Nel modello precedente abbiamo visto un inserimento dell’utilizzo di tecnologie capaci di abbattere l’inquinamento ed il conseguente effetto che possiamo analiticamente riscontrare dopo tale applicazione. Nello specifico, abbiamo visto che se il consumo e la produzione aumentano lungo il sentiero ottimale, lo sforzo per la riduzione delle emissioni χ aumenta a sua volta; viceversa nel caso in cui il consumo e la produzione si riducono. Proponiamo ora un modello in cui l’autore ha voluto studiare l’effetto sulla crescita economica ottimale della possibilità di scoprire una tecnologia capace di eliminare l’inquinamento atmosferico.
La scoperta di una tale tecnologia riduce i costi legati alle emissioni inquinanti e quindi anche il loro livello atteso, cosa di particolare rilevanza visti i notevoli progressi in termini di ricerca e sviluppo prodotti negli ultimi 50 anni: ormai, un modello che voglia studiare la crescita senza inserire il progresso tecnologico non ha senso, infatti la ricerca e lo sviluppo saranno sempre in grado di generare nuova tecnologia la quale, al massimo, può essere limitata da interventi lobbistici ma non può essere fermata in alcun modo.
Il progresso tecnologico negli ultimi anni si è fortemente mosso verso sistemi di generazione energetici più verdi, anche a seguito dei numerosi interventi che sono stati portati avanti tramite azioni politiche mirate come il protocollo di Montreal e le sue successive revisioni, che nel 1990 hanno raggiunto un accordo per la riduzione dei gas CFC nell’atmosfera. Anche se i primi obiettivi non sono stati raggiunti, come quello di eliminare i veicoli inquinanti prima del 2016, gli sforzi per raggiungere una stabilità in termini ambientali stanno dando i loro frutti anche attraverso nuovi business e nuove professioni totalmente incentrate sull’incentivo all’utilizzo di tecnologie migliori dal punto di vista ambientale.
Senza progresso tecnologico, l’esistenza dell’inquinamento come esternalità della produzione che riduce l’utilità dell’agente rappresentativo, implica che il sentiero ottimo dell’economia converge ad uno stato stazionario in cui capitale, produzione e consumo sono costanti. Questo accadrebbe anche se la produttività marginale del lavoro fosse costante poiché, quando produzione e consumo crescono troppo, l’effetto negativo sull’utilità prodotto dall’aumento dell’inquinamento è più forte rispetto all’effetto positivo sull’utilità dovuto all’aumento del consumo.
Quando, invece, il progresso tecnologico viene considerato all’interno di un modello di crescita di lungo periodo, allora si apre la possibilità di un tasso di crescita positivo di stato stazionario. Nel modello che stiamo per proporre, lo studio si concentra sugli effetti sul tasso di crescita di lungo periodo quando il benessere dipende dal flusso delle emissioni inquinanti e sugli effetti che possono essere riscontrati sulla crescita economica della probabilità (p per unità di tempo) di scoprire una nuova tecnologia capace di ridurre le emissioni inquinanti.
Quando il processo di sviluppo tecnologico è continuo, il modello ottiene una riduzione degli effetti inquinanti della produzione partendo da un processo esogeno di sviluppo e consegue un tasso di crescita esogeno nel lungo periodo; il modello continua poi inserendo anche un fattore di ricerca e sviluppo individuando il livello di investimento ottimo per l’avanzamento tecnologico. Se esiste una probabilità positiva di creare nuove tecnologie capaci di abbattere l’inquinamento, il modello dimostra che il tasso di crescita di lungo periodo è più elevato, in particolar modo quando (in assenza di una speranza di ridurre le emissioni tramite nuove tecnologie) il tasso di crescita è zero.
In sintesi, il modello mostra che il tasso di crescita nello stato stazionario è più piccolo rispetto ad un’economia in cui non esiste l’inquinamento, per ogni valore della probabilità di cui sopra. Questo implica che, per riuscire a raggiungere l’ottimo, il governo dovrà tassare la produzione o inserire qualche sorta di regolamentazione per fare in modo che gli agenti privati tengano in considerazione le esternalità negative dovute alla produzione.
Si considera un’economia chiusa con popolazione costante e normalizzata ad uno, in cui l’inquinamento si rivela come un’esternalità dovuta alla produzione. L’utilità dell’agente rappresentativo dipende dal consumo pro-capite C e dal flusso di inquinamento P: ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝑙𝑛𝐶𝑡− 𝐷 𝑃𝑡𝛾 𝛾 ] 𝑑𝑡 ∞ 0 dove 𝛾 ≥ 1 e 𝐷 > 0.
𝑌 = 𝐴𝐾
Il capitale non si deprezza e il flusso di inquinamento ad ogni momento t è proporzionale al totale della produzione:
𝑃𝑡= 𝐴
𝐾𝑡 𝑧𝑡
dove z è una misura dell’effetto dell’inquinamento sulla produzione: quando z aumenta, l’inquinamento si riduce quindi tale parametro può essere interpretato come una variabile tecnologica che identifica l’utilizzo di tecnologie che abbattono le emissioni.
In assenza di esternalità dovute alle emissioni, il modello rivela un tasso di crescita costante dell’economia uguale a 𝐴 − 𝜌 e non vi sono dinamiche di transizione; ma in questo modello viene assunto che 𝐴 − 𝜌 > 0, che è la condizione per un tasso di crescita positivo. Quando vi è inquinamento, la scelta dipende da z: assumendo che lo sviluppo tecnologico permetta alla produzione di essere meno inquinante, la funzione di produzione è sempre la stessa ma per ogni livello di produzione le emissioni si riducono con l’aumento del progresso tecnologico.
Si assume che il progresso tecnologico aumenti ad un tasso costante ed esogeno:
𝑧̇ = 𝐹𝑧𝑡
Si assume inoltre che vi sia la possibilità di scoprire una tecnologia capace di eliminare l’inquinamento: c’è una probabilità costante e pari a p per unità di tempo di scoprire questa nuova tecnica, che permetterebbe alla produzione di avere emissioni zero. Sia dunque T una variabile stocastica che indichi il momento della scoperta: dopo tale momento, il livello di inquinamento è zero. Dunque:
- se 𝑝 = 0 allora la scoperta non verrà mai fatta;
- se 𝑝 → ∞ allora la scoperta verrà fatta immediatamente.
In tal caso, la funzione di utilità può essere scritta come il valore atteso di una somma da massimizzare:
𝑈 = {∫ 𝑒−𝜌𝑡(𝑙𝑛𝐶 𝑡− 𝐷 𝑃𝑡𝛾 𝛾 ) 𝑑𝑡 𝑇 0 + ∫ 𝑒−𝜌𝑡𝑙𝑛𝐶 𝑡𝑑𝑡 ∞ 𝑇 }
Se indichiamo con 𝑣(𝐾𝑇) il secondo termine da massimizzare, allora il problema può essere scritto come:
𝑣(𝐾𝑇) = 𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑒−𝜌𝑡𝑙𝑛𝐶 𝑡𝑑𝑡 ∞
𝑇
soggetto al vincolo seguente:
𝐾𝑡̇ = 𝐴𝐾𝑡− 𝐶𝑡
La soluzione di questo problema di ottimizzazione mostra che, per ogni momento dopo la scoperta, 𝐶𝑡 = 𝜌𝐾𝑡, non vi è dinamica di transizione e K e C crescono ad un tasso
costante e pari a 𝐴 − 𝜌.
È possibile dunque scrivere:
𝑣(𝐾𝑇) =
𝑒−𝜌𝑡
𝜌 [𝑙𝑛𝜌𝐾𝑇+
(𝐴 − 𝜌) 𝜌 ]
Secondo la distribuzione di Poisson, se c’è una probabilità pari a p per unità di tempo di scoprire una nuova tecnologia che possa eliminare completamente l’inquinamento, allora la probabilità di P è positiva in un momento t dato, e questo significa che la scoperta non avverrà fino a quel momento; dunque la probabilità di P è:
𝑒−𝜌𝑡
Utilizzando questa equazione e volendo riscrivere la funzione di utilità:
∫ 𝑒−𝜌𝑡(𝑙𝑛𝐶𝑡− 𝐷𝑃𝑡 𝛾 𝛾 ) 𝑑𝑡 𝑇 0 + ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌 [𝑙𝑛𝜌𝐾𝑇+ (𝐴 − 𝜌) 𝜌 ] ∞ 0 𝑝𝑒−𝑝𝑡
Ecco il problema di ottimizzazione Hamiltoniana: 𝐻 = 𝑙𝑜𝑔𝐶𝑡− 𝐷 (𝐴𝐾𝑧𝑡 𝑡) 𝛾 𝛾 + [𝑙𝑜𝑔𝜌𝐾𝑡+ 𝐴 − 𝜌 𝜌 ] 𝑝 𝜌+ 𝜆𝑡[𝐴𝐾𝑡− 𝐶𝑡]
Le condizioni necessarie sono le seguenti:
𝐶𝑡 = 1 𝜆𝑡 𝜆̇ = 𝜆𝑡(𝑝 + 𝜌 − 𝐴 + 𝐷 (𝐴𝐾𝑧𝑡 𝑡) 𝛾 𝜆𝑡𝐾𝑡 − 𝑝 𝜌𝜆𝑡𝐾𝑡)
e la condizione di trasversalità è la seguente:
lim
𝑡→∞𝑒
−(𝑝+𝜌)𝑡𝜆
𝑡𝐾𝑡 = 0
La probabilità p, cioè la possibilità di scoprire una nuova tecnologia capace di abbattere l’inquinamento completamente, entra nella seconda condizione in due modi differenti:
- da una parte aumenta il tasso di sconto;
- dall’altra riduce l’effetto di un cambiamento del costo opportunità del capitale: un aumento nel capitale a disposizione dell’economia aumenta l’inquinamento, ma aumenta anche lo stock di capitale a disposizione nel momento in cui viene effettuata la scoperta in grado di eliminare l’inquinamento.
Abbiamo visto che dopo la scoperta, il consumo ed il capitale crescono allo stesso tasso costante 𝐴 − 𝜌, ma ora vediamo l’equilibrio a cui converge l’economia prima della scoperta. Naturalmente l’economia non raggiungerà mai questo livello di equilibrio, ma è molto utile ad un’analisi esterna, visto che probabilmente nella realtà questa scoperta non sarà mai realizzata.
𝐴 − 𝜌 > 𝐹
al livello di stato stazionario del sentiero ottimo per il periodo precedente alla scoperta, il capitale K, il consumo C ed il livello di produzione crescono al tasso costante F ed il livello di inquinamento è costante. Dunque, nello steady state, varrà la seguente regola: 𝐾 𝑧 = [ (𝐴 − 𝜌 − 𝐹)(𝑝 + 𝜌) 𝐷(𝐴 − 𝐹)𝜌 ] 1 𝛾1 𝐴 𝐶 𝐾= 𝐴 − 𝐹
Quindi, quando vale 𝐴 − 𝜌 > 𝐹, il sistema è stabile e converge all’equilibrio di stato stazionario, in cui il tasso di crescita è F: durante la transizione vale sempre la seguente:
𝐶 𝐾> 𝜌
che implica un tasso di crescita del capitale più piccolo rispetto al valore di 𝐴 − 𝜌. Se, invece, vale la seguente relazione:
𝐴 − 𝜌 < 𝐹
il valore di 𝐾
𝑧 converge asintoticamente a zero, il che mostra un tasso di crescita del
capitale più piccolo rispetto a z. 𝐶
𝐾 converge asintoticamente a 𝜌; il tasso di crescita del
ùcapitale e del consumo convergono a 𝐴 − 𝜌, cioè il tasso di crescita quando non c’è inquinamento nel sistema.
La condizione 𝐴 − 𝜌 < 𝐹 significa dunque che il flusso di inquinamento decresce in modo esogeno ad un tasso così alto che la soluzione finale sarà la stessa rispetto a quella in cui non esiste inquinamento nel sistema.
Dunque possiamo riassumere le conclusioni di questo modello in due assunti fondamentali, che dipendono dal valore della differenza 𝐴 − 𝜌:
- se 𝐴 − 𝜌 > 𝐹, allora l’inquinamento cresce o decresce fino a raggiungere il valore di stato stazionario. L’aumento o il decremento dipendono dal valore iniziale del rapporto 𝐾
𝑧 che deve essere, rispettivamente, più basso o più alto del
sua valore di stato stazionario;
- se 𝐴 − 𝜌 < 𝐹, il flusso di inquinamento si riduce fino a zero.
Se non c’è progresso tecnologico, F=0 e non vi è alcuna crescita nel lungo periodo, dato che la presenza delle esternalità riduce il valore sociale del capitale: quando il capitale si accumula, crescono consumo e produzione, ma anche l’inquinamento, dopo un certo valore di consumo, l’effetto negativo dovuto all’aumento della produzione è più forte dell’effetto positivo dovuto all’aumento dello stesso consumo.
Ci interroghiamo ora sul ruolo fondamentale che opera p in questo modello, cioè la probabilità che la grande scoperta sia effettuata ad un certo momento nel tempo. Si tratta, di fatto, di una probabilità attribuita dall’agente rappresentativo all’evento relativo alla scoperta di questa tecnologia: il valore di p non è stabile, ma può aumentare o diminuire a seconda delle notizie che vengono diffuse in merito a nuove scoperte che possono contribuire a trovare questa innovativa tecnica capace di debellare l’inquinamento nonostante la crescita possa rimanere positiva e sostenibile.
Quando p aumenta, il rapporto tra consumo pro-capitale e capitale diminuisce per ogni livello del rapporto 𝐾
𝑧: in ogni momento, lo stock di capitale e l’indice della
tecnologia (rispettivamente K e z) sono dati. In questo caso, dunque, l’aggiustamento avviene tramite una riduzione del consumo pro-capite attuato nel momento in cui la probabilità p aumenta. Lungo il sentiero della transizione allo stato stazionario, dunque, il processo avviene tramite livelli inferiori del rapporto tra consumo e capitale e, quindi, attraverso livelli maggiori del tasso di crescita del capitale e della produzione. Lo stock di capitale e la produzione aggregata, dunque, raggiungono livelli maggiori e l’inquinamento si riduce ad un tasso più basse rispetto al caso in cui p rimane al livello iniziale.
Dato che il valore della differenza 𝐴 − 𝜌 risulta molto importante ai fini dell’analisi di questo modello, possiamo osservare che:
- Se 𝐴 − 𝜌 < 𝐹, i valori asintotici di 𝐾
𝑧 e di 𝐶
𝐾 non cambiano quando cambia p;
- Se 𝐴 − 𝜌 > 𝐹, dopo l’aumento di p e prima della scoperta, l’economia arriverà ad un equilibrio di stato stazionario con un elevato livello di 𝐾
𝑧 e quindi un più