Modello di combustione

Le reazioni di combustione, a causa dell'elevato rilascio di calore, modicano in maniera accentuata la densità e la viscosità dei gas, provocando forti accelerazioni che inuenzano il campo di moto dei uidi. Le interazioni tra cinetica e turbolenza intervengono per scale molto vaste di condizioni del usso. E' noto che l'eetto di un campo di moto turbolento sia quello di portare i reagenti ad un più ecace mescolamento, migliorandone la combustione, la velocità di consumo di massa dei reagenti e quindi la potenza prodotta; tuttavia, una turbolenza troppo intensa può portare all'estinzione della amma. La velocità di formazione massica della specie k per unità di volume di una reazione di combustione viene espressa come:

˙ ωk= P Mk NR X j=1 (v_k,jf −vb_k,j)rj = P Mk NR X j=1 (vf_k,j−vb_k,j)  K f j Nc Y i=1 [Mk] vd k,j k − K f j Nc Y i=1 [Mk]v d k,j   (3.36) con P Mk la massa molecolare della specie k − esima, NR il numero di reazio-

ni considerate, Nc il numero delle specie considerate (reagenti e prodotti), [Mk]la

concentrazione molare della specie k, rj la velocità di reazione netta valutata in

condizioni medie (velocità di reazione diretta meno velocità di reazione inversa per una generica reazione reversibile) e vk,j è il coeciente stechiometrico e, conside-

rando una cinetica semplice, anche ordine di reazione per la specie k nella reazione j − esima. Gli apici f ed b indicano la reazione diretta (forward) e quella inversa (backward). Il parametro K viene espresso mediante l'equazione di Arrhenus:

K = Ae(−EaR∗T) (3.37)

dove A rappresenta il fattore pre-esponenziale, Ea l'energia di attivazione, R∗ la

costante dei gas e T la temperatura. Il problema sta nella non linearità di questo termine esponenziale, che causa grossi problemi nella procedura di media; valutare la velocità di reazione usando i valori di concentrazione e temperatura medi, infatti, signica trascurare completamente gli eetti della turbolenza e commettere un erro- re. Ogni reazione chimica possiede un tempo caratteristico, indispensabile per poter valutare l'eetto della turbolenza sulle velocità di formazione di ogni specie chimica. I tempi della chimica possono essere deniti in modo rigoroso tramite gli autova- lori della matrice Jacobiana delle velocità di formazione. In condizioni isoterme il generico elemento di tale matrice è:

Ji,j =

δ ˙ωk

δCj

con i, j = 1, . . . , Nc (3.38)

dove Cjè la concentrazione della specie j−esima e Ncil numero delle specie. Per

una matrice Ncx Nc, detti µi gli autovalori, si possono denire i tempi caratteristici

della chimica come:

τc,j =

1

|Re(µ_j)| (3.39)

con j indice riferito alla j − esima specie chimica del sistema. L'autovalore dipende dalla composizione locale in ogni istante, anche il tempo caratteristico avrà

3.2.5 Modello di combustione 81 la stessa dipendenza. Confrontando i tempi caratteristici sia della chimica che della turbolenza si possono individuare tre intervalli:

ˆ Chimica veloce (fast chemistry), ossia tempi chimici bassi; ˆ Chimica lenta (slow chemistry), ossia tempi chimici alti;

ˆ nite-rate chemistry quando il comportamento è intermedio tra i due prece- denti e i tempi caratteristici sono simili.

Solitamente si dierenziano le diverse situazioni usando il rapporto tra il tempo di miscelazione e il tempo chimico della specie j − esima:

Daj =

τmix

τc,j (3.40)

Quando il numero di Damköhler Da è molto maggiore dell'unità siamo in una zona in cui le reazioni sono governate dal mixing turbolento. Se il numero è invece molto minore dell'unità sarà la chimica ad avere il dominio sulla uidodinamica. Se si vericano entrambe le condizioni sorgono dicoltà numeriche. Utilizzando un approccio RANS l'accoppiamento tra cinetica e turbolenza può essere descritto solo attraverso modelli appropriati, che possono essere raggruppati in due categorie:

ˆ Reaction Rate Approach, RRA: viene modellata solo la velocità di formazione massica della specie k e risolvendo un'equazione di trasporto per ogni singola specie;

ˆ Primitive Variables Approach, PVA: si risolvono le equazioni di trasporto solo per un ristretto numero di variabili fondamentali, permettendo di descrivere in maniera univoca i campi di concentrazione e di temperatura.

Eddy Break Up Model

Il modello Eddy Break Up ricade tra i modelli RRA ed è stato sviluppato da Spalding [27]. Si applica a amme turbolente premiscelate sotto l'ipotesi di avere numeri di Reynolds e Damköhler elevati. L'ipotesi fondamentale è che la velocità del processo di combustione sia controllata dalla miscelazione turbolenta e non dalla chimica delle reazioni di ossidazione; per questo si può parlare di chimica innitamente veloce.Considerando la generica reazione:

(Combustibile) + s(ossidante) → (1 + s)(P rodotti) (3.41) si otterrà una velocità di reazione del combustibile, indicata con il pedice F, pari a: ˙ rf = ρ C  k q (˜ω2 F) (3.42)

dove C è la costante di Eddy Break Up, mentre ˜ω2

F indica la varianza della

Eddy Dissipation Model

Il modello Eddy Dissipation è l'estensione del modello Eddy Break Up al caso di amme non premiscelate proposto da Magnussen e Hjertager [14]. A causa della turbolenza della amma, si ottiene un lento mescolamento tra il combustibile e il comburente all'interno della zona di reazione, in cui la combustione è molto veloce; la combustione viene così denita mixing limited dato che il grado di mescolamento risulta limitante rispetto alla velocità di reazione. Quindi la cinetica di reazione può essere trascurata e il termine di velocità di formazione dell'elemento viene legato come nel modello precedente al tempo necessario per il mescolamento dei reagenti a livello molecolare. Considerando un'unica reazione:

νF(combustibile) + νO(ossidante) → νP(prodotti) (3.43)

Nell'ipotesi che il modello venga scritto per una sola reazione, la velocità di reazione media viene presa come il valore minimo tra tre espressioni di velocità:

˙ rf = ρ C  k min  ωF, ωO s , ωP 1 + s  (3.44) dove ωF rappresenta la frazione massica di combustibile, ωO la frazione massica

di ossigeno e ωP la frazione massica delle specie prodotte, s il rapporto stechiome-

trico, C e β due costanti empiriche stimate pari a 4 e 0,5. Le prime due equazioni tengono conto di quale tra combustibile e ossidante sia il fattore limitante, mentre la terza tiene in considerazione che i prodotti caldi possano innescare il processo di combustione. Il modello Eddy Dissipation si applica bene a ussi turbolenti nei quali la cinetica chimica è elevata rispetto ai processi turbolenti (innetely fast) e presuppone di simulare una combustione stabile, in quanto non vengono considerati né fenomeni di ignizione né di estinzione della amma. Questo modello ha il difetto di sovrastimare le temperature, trascurando le reazioni di dissociazione che avvengo- no ad alte temperature (es. CO). Inoltre il modello ottiene risultati accettabili solo se applicato ad un'unica reazione, ossia con un combustibile omogeneo. Nel caso si abbia una miscela di combustibili sarebbe necessario creare una pseudo-specie, perdendo in questo modo ulteriore accuratezza nella soluzione.