CAPITOLO 7 – CONFIGURAZIONE IN FLUSSO 137
B.2 Modelli continui di crescita
I modelli di crescita che verranno successivamente mostrati sono i più comuni e la maggior parte di essi vengono solitamente descritti con curve parametriche di crescita sigmoidee (S-shaped growth curve). Per “parametriche” si deve intendere che nella loro forma letterale presentano parametri che indentificano un asintoto, un’intercetta sull’asse delle ordinate e una velocità di crescita istantanea. Questi parametri non solo hanno un proprio significato fisico attribuibile a ciò che si sta studiando ma permettono anche di rendere la modellazione più flessibile.
Si vogliono velocemente elencare alcuni modelli per poi descrivere in dettaglio quello utilizzato nelle interpolazioni dei dati in questo lavoro.
1. Linear Growth Model (Janoschek)
( ) = + (A.8)
2. Logarithmic Reciprocal Model (Lundqvist – Korf)
3. Logistic Model (Hossfeld)
( ) = , ≥ 0 (A.10)
4. Gompertz Model (Stannard)
( ) = , ≥ 0 (A.11)
5. Weibull Model (Schnute)
( ) = , ≥ 0 (A.12)
6. Negative Exponential Model (Morgan – Mercer – Flodin; M – M – F)
( ) = 1 − , ≥ 0 (A.13)
7. Von Bertalanffy Model (McDill – Amateis)
( ) = 1 − ( ) ⁄( ) (A.14)
8. Log Logistic Model (Yoshida)
( ) = ( ) , > 0 (A.15)
In letteratura si possono trovare altri modelli ma ai nostri fini non vale la pena addentrarci ulteriormente. Per approfondimenti è possibile consultare “Growth Curve Modeling – Theory and Application, Michael J. Panik”.
B.2.1 Modello logistico
Il modello che è stato utilizzato nelle interpolazioni è il modello logistico (A.10) ma ciò che segue può essere esteso anche ad altri modelli. Esso può anche essere riscritto in altra forma:
( ) = = ∙
( ) = ( ) , ≥ 0 (A.16)
La forma al terzo membro di destra è quella adottata nelle interpolazioni (lettere incluse) ma, da un semplice confronto, è possibile ricavare che:
= = (A.17)
= = (A.18)
= = − 1 (A.19)
In definitiva il parametro A indica il valore del numero di cellule (o concentrazione) che si avrebbe a tempi t → +∞ cioè una volta raggiunti la fase stazionaria. Il parametro k (β) ed il parametro α sono due parametri di crescita; il primo identifica la pendenza della curva mentre il secondo indica il numero di cellule (o concentrazione) a metà della fase esponenziale.
Matematicamente la funzione logistica presenta un punto di flesso (o inversione della curva) e quindi ci si aspetterà una inversione del segno della derivata prima.
La velocità di crescita istantanea, definita nel primo membro dell’equazione (A.5), ha equazione:
( )
= ∙ ∙ ( ) (A.20)
La derivata prima rispetto al tempo presenta un massimo assoluto al quale è possibile attribuire un significato fisico ed indica la massima intensità della velocità di crescita. L’ascissa di questo punto invece indica il tempo al quale questa avviene ed è solitamente indicata con il simbolo μmax di dimensione di un [tempo-1]. Matematicamente:
= max = = ∙ ∙ ( )∙ = 0 (A.21)
Come si può facilmente ricavare, la derivata seconda si annulla per t = c.
Nella seguente figura si vuole esporre graficamente l’andamento del modello logistico e della sua derivata con le informazioni di maggior interesse. Una precisazione va effettuata sulla velocità di crescita e riguarda la sua definizione in campo biologico. Infatti quando si parla di velocità di crescita la si deve intendere all’interno della fase esponenziale evidenziata nel grafico in figura all’interno del range temporale tIN ≥ t ≥ tFIN ed ordinata NINEXP ≥ N ≥ NFINEXP . Questo intervallo divide la curva un in due regioni:
- tLAG = tIN – t0 : indica la fase di “lag” o adattamento delle cellule all’ambiente;
- t > tFIN : indica una fase decrescente in cui l’andamento di popolazione è influenzato dalle condizioni dell’ambiente; in tal caso dalla scarsa concentrazione di nutrienti.
Figura B.1 Rappresentazione grafica dell’andamento del modello logistico, della derivata
Per informazione si è voluto anche evidenziare, in modo qualitativo senza entrare nella spiegazione, l’andamento del modello logistico e della sua derivata prima al variare dei parametri del modello (A, k, c).
Figura B.2 Nei grafici in alto si evidenzia il comportamento del modello logistico al
variare del parametro A, k e c. La stessa analisi è stata effettuata per la derivata prima nei grafici sottostanti.
Appendice C
Schermatura gabbia: effetto e soluzione
Come sottolineato nel paragrafo §4.2.1.3, la presenza della gabbia in lamiera non va ad alterare l’apporto di energia luminosa durante la fase di crescita ma nella fase di analisi al FluorCam crea un “effetto barriera” per la radiazione incidente rilasciata dalle lampade dello strumento stesso. Questo comporta una diminuzione della clorofilla eccitata e quindi ad un valore del segnale di fluorescenza minore rispetto a se si effettuasse l’analisi senza gabbia.
Assumendo che tutti gli effetti derivanti dalla schermatura siano contenuti all’interno della retta di taratura è possibile ipotizzare che il limite massimo di fluorescenza possa essere raggiunto per valori di concentrazione più elevati rispetto alla gabbia in rete metallica (GR) o senza gabbia (visto che parte della radiazione incidente viene bloccata). Tuttavia questa ipotesi non è stata verificata in questo lavoro.
Uno dei vantaggi dell’utilizzo di questo chip nel campo sperimentale riguarda la possibilità di monitorare la crescita (od in generale una variabile qualsiasi) eseguendo un’analisi per ciascun pozzetto. Tuttavia il successivo confronto è corretto se ciascun pozzetto è soggetto alle medesime sollecitazioni in entrata. Si voglia osservare figura C.1.
Figura C.1 Nell’immagine di sinistra si vuole mostrare la posizione relativa tra chip in
esame e sorgenti eccitanti in una qualsiasi analisi al FluorCam. A destra una riproduzione CAD della vista dall’alto del chip ingabbiato con evidenziati in grassetto i pozzetti che più potrebbero risentire dell’effetto schermante.
Chip PDMS (s = 5 mm) Layer PDMS (s = 2 mm) Sorgenti FluorCam Lamiera superiore (di chiusura) (s = 1.5 mm)
In base alle caratteristiche costruttive dello strumento ed alla posizione relativa tra sorgente eccitante e chip, i pozzetti centrali nelle sezioni laterali sembrerebbero non risentire molto della schermatura. Nella fase di crescita e taratura le microalghe sono sedimentate sul fondo ad una distanza di circa 8 ÷ 9 mm dalla superficie. Questo impedisce lo sfruttamento completo dell’energia eccitante proveniente dalle lampade dello strumento. È probabile che se le sorgenti fossero state poste orizzontalmente sopra il chip ingabbiato il problema della schermatura della gabbia non esisterebbe. Necessita quindi trovare un metodo per correggere l’anomalia della schermatura.