Modello matematico: FVDs lineari e non lineari

Il modello matematico più idoneo a rappresentare i dissipatori fluido viscosi è il modello viscoelastico di Maxwell, figura 7.3, il quale vede una molla elastica posta in serie con uno smorzatore. La molla rappresenta l’elasticità del dispositivo e del supporto mentre lo smorzatore identifica la proprietà del sistema cilindro-pistone stesso. Il modello forza-spostamento proposto, ripreso da Makris N. e Constantinou M. C. [38] è il seguente:

fdj(t) + λγj dγ_f dj(t) dtγ = c0j d∆wj(t) dt (7.16)

nel quale f_dj è la forza del j-esimo smorzatore, ∆w_j è lo spostamento re- lativo tra le due estremità lungo l’asse del cilindro, c0j è il coefficiente di

Figura 7.3: Modello viscoelastico di Maxwell

smorzamento a frequenza nulla del j-esimo smorzatore, λ_j è il tempo di rilassamento del j-esimo smorzatore e γ è l’ordine della derivata. Numerosi studi sperimentali hanno dimostrato che il tempo di rilassamento è molto piccolo e che la rigidezza assiale del dispositivo e del supporto sono molto alte: il secondo addendo della parte a sinistra dell’equazione è trascurabile. Si ottiene quindi la formulazione generica valida per tutti i tipi di FVDs [11]:

fdj(t) = cdjsgn(∆ ˙wj)|∆ ˙wj|α (7.17)

nella quale il punto rappresenta la derivata temporale, cdj rappresenta il

coefficiente di smorzamento ovvero la forza necessaria a provocare un cambia- mento unitario della velocità e α è il parametro di controllo della forma del ciclo di isteresi. L’utilizzo di questa formulazione è dovuto principalmente alla semplicità matematica delle analisi da svolgere nella quale è implemen- tata ma anche alla sufficiente accuratezza verificata con ampie campagne sperimentali.

In funzione del valore assunto dall’esponente α si ottengono diversi grafici forza-spostamento, figura 7.4, e forza-velocità, figura 7.5. Per α = 1 il modello è lineare e il ciclo di isteresi sotto carico sinusiodale ha la forma puramente ellittica, per α = 0 si ottiene una forma rettangolare che circoscrive l’ellisse del caso precedente mentre per 0 < α < 1 si ottengono forme intermedie tra le due precedenti che rappresentano il caso di FVDs non lineari. Si può notare che l’aera racchiusa dai cicli relativi al caso di FVDs non lineari è maggiore di quella per il caso lineare, di conseguenza i primi dissipano maggiore energia a parità di tutte le altre caratteristiche. Un altro aspetto importante è quello relativo alla forza di dissipazione che i dispositivi esplicano: il comportamento lineare prevede forze via via maggiori all’aumentare della velocità mentre il caso non lineare tende ad un valore asintotico. Operativamente, conoscere il massimo valore della forza di dissipazione è vantaggioso: nel caso di eventi di intensità elevata le forze applicate alla struttura principale non eccedono tale valore limite noto, sostanzialmente non si corre il rischio di sottoporre gli elementi strutturali a sollecitazioni eccessive. Inoltre gli smorzatori non lineari esibiscono importanti forze dissipative anche per bassi valori di velocità, rendendosi più efficienti rispetto a quelli lineari anche per sismi di bassa intensità.

7.2. FLUID VISCOUS DAMPERS 87

Figura 7.4: Grafico forza-spostamento al variare dell’esponente α

Considerando il posizionamento dei dispositivi tra i piani di un telaio, la (7.17) può essere riscritta come segue:

fdj(t) = cdjfj∆ ˙uαj (7.18)

nella quale ∆ ˙uj = ˙uj− ˙uj−1 è la velocità di interpiano tra il piano j-esimo e

d il j-1-esimo e fj è il fattore di amplificazione geometrica, funzione dello

schema di installazione degli smorzatori. In figura 7.6 sono riportati alcuni dei principali schemi di posizionamento degli FVDs ed i relativi coefficienti di amplificazione geometrica.

Figura 7.6: Schemi di installazione degli FVDs e fattori di amplificazione

geometrica

L’implementazione di tali forze dissipative all’interno del sistema strut- turale shear-type a n gradi di libertà (spostamenti orizzontali dei piani) governato da n equazioni differenziali è di seguito riportata. In forma matriciale si può scrivere:

M ¨u + C ˙u + Ku + Fd= −M i¨ug(t) (7.19)

in cui M è la matrice delle masse in formato lumped (masse concentrate ai piani, matrice diagonale nxn), C è la matrice di smorzamento strutturale (nxn), K è la matrice di rigidezza della struttura (nxn), u, ˙u e ¨u sono

rispettivamente i vettori spostamento, velocità e accelerazione dei piani (nx1), F_d è il vettore contenente le forze dei dissipatori fluido viscosi nel sistema di riferimento generale (nx1), i è il vettore incidenza (nx1), che nel caso di telaio sher-type è composto da una colonna di unità, e ¨ug(t) è

7.2. FLUID VISCOUS DAMPERS 89 l’accelerazione del suolo che rappresenta il sisma in ingresso. Il vettore Fd

può essere scritto come:

Fd= RTfd (7.20)

nella quale f_d è il vettore che contiene le forze di piano degli smorzatori nel sistema locale (ndx1) calcolate con la (7.17) e R è la matrice di trasformazione

contenente i fattori di amplificazione geometrica fj (ndxn). La matrice R

lega quindi anche gli spostamenti di piano agli spostamenti relativi tra le estremità degli smorzatori:

∆w = Ru (7.21)

con ∆w vettore contenente gli spostamenti relativi tra le estremità degli smorzatori (n_dx1). Considerando FVDs lineari, sostituendo quindi la (7.17)

in forma vettoriale e le (7.20) (7.21) nella (7.19) si ottiene:

M ¨u + (C + Cd) ˙u + Ku = −M i¨ug (7.22)

dove C_d= RTDR rappresenta la matrice dei coefficienti di smorzamento dei

dissipatori aggiunti rispetto al sistema di riferimento globale (nxn) e D è la matrice diagonale che raccoglie i coefficienti di smorzamento dei dissipatori per ogni piano equipaggiato (n_dxnd). Per tenere in conto la non linearità

nel comportamento dei dispositivi FVDs sono presenti numerosi studi in letteratura, ad esempio procedure iterative, Lin Y.Y. et al. [35], tecniche di linearizzazione, Landi L. et al. [29] o metodi diretti e semplificati [34, 45, 40], utili anche in fase di predimensionamento, che saranno visti nel seguito.

Definita la matrice Cdè quindi possibile risolvere il sistema e calcolare la

Capitolo 8

Dimensionamento dei FVDs

Nei casi in cui la protezione agli eventi sismici sia svolta dai dispositivi fluido-viscosi, uno degli aspetti più interessanti dal punto di vista progettuale è sicuramente la scelta della disposizione degli stessi lungo l’altezza ed in pianta. Nel seguito sono esposti i principi generali del predimensionamento e si riporta una rassegna delle metodologie presenti in letteratura soffermandosi sui due metodi che saranno utilizzati nel caso di studio.

8.1

Indice di smorzamento aggiunto ξ

Il primo elemento da analizzare è l’indice di smorzamento associato agli smorzatori fluido-viscosi: generalmente in fase preliminare si assume che il primo modo di vibrare sia preponderante rispetto ai successivi e quindi la (7.15) si può estendere al caso di più gradi di libertà come segue [18]:

ξF V D =

P_E

j

4πEp

(8.1) nella quale E_j è l’energia dissipata dal j-esimo smorzatore pari a:

Ej =

2π2

T cdju

2

rj (8.2)

con c_dj coefficiente di smorzamento e u_rj spostamento relativo delle estremità del j-esimo dissipatore, e Ep, energia potenziale elastica, è data da:

Ep = 1 2 X Fiui= ω2 2 X i miu2i (8.3)

nella quale F_i sono le forze di inerzia ai piani. Si ottiene quindi:

ξF V D = T1 4π Pnd j=1cdjfj2(φ1j− φ1j−1)2 Pn i=1miφ21i (8.4) 91

Si fa presente sin da subito che la formulazione riportata ha il limite di essere basata sul primo modo di vibrare non smorzato e quindi può fornire solo una indicazione sul reale indice di smorzamento aggiuntivo, come detto risulta quindi particolarmente utile al predimensionamento con la necessità di sviluppare analisi più approfondite.