per garantire il normale svolgimento di particolari cicli produttivi, è richiesta soprattutto l’asportazione continua del calore prodotto all’interno dei locali. Si tratta dunque di una questione più delicata e ancora oggetto di numerosi dibattitti e sperimentazioni. Una pompa di calore accoppiata al terreno sfrutta sostanzialmente la capacità del terreno di accumulare energia e di rappresentare pertanto un volano termico di capacità termica rilevante. Questo significa che la resa di un campo di scambiatori verticali di calore è funzione delle caratteristiche termiche del terreno (conducibilità termica e capacità termica) e della temperatura del terreno indisturbato. Lo scambio termico con il terreno può essere semplificato in modo sintetico da una resistenza e una capacità termica e lo studio del suo comportamento ha visto negli anni la messa a punto di numerose metodologie di calcolo (metodo alle differenze finite, metodo ai volumi finiti, metodo agli elementi finiti, funzioni di trasferimento, metodi analitici).
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Figura 7,1: Schematizzazione della sorgente mediante analogia elettrica
Per rendersi meglio conto di cosa succeda all’interno del terreno in assenza di moto di falda rilevante si può considerare la figura seguente, la quale riporta un esempio semplificato di una sonda libera per cui vengono indicate le temperature all’interno del terreno in funzione della distanza considerata dal bordo della sonda. In particolare l’esempio citato fa riferimento a valori di conducibilità termica e temperatura del terreno indisturbato rispettivamente pari a K= 2 W/mK e To= 15 °C ed è stata ipotizzata una temperatura all’interno della sonda pari a 20 °C. In questo modo è possibile avere una prima idea del comportamento termico del terreno che, dopo un funzionamento continuativo per sei mesi, presenterà il seguente andamento delle temperature alle varie posizioni radiali.
Figura 7,2: Esempio dell’aumento nel tempo della temperatura della sorgente a diverse posizioni radiali
Il comportamento del sistema pertanto si può ritenere tipico di un sistema caratterizzato da una resistenza e una capacità termica.
Dal grafico si evidenziano dunque i tempi di salita della temperatura del terreno e l’entità di tale salto di temperatura in funzione delle diverse posizioni radiali dalla sonda. Naturalmente ad una maggiore distanza si registrerà un minore salto di temperatura rispetto alla temperatura di riferimento e di conseguenza tempi di ritorno più brevi.
7.1- Modellazione eseguita
Il caso analizzato prevede la realizzazione di una pompa di calore geotermica per la climatizzazione di un Data Center. L’obiettivo dell’impianto è infatti asportare nel corso di tutto l’anno, indipendentemente dal susseguirsi delle stagioni, il calore sviluppato dagli apparecchi elettronici presenti all’interno della sala CED. La pompa di calore sarà quindi finalizzata al solo raffrescamento (e non al riscaldamento) e pertanto si vogliono valutare gli effetti di una continua somministrazione di calore verso il terreno. A tale scopo, per velocità e semplicità di calcolo è stato ritenuto opportuno il ricorso ad un approccio analitico. Pertanto, assunta una configurazione impiantistica con sonde geotermiche verticali ai fini della valutazione della risposta termica del terreno, i principali modelli analitici si basano su una serie di ipotesi semplificative:
- Lo scambio termico di interesse è solo quello conduttivo e trascurano pertanto i contributi convettivi ;
- Lo scambio termico gode di simmetria rispetto all’asse radiale del pozzo; - Si trascura lo scambio termico conduttivo lungo l’asse del pozzo.
In modo particolare si farà riferimento ad un impianto geotermico con sonde verticali in pozzo ad una profondità tale da non risentire delle fluttuazioni stagionali della temperatura esterna.
7.2- Modello ILS – “Infinite Line Source”
Uno dei modelli analitici più semplici consiste nell’approssimare la sonda geotermica inserita nel terreno come una fonte di calore lineare, di spessore trascurabile e di lunghezza idealmente infinita, all’interno di un mezzo semi-infinito con proprietà costanti e isotropiche. Il flusso termico viene considerato costante lungo tutta la linea e si valuta il campo di temperatura alle varie coordinate radiali rispetto alla sorgente. Il modello, utilizzato per la prima volta da Morgensen nel 1983, è utile per trovare risultati abbastanza attendibili in tempi piuttosto rapidi.
La formulazione matematica del modello ILS è:
{ 𝜶𝒈(𝛛 𝟐𝑻 𝒈 𝑫𝒓𝟐 + 𝟏 𝒓∗ 𝛛𝑻𝒈 𝑫𝒓) = 𝛛𝑻𝒈/𝛛𝒕 𝑻𝒐(𝒓 → ∞; 𝒕) = 𝑻𝒐 𝑻𝒐(𝒓; 𝒕 = 𝟎) = 𝑻𝒐 𝒒(𝒓 → 𝟎; 𝒕) = −(𝟐𝝅𝒓)𝑲 (𝛛𝑻𝒈 𝛛𝒓 ) = 𝒒
Figura 7,3: Approssimazione della sonda ad un filo idealmente infinito (ILS) La cui formulazione in termini adimensionalizzati è :
𝑻(𝒓, 𝒕) = 𝒒 𝟒𝝅𝑲∫ 𝒆−𝒖 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒒 𝟒𝝅𝑲𝑬( 𝒓𝟐 𝟒𝜶𝒕) ∞ 𝒓^𝟐 𝟒𝜶𝒕 50
Tale espressione analitica consente quindi di valutare la temperatura del terreno in funzione della distanza dalla sonda e del tempo al fronte di un flusso termico specifico q in W/m.
La soluzione del problema è quindi data da una funzione integrale esponenziale, di più complicata trattazione matematica ma che può essere semplificata per una larga scala di valori del numero di Fourier definito come 𝑭𝒐 = 𝜶𝒕𝒓𝟐 .
E’ stato dimostrato che per Fo≥5 :
𝑬 ( 𝒓 𝟐 𝟒𝜶𝒕) = 𝐥𝐧( 𝟒𝜶𝒕 𝒓𝟐 ) − 𝜸
dove 𝛾=0,5772 indica il numero di Eulero.
Con tale approssimazione è possibile operare in modo più agevole utilizzando una funzione più comune e commettendo un errore di approssimazione inferiore al 10%.
Assumendo quindi: • q=40W/m; • α=10−6 • K= 2 W/mK
È stato valutata la temperatura di un terreno tipicamente argilloso alle diverse posizioni radiali e ad un tempo tale da avere Fo=5. Si è quindi utilizzato la formula semplificata per la determinazione della temperatura.
Dalle valutazione effettuate, in corrispondenza delle diverse posizioni radiali, è stato rilevato una differenza di temperatura ∆𝑇𝑔 di circa 4°C (precisamente 3,85 °C) dopo un certo numero di
ore, variabile in base al raggio come testimoniato dalla seguente tabella:
DISTANZA RADIALE (m) TEMPO (h) ∆T (°C)
0,5 347 3,85
1 1388 3,85
1,5 3123 3,85
2 5555 3,85
Analogamente, mantenendo fisso il tempo per cui ad un raggio di 2m si riscontra il salto di temperatura precedentemente rilevato, si è riscontrato di quanto ci si discosta dalla temperatura di riferimento nelle varie posizioni radiali analizzate:
DISTANZA RADIALE (m) TEMPO (h) ∆T (°C)
0,5 5555 8,3
1 5555 6,05
1,5 5555 4,76
2 5555 3,85
In generale l’andamento della temperatura del terreno sottoposto al flusso specifico indicato alle diverse coordinate radiali dalla sonda, può essere riassunto nel seguente grafico:
Figura 7,4: Innalzamento di temperatura calcolato nel tempo alle diverse posizioni radiali
In modo particolare, si presterà attenzione alla curva relativa all’andamento della temperatura ad un raggio di 3,5 m; questo perché considerando una distanza tra una sonda ed un’altra tra i 7 e i 10 m, tale posizione radiale può essere assunta per la valutazione della temperatura di riferimento del terreno oggetto d’analisi.
52 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Te m p e ra tu ra ( °C) Tempo (h) r=2 m r=1,5 m r=1 m r=0,5 m r=3,5 m
A questo punto, ai fini del proseguimento dell’indagine relativa alla risposta termica del terreno, occorre valutare il comportamento dello stesso una volta spento l’impianto. In particolare è interessante valutare dopo quanto tempo il terreno è in grado di ripristinare il suo campo di temperatura indisturbato.
7.3- Duhamel’s Theorem
Per lo studio dell’inerzia termica si può far riferimento ad un funzionamento discontinuo dell’impianto del tipo On-Off finalizzato alla determinazione dei tempi di rigenerazione del terreno surriscaldato. In particolare si sceglie inizialmente una determinata posizione radiale e si assume un tempo sopraelencato per cui si ottiene Fo≥ 5. Ad esempio si sceglie inizialmente di studiare il fenomeno ad r=2m. Immaginando quindi di interrompere il funzionamento dell’impianto nell’istante in cui si rileva ∆𝑇𝑔= 3,85 °C, si vuole valutare quanto tempo impiega il
terreno a dissipare la potenza termica ricevuta.
Si tratta dunque di un problema non stazionario caratterizzato da condizioni al contorno tempo varianti. In particolare la condizione al contorno del secondo tipo, ovvero di flusso imposto, sarà soggetta ad un comportamento discontinuo nel tempo secondo un andamento a gradino. Problemi di questo tipo sono molto frequenti in ambito ingegneristico e a tal proposito il teorema di Duhamel consente una valida soluzione. Esso infatti consente di esprimere la soluzioni di uno specifico problema avente condizioni al contorno non stazionarie, tramite un integrale della corrispondente soluzione con condizioni al contorno indipendenti dal tempo. Dato un generico problema caratterizzato da condizioni al contorno e un termine di generazione interna dipendenti dal tempo del tipo si ha:
𝟏 𝜶 𝛛𝑻(𝒓, 𝒕) 𝛛𝒕 = 𝛁 𝟐𝑻(𝒓, 𝒕) +𝒈(𝒓, 𝒕) 𝒌 𝒌𝒋 𝛛𝑻 𝛛𝒏𝒋 + 𝒉𝒋𝑻 = 𝒇𝒋(𝒓, 𝒕) 𝑻(𝒓, 𝟎) = 𝑭(𝒓)
La soluzione non può essere ottenuta direttamente a causa della non omogeneità dei termini dipendenti dal tempo. Il teorema di Duhamel consente quindi di introdurre una funzione ausiliaria ∅(t,r,τ) che è a sua volta soluzione del problema iniziale.
In questo modo i termini g(r,τ) e f(r,τ) non dipendono dal tempo ma saranno parametri dipendenti dalla variabile τ, pertanto è possibile ricorrere alla separazione delle variabili.
𝟏 𝜶 𝛛𝝓(𝒓, 𝒕, 𝝉) 𝛛𝒕 = 𝛁 𝟐𝝓(𝒓, 𝒕, 𝝉) +𝒈(𝒓, 𝝉) 𝒌 𝒌𝒋 𝛛𝝓 𝛛𝒏𝒋 + 𝒉𝒋𝝓 = 𝒇𝒋(𝒓, 𝝉) 𝝓(𝒓, 𝟎, 𝝉) = 𝑭(𝒓)
In definitiva il teorema di Duhamel afferma che una volta nota la 𝜙(𝑟, 𝑡, 𝜏), la funzione T(r,t), in casi in cui la non omogeneità si trovi in una sola condizione al contorno, è data da:
𝑻(𝒓, 𝒕) = 𝛛
𝛛𝐭∫ ∅(𝒓, 𝒕 − 𝝉, 𝝉)𝒅𝝉
𝒕 𝟎
Il caso in esame, in cui si ha la discontinuità del flusso termico secondo un andamento a gradino, ci si trova dunque in una condizione particolare del teorema di Duhamel. In altri termini in caso di discontinuità l’integrale di Duhamel necessita di essere suddiviso in tante parti quanti sono i punti di discontinuità presenti. Ipotizzando una generica funzione f(t) caratterizzata da N discontinuità, l’andamento della temperatura tra 𝜏𝑛−1 < 𝜏 < 𝜏𝑛 sarà dato
dalla specifica relazione:
𝑻(𝒓, 𝒕)= ∫ ∅(𝒓, 𝒕 − 𝝉)𝛛𝐟(𝝉) 𝛛𝝉 𝒅𝝉 + ∑ ∅(𝐫, 𝐭 − 𝛕𝐣)∆𝐟𝐣 𝑵−𝟏 𝒋=𝟎 𝒕 𝟎
Nel caso in cui le condizioni al contorno varino secondo un andamento a gradino è possibile portare fuori dall’integrale il primo addendo, per cui si ottiene una espressione semplificata del tipo:
𝑻(𝒓, 𝒕) = ∑ ∅(𝐫, 𝐭 − 𝛕𝐣)∆𝐟𝐣
𝑵−𝟏
𝒋=𝟎
Dove t è il tempo compreso nell’intervallo (N-1)∆𝑇 < 𝑡< N∆𝑇.
L’andamento della generica condizione al contorno che varia nel tempo secondo un andamento a gradino può essere inquadrato nella figura seguente.
Figura 7,5: Andamento a gradino della discontinuità al contorno
Per l’andamento on-off della pompa di calore che si intende riprodurre, si fa riferimento ad una serie di ipotesi semplificative:
- Si considera nuovamente il flusso termico in W/m costante lungo tutta la sonda;
- Si considera che una volta interrotto il funzionamento della pompa il flusso passi da 40 W/m a 0 W/m. Pertanto la j-esima ampiezza del gradino ∆𝑓𝑗 varierà alternativamente da
40 a -40 in base al time step considerato;
- Si mantengono costanti tutte le proprietà termofisiche riguardanti il terreno.
In virtù del grado di accuratezza richiesto si considerano soli 3 time step. Si impone un primo time step di ampiezza pari a 𝑡1=5555 ore, tempo per il quale era stato rilevato un aumento di
temperatura della sorgente pari a ∆𝑇𝑔 =3,85°C. Raggiunta questa temperatura ,si impone lo
spegnimento della pompa per un certo intervallo temporale ∆𝑡2= 𝑡2−𝑡1 incognito per poi
imporre un funzionamento per un altro time step di ampiezza pari a ∆𝑡3= 𝑡3− 𝑡2 = 𝑡1=5555h,
dopo il si impone appunto di volere nuovamente il salto di temperatura ∆𝑇𝑔 riscontrato al primo time step.
Per i calcoli, come funzione ausiliaria del teorema di Duhamel, è stata riresa la precedente espressione suggerita dal modello ILS, alla quale sarà imposta la variazione ∆𝑓𝑗 ad ogni time step.
Figura 7,6: Modalità di funzionamento On-Off secondo un andamento a gradino imposto della GSHP
Definiti:
- ∆𝐭𝟏= 𝐭𝟏 - ∆𝐭𝟐= 𝐭𝟐− 𝐭𝟏
- ∆𝐭𝟑= 𝐭𝟑− 𝐭𝟐
- 𝐭𝟑= 𝐭𝟐+ 𝟐 𝐭𝟏
Utilizzando la formulazione suggerita dal Teorema di Duhamel per l’andamento a gradino è stato possibile determinare l’intervallo di tempo per cui si deve mantenere spenta la pompa di calore affinchè, riattivando l’impianto per altre 5555 ore, si ottenga nuovamente un salto di 3,85 °C.
Procedendo con i calcoli è stato riscontrato dunque un ∆𝑡2 = 8500 ore circa, ovvero
un’interruzione dell’impianto per circa 12 mesi.
Il modello è stato utilizzato in maniera analoga anche per la valutazione del comportamento ad una posizione radiale di 3,5 m dalla sonda. In particolare si è voluto valutare un funzionamento continuativo per 5 mesi in virtù delle indagini che serviranno successivamente. In questo caso, poiché il numero di Fourier risultava inferiore a 5, non è stato possibile utilizzare la formula semplificata. E’ stato dunque riscontrato che a tale raggio, dopo 5 mesi di funzionamento si osserva un innalzamento della temperatura rispetto a quella di riferimento pari a ∆𝑇𝑔 = 1,5 °C.
In seguito a tale salto termico, il terreno è in grado di ripristinare il suo campo di temperatura dopo 4400 ore (6 mesi). Anche in questo caso, imponendo un altro time step di ampiezza pari a 5 mesi di funzionamento continuativo, sarà riscontrata nuovamente una temperatura di circa ∆𝑇𝑔= 16,5 °C, ovvero un ∆𝑇𝑔=1,5 °C.
Figura 7,7 (a): Andamento della Temperatura a r=2m
Figura 7,7 (b): Andamento della Temperatura a r=3,5m
57 13 14 15 16 17 18 19 20 0 5000 10000 15000 Te m p e ra tu ra ( °C) Tempo (h) r=2m 14.5 15 15.5 16 16.5 17 0 2000 4000 6000 8000 10000 Te m p e ra tu ra ( °C) Tempo (h) r=3,5 m