6.7 Processo di iniezione ed atomizzazione
7.1.1 Modelli fisici
7.1.1.1 Modello di turbolenza
La base su cui è stata impostata questa parte è riportata in [9]. In un mo- to turbolento le variabili locali (pressione, velocità, densità, temperatura) fluttuano caoticamente nel tempo con una frequenza molto alta (100 Hz- 1000 Hz), attorno ad un valor medio che varia molto più lentamente (ordine
di 1 Hz). Si precisa che con medio non si intende un valore costante bensì il valore della grandezza considerata epurato dell’effetto della turbolenza. Il concetto è messo in evidenza in Figura 7.1. Se si suppone che il periodo
Figura 7.1: Differenze tra moto laminare e turbolento.
delle oscillazioni turbolente Tt sia molto inferiore ai tempi caratteristici di
evoluzione del sistema (Ts), è possibile scomporre la variabile generica ϕ in
una componente media più una fluttuante:
ϕ(t) = ϕ(t) + ϕ0(t) (7.2)
La componente media si può esprimere nel seguente modo
ϕ(t) = 1 ∆t
Z +∆t2
−∆t2
ϕ dt Tt ∆t Ts (7.3)
dove l’intervallo di tempo che si considera deve essere abbastanza lungo da mediare le fluttuazioni dovute alla turbolenza ed allo stesso tempo deve risultare sufficientemente breve rispetto alla scala di variazione temporale delle grandezze medie.
Per la componente fluttuante vale la seguente uguaglianza in quanto è una grandezza a valor medio nullo:
Z +∆t2
−∆t 2
Per caratterizzare le fluttuazioni si usa la loro media quadratica: ϕ02 = 1 ∆t Z +∆t2 −∆t 2 (ϕ − ϕ)2 dt (7.5)
In particolare nel caso della velocità è utile definire le seguenti grandezze:
• Intensità di turbolenza: i = q v02 x + vy02+ v02z v (7.6)
• Energia cinetica turbolenta:
k = 1 2 v02 x + vy02+ vz02 = 1 2(iv) 2 (7.7) • Cross-correlazione: ci,j = vi0v 0 j (7.8)
Con i pedici i e j si considera una generica combinazione tra componen- ti x, y e z. Se le componenti di velocità non sono correlate tra di loro questa grandezza assume un valore nullo; se invece ci,j 6= 0 all’interno
del dominio fluido è in atto qualche fenomeno tale da mettere in cor- relazione due componenti di velocità che normalmente non sarebbero collegate tra di loro.
In presenza di turbolenza si possono identificare dei vortici, ovvero delle strutture in cui le variabili fluttuanti si mantengono correlate, alternati a zone di relativa calma in cui l’intensità di turbolenza è minore. Maggiori sono le dimensioni delle strutture, maggiore è il loro tempo di sopravviven- za. Le strutture più grandi sono dominate dall’inerzia ed interagiscono con il moto medio mentre nelle strutture più piccole è influente la dissipazio- ne viscosa. Riprendendo l’idea dovuta originariamente ad A. Kolmogorov la turbolenza consiste nel trasferimento dell’energia cinetica turbolenta dalla strutture vorticose più grandi verso quelle più piccole dove essa viene dissi- pata in calore.
viene dissipata in calore per gli effetti viscosi, è governato essenzialmente dai seguenti parametri:
1. Dissipazione di energia cinetica turbolenta per unità di massa e tempo:
= −dk dt m2 s3 (7.9)
Consiste nella variazione nel tempo dell’energia cinetica turbolenta.
2. Viscosità cinematica o diffusività della quantità di moto:
ν = µ ρ m2 s (7.10)
Consiste nel rapporto tra viscosità dinamica e densità secondo la defi- nizione classica.
Combinando queste due grandezze si riescono a ricavare le scale di tempo, lunghezza e velocità di Kolmogorov per i piccoli vortici.
Si è fatta questa introduzione sulla turbolenza in modo da capire meglio sia il modo in cui i moderni codici di calcolo come Fluent trattano in generale tale fenomeno sia per facilitare la comprensione del particolare modello di turbolenza adottato nelle simulazioni effettuate che verrà presentato succes- sivamente. I metodi di soluzione numerica per un problema fluidodinamico sono principalmente tre:
• Metodo di Simulazione Numerica Diretta (DNS): in questo caso si procede direttamente all’integrazione delle equazioni di Navier-Stokes. In teoria questo sarebbe il migliore approccio in quanto permettereb- be di ottenere risultati con un livello di dettaglio addirittura migliore di qualsiasi prova sperimentale. Tuttavia per ottenere una soluzione accurata si dovrebbe risolvere il problema a tutte le scale di lunghez- za, dalle dimensioni dei condotti a quelle dei piccoli vortici, e di tempo, dal moto medio alle fluttuazioni turbolente. Si comprende facilmente come questo scaturisca in problemi dal costo computazionale elevatis- simo attualmente risolvibili solo per numeri di Reynolds non troppo elevati.
• Large Eddy Simulation (LES): questo metodo prevede di superare il problema dell’integrazione delle equazioni su piccola scala risolven- do il moto solo alle scale di lunghezza e tempo dei grandi vortici che intergaiscono significativamente con il moto medio. Per le strutture vorticose relative alle scale più piccole si usano modelli costitutivi ag- giuntivi. Il problema di questi metodi consiste nel fatto che si devono mettere a punto adeguate procedure di filtro per separare le grandi scale dalle piccole;
• Metodi RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes): questi meto- di sono quelli attualmente più utilizzati dai software commerciali come Fluent; la loro applicazione prevede di mediare rispetto al tempo i ter- mini delle equazioni di bilancio con lo stesso procedimento adottato per le variabili fluttuanti. In pratica viene utilizzato il metodo delle medie di Reynolds ed i relativi modelli costitutivi. Applicando questo metodo alla formulazione generale dell’ equazione generale di bilancio (relazio- ne 7.1), se il sitema di coordinate è fisso e i tempi sono molto maggiori di ∆t (vedere la relazione 7.3), è possibile portare le medie all’inter- no delle derivate e scomporre c, v, J e Φ nella componente media più quella fluttuante. Facendo questo si ottiene la seguente relazione:
∂
∂t[ρ (c + c
0)] + div[ρ (c + c0) (v + v0)] = div J + J0 + ρ Φ + Φ0
(7.11)
Nello sviluppare le medie e i prodotti delle componenti medie e flut- tuanti si deve tenere conto delle seguenti regole
c c0 = 0 c0 = 0 c0 1c
0 2 6= 0
per cui si ottiene
∂
∂t(ρc) + div (ρc v) = divJ + ρΦ − div ρc
0v0
(7.12)
Confrontando la relazione 7.12 con la 7.1 si può notare la comparsa di un termine aggiuntivo (l’ultimo a destra) che ha origine dal termine non lineare e che rappresenta il trasporto della quantità c da parte del- le fluttuazioni turbolente di velocità. Per quanto riguarda i tre bilanci
presentati all’inizio del capitolo si ha che:
1. il bilancio di massa rimane inalterato;
2. nel bilancio di quantità di moto si ha come termine aggiuntivo −div ρv0v0 che può essere considerato come una componente ag-
giuntiva del tensore deviatorico chiamata tensione di Reynolds; 3. nel bilancio di energia il termine aggiuntivo è −div ρu00v0 il qua-
le può essere conglobato con il flusso termico ed aumentando la diffusività facilita gli scambi termici.
Per riuscire a trovare il valore di queste variabili aggiuntive è neces- sario ricorrere a delle equazioni di chiusura che non sono altro che i modelli di turbolenza; i più diffusi sono quelli a due equazioni ed in partcolar modo il più utilizzato risulta essere il modello k − ε il quale è stato adottato nelle simulazioni svolte.
Utilizzando il modello k − ε si aggiungono all’insieme di equazioni che co- stituiscono il modello matematico due ulteriori equazioni di bilancio per l’e- nergia cinetica turbolenta k e per il rateo di dissipazione di quest’ultima per unità di massa ε. Considerando la relazione 7.7 per il calcolo di k e la defini- zione di ε (equazione 7.9) è possibile esprimere quest’ultima grandezza nel seguente modo ε = 2υM X i,j ˙ d0i,jd˙0i,j = 2υM ˙d 02 11+ ˙d 02 22+ ˙d 02 33+ ˙d 02 12+ ˙d 02 13+ ˙d 02 23 (7.13) in cui si ha che ˙ d0i,j = 1 2 ∂v0 i ∂xj + ∂v 0 j ∂xi (7.14)
Le due equazioni di bilancio aggiuntive sono le seguenti
ρ∂k ∂t + div (ρvk) = div µM σk grad(k) + 2µMd˙0i,jd˙0i,j − ρε (7.15) ρ∂ε ∂t + div (ρvε) = div µM σk grad(ε) + C1ε ε k2µM ˙ d0i,jd˙0i,j− C2ερ ε2 k (7.16)
in cui compare il parametro µM esprimibile come segue: µM = ρCµ k2 ε ˙ d0i,j (7.17)
Nelle relazioni 7.15, 7.16 e 7.17 compaiono cinque costanti i cui valori vengo- no ricavati con considerazioni semiempiriche. Nelle simulazioni effettaute si sono lasciati i valori di default presenti in Fluent:
Cµ= 0.09 σk= 1.00 σε = 1.30 C1ε = 1.44 C2ε = 1.92
Per caratterizzare la turbolenza si utilizzano approcci statistici come quel- lo esposto in quanto la descrizione del comportamento istantaneo del fluido è di scarso interesse nella applicazioni pratiche. Inoltre si è costretti a ri- correre a modelli del genere dato che, benchè le equazioni di Navier-Stokes contengano già al loro interno tutte le informazioni necessarie per tratta- re moti turbolenti, la dimensione della mesh e la lunghezza dei time steps non permettono di risolvere accuratamente tali equazioni su tutte le scale di turbolenza. Infatti per considerare le più piccole strutture vorticose che si vengono a creare all’interno del fluido sarebbe necessario utilizzare una mesh fittissima e di conseguenza la risoluzione del problema richiederebbe tempi di calcolo eccessivi. Soprattutto quest’ultima motivazione giustifica il ricorso a modelli aggiuntivi per tenere conto della turbolenza.
7.1.1.2 Discrete Phase Model (DPM)
Oltre a risolvere le equazioni di trasporto per una fase continua Fluent rie- sce a simulare anche una seconda fase discreta in un sistema Lagrangiano. Questa seconda fase consiste in un insieme di particelle sferiche, che pos- sono rappresentare goccie o bolle disperse all’interno della fase continua. Fluent analizza le traiettore di tali particelle e considera allo stesso tempo i meccanismi di trasporto di calore e di massa che le coinvolgono. Il software permette di modellare le seguenti opzioni:
• calcolo delle traiettore delle fase discreta usando una formulazione Lagrangiana;
Tipo di Particelle Proprietà
Massless -
Inert inert/heating or cooling Droplet heating/evaporation/boiling Combusting heating; ebolition of volatiles/swelling;
heterogeneus surface reaction Multicomponent multicomponent droplets/particles
Tabella 7.2: Caratteristiche delle varie particelle.
• predizione degli effetti della turbolenza sulla dispersione della fase discreta all’interno della fase continua;
• riscaldamento/raffreddamento della fase discreta;
• ebollizione e vaporizazzione di gocce liquide;
• combustione di particelle;
• effetti di breakup e di coalescenza;
• considerazioni su collisioni tra le varie particelle discrete.
Questo permette di simulare varie tipologie di problemi in cui è presente una fase discreta come ad esempio simulazioni di iniezioni e spray.
A seconda del tipo di problema analizzato si possono scegliere varie tipologie di particelle, riportate in Tabella 7.2 che presentano caratteristiche fisiche diverse.
Scegliendo la tipologia Droplet si attivano le seguenti leggi di scambio di massa e di calore:
1. Inert heating/cooling law: utilizzata quando la temperatura è minore della temperatura di vaporizzazione Tvap1 e dopo che si è consumata la
frazione volatile fv,0 della particella
Tp ≤ Tvap (7.18)
1Tale temperatura non ha senso fisico ma è una grandezza utilizzata da Fluent per determinare l’istante in cui far cominciare il fenomeno evaporativo. La vera temperatura di vaporizzazione viene detta temperatura di ebollizione Tbp.
mp ≤ (1 − fv,0)mp,0 (7.19)
dove Tp è la temperatura della particella, mp,0 è la massa iniziale della
particella e mp è la massa attuale.
Quando sono attivate le precedenti condizioni Fluent usa un semplice bilancio di calore per relazionare la temperatura della particella al tra- sporto convettivo di calore ed all’assorbimento/emissione di radiazione dalla superficie della particella stessa:
mpCp dTp dt = hAp(T∞− Tp) + εpApσ(θ 4 R− T 4 p) (7.20) con
• mp massa della particella [kg];
• Cp calore specifico della particella [J/kgK];
• Ap area della superficie della particella [m2];
• T∞ temperatura della fase continua [K];
• h coefficiente di convezione termica [W/m2K];
• εp emissività della particella [-];
• σ costante di Stefan-Boltzmann [5, 67 · 10−8W/m2K4];
• θR temperatura di radiazione [K];
2. Droplet vaporisation law: utilizzata per predirre la vaporizzazione del- la fase discreta. Tale legge si attiva quando la temperatura della par- ticella raggiunge Tvapma rimane al di sotto della temperatura di ebol-
lizione Tbp o quando la frazione volatile della bolla si è completamente
consumata.
Tvap ≤ Tp < Tbp (7.21)
mp > (1 − fv,0)mp,0 (7.22)
Per basse velocità di vaporizzazione il medello che controlla il trasfe- rimento di massa e calore è la diffusione mentre per alte velocità di vaporizzazione si usa un meccanismo misto convettivo/diffusivo. La
variazione di massa è descritta da
dmp
dt = kcApρ∞ln(1 + Bm) (7.23) con
• mp massa della particella [kg];
• kccoefficiente di trasferimento di massa [m/s];
• Ap area della superficie della particella [m2];
• ρ∞ densità del gas [kg/m3];
• Bm numero di Spalding;
mentre la variazione temperatura è descritta da
mpCp dTp dt = hAp(T∞− Tp) − dmp dt hf g+ εpApσ(θ 4 R− T 4 p) (7.24)
con hf g calore latente [J/kg].
3. Droplet Boiling law: utilizzata quando la temperatura della particel- la ha raggiunto e superato la temperatura di ebollizione e quando la massa della particella ha superato la frazione non volatile
Tp > Tbp (7.25)
mp > (1 − fv,0)mp,0 (7.26)
In queste condizioni la variazione di massa può essere descritta come segue −dmp dt hf g = hAp(T∞− Tp) + εpApσ(θ 4 R− T 4 p) (7.27)
mentre si assume che la temperatura rimanga costante.
7.1.1.3 Species Transport Model
Fluent può modellare la miscelazione ed il trasporto di specie chimiche risol- vendo equazioni di conservazione che descrivono la convezione, la diffusione e le fonti di reazione per ogni specie componente una miscela.
Quando si sceglie di risolvere le equazioni di conservazione per le specie chi- miche, Fluent predice la frazione di massa locale di ogni specie, Yiattraverso
la soluzione di un’equazione di convezione-diffusione per le specie i-esima. Questa equazione di conservazione assume la seguente forma generale
∂
∂t(ρYi) + ∇ · (ρvYi) = −∇Ji+ Ri+ Si (7.28) dove Ri è il tasso netto di produzione della specie i-esima prodotta dalle rea-
zioni chimiche e Si è è il tasso di creazione con l’aggiunta della fase dispersa
più eventuali fonti definite dall’utente. Ji è il flusso diffusivo della specie
i-esima derivante da gradienti di concentrazione e temperatura.
Un’equazione in questa forma può essere risolta per N − 1 specie dove N è il numero totale di fasi liquide presenti nel sistema. Dato che la somma delle frazioni in massa delle varie specie deve essere pari all’unità, la N-esima frazione in massa può essere determinata come la differenza tra il valore unitario e la somma delle N − 1 frazioni in massa risolte.