Modellizzazione del ciclo settimanale e previsione della volatilità

La suddivisione della serie originaria in 24 serie ora per ora risolve il problema della rappresentazione del ciclo orario dei prezzi. Il problema successivo è la modellizzazione della periodicità settimanale; tipicamente infatti nei weekend, quando i carichi sono minori, i prezzi sono anche minori. Un problema aggiuntivo è dato dalle festività infrasettimanali, di difficile modellizzazione in quanto non rispettano un ritmo regolare e sono fonte aggiuntiva di errore.

Al fine di individuare un modello per il ciclo settimanale nelle figure 6,7,8 e 9 rappresentiamo rispettivamente le funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale di prezzi e logrendimenti. Si nota l’importanza del periodo 7 e dei suoi multipli, legati appunto al ciclo settimanale, e anche la differenza tra le varie ore del giorno: le ore di maggior carico presentano una autocorrelazione sia dei prezzi che dei logrendimenti più elevata.

Il modello più naturale appare un modello AR(7). Da un punto di vista formale questo modello è descritto dall’equazione: t t t t t

X X X

X =φ

_{1 −1}

+φ

_{2 −2}

+...+φ

_{7 −7}

+ε

(4.2)

dove la variabile

X

_t rappresenterà di volta in volta o i prezzi

P

_t o i logrendimenti

L

_t, mentre

ε

_t è il termine di errore che si assume segua un White Noise (vedi paragrafo. 3.3.1).

Abbiamo pertanto stimato un modello AR(7) sia sulle 24 serie dei prezzi che sulle 24 serie dei logrendimenti; i parametri stimati sono riportati nelle tabelle 3 e 4.

Da un punto di vista qualitativo le 24 serie presentano proprietà analoghe; il segno, l’ordine di grandezza dei parametri stimati e la loro significatività non differiscono molto da ora a ora. Nel caso dei prezzi è particolarmente importante l’influsso del prezzo della stessa ora del giorno prima e del prezzo della stessa ora di 7 giorni prima, mentre nel caso dei logrendimenti la variabile più importante appare il logrendimento della stessa ora di 7 giorni prima.

I residui dei modelli AR(7) stimati su prezzi e logrendimenti sono rappresentati in Fig. 10 e Fig. 11. È abbastanza evidente come comunque questo tipo di modelli non riesce a eliminare la componente di salto che è ancora presente nei residui e andrà pertanto analizzata separatamente; dalla autocorrelazione parziale dei residui (Fig. 12 e 13) si vede che potrebbe essere opportuno aumentare il numero delle variabili usate per la previsione arrivando fino a un periodo di due settimane. L’autocorrelazione parziale legata al periodo 14 è infatti per la maggior parte delle ore al di fuori dei rispettivi intervalli di confidenza.

Pertanto si è proceduto anche alla stima di un modello AR(14), sia sui prezzi che sui logrendimenti. In questo caso il modello utilizzato diventa semplicemente

t t t t t

X X X

X =φ

_{1 −1}

+φ

_{2 −2}

+...+φ

_{14 −14}

+ε

(4.3)

Questi modelli rientrano entrambi nella classe dei modelli lineari; la relazione stimata tra la variabile da prevedere

X

_t e i previsori, dati dalla variabile

X

_t ritardata, è di tipo lineare.

In campo finanziario una classe di modelli nonlineari che sembra avere un buon successo nella modellizzazione dei logrendimenti è data dai cosiddetti modelli Garch, che introducono una nonlinearità di tipo quadratico; anche nel contesto dei mercati elettrici tali modelli sono stati utilizzati (si veda ad esempio Garcia et al. (2003) oppure Guerci et al. (2004), Magioncalda (2004)).

Nel caso di un AR(7) – GARCH (1,1) formalmente il modello si scrive: t t t t t t

X X X

X =φ

_{1 −1}

+φ

_{2 −2}

+...+φ

_{7 −7}

+σ ε

(4.4) 2 1 1 2 1 1 0 2 − −

+

+

=

_{t t} t

α α X βσ

σ

(4.5)

dove

σ

_t rappresenta la “volatilità” che non è più costante ma soddisfa l’equazione ricorsiva (4.5). Tale modello cattura il fatto empirico, comune nelle serie finanziarie, della persistenza della volatilità, cioè che a giorni con alta volatilità seguono giorni con alta volatilità e viceversa a giorni con bassa volatilità seguono giorni con bassa volatilità. Un tale fenomeno di “clusterizzazione” della volatilità a nostro avviso è meno importante nelle serie dei prezzi della elettricità; vedremo che i risultati quantitativi sulla previsione lo confermano.

Una specificazione assolutamente analoga definisce il modello AR(14)-GARCH (1,1): t t t t t t

X X X

X =φ

_{1 −1}

+φ

_{2 −2}

+...+φ

_{14 −14}

+σ ε

(4.6) 2 1 1 2 1 1 0 2 − −

+

+

=

_{t t} t

α α X βσ

σ

(4.7)

sempre con

ε

_twhite noise.

sigla modello

AR7P AR (7) sui prezzi (eq. 4.2)

AR7L AR (7) sui logrendimenti (eq. 4.2)

AR14P AR (14) sui prezzi (eq. 4.3)

AR14L AR (14) sui logrendimenti (eq. 4.3)

AR7G11P AR (7) sui prezzi con errori GARCH (1,1) (eq. 4.4 e 4.5)

AR7G11L AR (7) sui logrendimenti con errori GARCH (1,1) (eq. 4.4 e 4.5)

AR14G11P AR (14) sui prezzi con errori GARCH (1,1) (eq. 4.6 e 4.7)

AR14G11L AR (14) sui logrendimenti con errori GARCH (1,1) (eq. 4.6 e 4.7)

Ciascuno di questi modelli è stato stimato una volta sull’intera serie; nel caso dei modelli dei logrendimenti i logrendimenti previsti sono stati riconvertiti in prezzi ed è stato calcolato, per ciascuna ora, l’errore medio assoluto percentuale (MAPE), che è riportato nella tabella 6 e rappresentato graficamente nella parte superiore a sinistra della Fig. 17.

Si vede chiaramente come, in maniera sostanzialmente uniforme nelle varie ore della giornata, l’utilizzo dei logrendimenti al posto dei prezzi e l’utilizzo di un modello AR(14) al posto di un modello AR (7) determina un abbassamento del MAPE., che comunque in termini assoluti si attesta raramente al di sotto del 10% ed è molto maggiore nelle ore di maggior carico.

L’utilizzo degli errori di tipo GARCH invece non sembra dare un miglioramento apprezzabile nella previsione; in maniera uniforme sulle varie ore, il MAPE è solo lievissimamente inferiore a fronte della introduzione di un certo numero di parametri aggiuntivi.

Questo non vuol dire che questo tipo di modelli non siano utili per la modellizzazione dell’elettricità; la loro utilità sembra essere più legata alla descrizione della dinamica della volatilità e alla previsione della volatilità che alla previsione dei prezzi.

Riportiamo nella tabella 5 i parametri GARCH stimati nel caso AR14G11L e nella fig. 14 le corrispondenti volatilità.

Per quanto riguarda gli errori percentuali, vediamo a titolo di esempio quelli del modello AR (14) sui logrendimenti (Fig. 15 e 16). È evidente come la media sia alta per la presenza di pochi valori in cui la previsione è completamente errata, con errori di previsione anche dell’ordine del 100%.

Al fine di ottenere una più corretta valutazione della performance di questi modelli ci pare significativo calcolare anche l’errore percentuale assoluto mediano che riportiamo nella Tab. 7.

Come si vede la situazione migliora sensibilmente; l’ordinamento dei vari modelli resta comunque sostanzialmente lo stesso.

La stima dei modelli AR e GARCH è stata effettuata in ambiente Matlab utilizzando rispettivamente le toolboxes ARFIT e GARCH 1.0. Il metodo di stima utilizzato si basa sull’usuale approccio di quasi-massima verosimiglianza (la verosimiglianza, che viene massimizzata numericamente attraverso la routine fmincon di Matlab, viene calcolata sulla base della ipotesi che gli

ε

_t abbiano una distribuzione normale; si veda ad esempio Brockwell and Davis (1987) per un riferimento standard oppure Mikosch (2003) per un’analisi dettagliata delle proprietà statistiche e dei metodi di stima dei modelli GARCH. Si

tratta di metodologie standard ben consolidate che non dovrebbero dar luogo a particolari problemi di tipo numerico e sono facilmente replicabili.

Nel documento CESI A4506551 (pagine 33-36)