dei neutroni pronti, X C il numero di neutroni per cm e

Min Ufi

eri 3 dei neutroni pronti, X C il numero di neutroni per cm e

per secondo generati dai prodotti di fissione che, in con-centrazione C (naclei/cm ) , decadono con costante di tempo A (modello ad 1 gruppo). Si può scrivere:

n = " I [ l-K(l-B) ] « • »C da cui :

n - - o.n • X C avendo posto:

l-K(l-B) a - j

Ricordiamo ora che la velocità netta di formazione dei pre-cursori può essere espressa dal bilancio:

•4» n - XC

Dati i brevissimi tempi in gioco, si pud supporre che duran-te l'escursione la concentrazione dei precursori rimanga co-stante e pari al valore che aveva al tempo t • 0; dalla ulti_

ma equazione si ha dunque:

XC(t) - costante - AC(0) - a n(») e

e sostituendo nella espressione per n si ottiene:

•

n (t) - -o(t) n(t) • a n(0) e

5/15

Data la corrispondenza fra densità neutronica e densità di potenza:

P(t) - - a(t) P(t) • » P(0) e

e introducendo la densità di energia (per unità di massa del combustibile):

Q (t) - - o(t) Q (t) • a P(0) c

• • * l Q (t) - -ta(t) Q(t) • l a P(0)

ove: lo(t) - 1 - K(t) [ 1-gjì (1*6) - K(t) - - * K(t)-( 1*6)" « - - AK(t)

essendo AK(t) la reattività rispetto alla pronto-criticità mentre: lo » B

Si può quindi scrivere:

t Q(t) - iK(t). Q(t) • B.P(O)

Considerando che, in pratica, l'inizio del transitorio (c«0) corrisponde alla criticità, e vale - AK(O); quindi:

». » IQ(t) -AK(t) . Q(t) - AK(0).P(O)

che coincide con !a (5.4) tranne che per il segno dell'ulti-mo termine.

D'altronde AK(0) è negativo, e quindi la (5.4) è corretta purché AK sia considerato in valore assoluto.

Nella (5.5) il secondo termine a secondo membro rappresenta la reattiviti introdotta nell'incidente, il terso la controreazÌ£

ne Doppler, il quarto la controreazione introdotta dal disas-semblaggio del core.

La controreazione Doppler 2 legata alla variazione delle sezioni d'urto con la temperatura. In particolare, le ri sonanze che caratterizzano la sezione d'urto di cattura dei ma.

teriali fertili nella sona epitermica si allargano notevolmente all'aumentare della temperatura media del combustibile (Fig.

5 . 3 ) .

A * '• 6(E) \

•^J Y>

L

Fig. 5.3 - Andamento della reattività in funzione della temperatura media del combustibile

In tal modo si verifica:

e (e)

4>{E) SE

/ G ( E ) 4,(6)46

y4>;E) 4 '

JT,

(5.6)

•^mma'iimSWS?, '\wmmm*m>»>

mm

dove T , > T.. L'aumento delle catture neutronlche comporta per-tanto ura cor.;-roreasione negativa la cui entità viene di solito valutata definendo un coefficiente D (considerabile costante con la temperatura e generalmente compreso tra 0 e -0,01) tale da poter ritenere che sia: D " T (- ._ ) . Integrando fra T

(tem-O T (tem-O peratura di riferimento, che può essere quella media del

combu-stibile del nocciolo a regime, ossia all'istante zero) e T(t) si ricava:

AK„(t) - D In I j H

Si noti che la temperatura del combustibile può esse-re ricavata, istante per istante, nota l'energia specifica e le caratteristiche termiche del combustibile.

Deve essere chiarito che l'effetto Doppler interessa in generale ogni risonanza e quindi anche le risonanze di fissio

239

ne. Ad esempio un combustibile costituito da tutto Pu , isoto-po la cui a. presenta una risonanza intorno a 0,3 eV, sarà carat terizzato da un effetto Doppier positivo.

In un reattore (termico o veloce) alimentato con o s s | di misti di U e Pu ei sarà competizione tra i diversi contributi dovuci alle risonanze di fissione e di cattura degli isotopi f i s<

sili e fertili. Pertanto il segno dell'effetto Doppler dipende dall'arricchimento. Comunque, poiché nei reattori veloci cerami-ci il segno è negativo per arricchimenti inferiori al 40-50%, si può concludere che in pratica un reattore veloce di potenza (a£

ricchimenti compresi tra il 15 e 20%)è caratterizzato sempre da un effetto Doppler negativo.

.; ww-t-^i fTWjr-*: *!m*z**mpm ? m*»*> ?wr?>

5/18

11 valore assoluto della costante Doppiar D dipende ovviaaente dallo spettro aeutronico. In un reattore veloce la introduzione di aateriale aoderante (BeO) nel locciolo, esal-tando la coda epiteraica dello spettro, peraette di realiszare effetti Doppler più elevati.

Coae si è visto nel corso del Cap. II una tale tecn^

ca comporta un peggioraaento dell'economia neutronica e quindi una diainuzione del "breeding" del sisteaa.

La controreasione di disasseablaggio entra in gioco non appena il coabustibile vaporissato coaincia a spostarsi ve£

so l'esterno. Il aoviacnto del aateriale è regolato dalle equa-zioni della idrodinaaica; lo spoataaento del aateriale, u,è le-gato alla pressione che si genera nel nocciolo P(r, t ) , actraver_

so la relazione approssiaata (sono trascurati i teraini del 2*

ordine):

e dt

essendo p la densità del nocciolo, e

li decreaento di reattività conseguente alla riaozÌ£

ne di un'unita di volume di coabustibile vapirizzato sotto foraa di una "shell" sferica il cui spessore è centrato attorno al raggio r pud essere espresso da una reiasione del tipo:

D(r) - g0 - j g iy (5.8)

dove g e g sono paraaetri di adattamento dalla (5.8) a dati sperimentali o calcolati di "reactivity worth" (Fig. 5.4;;

pertanto il LK.(t) assuae la foraa:

5/19

A K

( t ) - ju(r,t)

^{a D(r)}

dr 4 » r dr ^(•)

(5.9)

:>(.«-)

9» I-.

h'ff'

Tig. 5.4 - "importanza" del combustibile in funzione del raggio del nocciolo

Le relazioni scritte permettono quindi di calcolare la quantità di energia totale che si accumula nel nocciolo si-no al momento in cui la controreazione di disassemblaggio si-non porta il reattore sottocritico arrestando l'escursione.

Il calcolo del lavoro distruttivo richiede che ven ga deterainato io stato termodinamico in cui viene a trovarsi il coabustibile a seguito del suddetto accumulo di energia

(•) dKd - - D(r)dV • D(r*u)dV -D(r).dV • D(r)dV • u^d°f^r)dV per cui, essendo dV« 4 «r dr, integrando su V si ha la d i

(«.9).

5.4.2 - Calcolo delle grandette teraodinaaiche del combustibile Nell'analisi di una escursione distruttiva in un rea£

tore veloce 2 necessario conoscere le relazioni che legane la pressione, la temperatura, l'enere;t» interna e la densità del combustibile in modo che si possi

a - descrivere il processo di disassemblaggio;

b - determinare le condizioni termodinamiche del combustibile al momento in cui si arresta la escursione nucleare;

e - calcolare il lavoro distruttivo compiuto nel corso della espansione (ad .abatica) t'el combustibile vaporizzato.

L'estrema penuria di dati sperimentali sul comporta-mento dell'UO- vaporizzato alle alte temperature e pressioni, rendono necessario per questi calcoli il ricorso ai diagrammi gt_

neralizzati conseguenti al principio degli "stati corrisponden-ti", la cui derivazione verri brevemente trattata nel seguito.

L'equazione di stato generale per i gas pud essere scritta nella forma (riferita ad una m o l e ) :

PV • i RT (z • 1 per i gas perfetti) (5.10) dove R, "costante universale dei gas", è pari a 1,98 cai/mole.*C mentre z, "fattore di compre? sibiliti", è funzione di P, T e del^

la natura del gas:

zⁱ - •. (T, P) (5.11)

Sperimentalemnte risulta che per ciascuna coppia di valori della temperatura ridotta T - T/T e della presiione rjt dotta P - P/P . essendo P e T i valori critici, il comportameli

r e e e r ^ to dei diversi gas è approssimativamente lo stesso. Pertanto,

e-sprimendo la (5.11) in funzione di T e P , si ottiene una rela-zione che non dipende dalla natura del %&i (in prima approssima-zione) ed 2 possibile derivare z in funzione di tali variabili.

Esprimendo poi le varie grandezze termodinamiche in funzione di z e delle variabili ridotte se ne possono dare espressioni gene-ralizzate di grande utilità pratica.

Il limite del teorema dagli stati corrispondenti (+) 2 peraltro individuato dal facto che il fattore di compressibi-lità critico:

P V e e

R T (5.12)

non 2 costante, ma assume al variare dei gas studiaci valori compresi tra 0.2 e 0.3. La funzione generalizzata che esprimo il fattore di compressibilità 2 perciò:

<V V V

^(5.13)

Conoscendo questa funzione si può risolvere qualsiasi problema di calcolo di una delle grandezze P, V, T quando siano note le altre insieme con T , P e z del gas considerato.

c e e °

La (5.13) 2 sCata ottenuta da Hougen da dati sperimeli .ali ricavati da molte decine di composti organici e tabulata

(•) - Due gas nelle scesse condizioni di temperatura ridotta e di pressione ridotta hanno lo stesso volume ridotto.

5/22

per gli intervalli:

0.01 $ P.

0.5

0.24 { z

« 30

* 15 f 0.3

I pochi dati sperimentali disponibili per l'UOj con sigliano di assumere per z un valore di 0,272, il che ci con-sente di fare uso diretto dei diagrammi generalizaati (valutati per z - 0,27). La (5.10) può essere scritta:

P V P V T

e e e

z RT p 7 J

e e e

o anche

P V - 2 T

r r r P V e e

e quindi

z T - z P V r e r r (5.14)

La (5.14) è l'espressione base per il calcolo della pressione in funzione dell'energia interna, a volume costante. L'ipotesi che il volume rimanga costante è valida nel caso dell'escursi£

ne nucleare, essendo sufficiente una piccolissima espansione del core per arrestare la reazione.

Vediamo di risolvere il problema in un caso pratico.

Supponiamo che nella prima fase di evoluzione dell'incidente tu£

to il sodio sia rimasto escluso dal nocciolo, e che pertanto il vapore di UO. abbia a sua disposizione il volume del core (mate_

5/23

riale strutturale a parte). Consideriamo che il combustibile, ridistribuito sul volume del nocciolo, abbia una densità media pari a 2.1 g/cm . Ricordiamo che per l'UO. si ha:

P • 1915 atm; T - 7300*1; z - 0,272

e e e Da questi dati, mediante la (5.12) ai ottiene V - 85 cm /mole. 3 Riferendo il calcolo ad una mole, essendo 270 il peso molecola-re dell'U0² si ha:

V - 270/2,1 • 128,2 cm3/nole; Vr - 128/85 - 1,509 Dalla (5.14) si ricava:

z Tr - 0,272 . 1,509 . P - 0,4075 P (5.15) Se l'escursione nucleare è stata tale da portare il

combustibi-le vaporizzato a una preasione ad es. doppia di quella del pun-to critico, ponendo P • 2 nella (5.15) risulta z T - 0.815.

Dal diagramma di Fig. 5.5 li osserva che per P • 2 il prodotto z T - 0.815 si verifica per T - 1,25 e z • 0,65. Pertanto si ha:

T - 9140 *K per P • 3830 atm.

L'energia interna del combustibile in queste condizio ni, valutata partendo dallo stato di riferimento costituito dal-l'UO. fuso alla preasione atmosferica (T .. - Tf - 3070 *K;

P .. • 1 atm), pud essere calcolata, per un comportamento ideale mediante la relazione:

(•) " Le figg. 5.5, 5.6, 5.7 a, 5.7 b e 5.8 sono state disegna-te qualitativamendisegna-te utilizzando i dati di Hougen, Watson e Rogatz.

b 6 W

Fig. 5.5 - Diagramma generalizzato del fattore di compres-sibilità

H-H

Pie. 5.6 - Scostamento dell'entalpia dal valore ideala

.vjtjta^i»^"

U*- > • C (T - T ._) (5.16) v rif

dove A è il calore di vaporizzazione in corrispondenza di T ., e C i il calore specifico del fluido, medio nell'intervallo di rif

temperatura considerato (nel campo di alte T si assume C - 12.9 cai/mole. 'C) .

L'energia interna reale U potrà essere calcolata va-lutando opportunamente la deviazione dal comportamento ideale, come descritto nel paragrafo seguente.

5.4.3 - Derivazione delle grandezze termodinamiche dei gas reali meditate l'uso dai diagrammi generalizzati.

Le grandezze termodinamiche dei gas reali si possono calcolare con l'ausilio dei metodi generalizzati determinando la differenza tra il valore della g-andezza considerata per il gas

reale in corrispondenza di certi valori di temperatura e pressio ne ed il valore proprio della stessa grandezza per il gas ideale.

E' necessario a questo scopo conoscere i fattori di compressibi-lità ed i parametri critici per i gas reali in esame; il proble-ma è pertanto solubile nel nostro caso, conoscendosi detti para-metri per l'UO .

In generale detta X la grandezza termodinamica che in-teressa, X la stessa grandezza per il gas ideale e specificando con i pedici T, P e "rif" lo stato che corrisponde alla tempera-tura T, alla pressione P e lo stato di riferimento, si adotta di solito uno schema di calcolo del tipo:

T,P -

T,P ' L

T,P "

XT , P J r 5

'

1 7 )

5/26

Poiché le grandezze relative ai gaa ideali vengono spetto vaiti tate a partire da uno stato di riferimento, la '5.17) può esse re scritta nella forma:

XT.P " Xrif + <*T.P * Xrif> * [XT.F " XT.p] (5'17'>

ove la quantità tra parentesi quadre e valutabile coi accodi generalizzati. Vediamo come in pratica ciò avviene per alcun*

grandezze termodinamiche.

Entalpia

H - H ( T . P ) ; dH - ( - | | - )p dT • (ff-)T dP (5.18) Ricordando che TdS • dH - VdP, e derivando rispetto a P (a T costante), si ha:

T (

H > T '

⁽

fF>T "

<

⁵

'

^l9

>

3S 3V Essendo, per una delle relazioni di Maxwell, (77)7* "^vr^P' **

pud scrivere Ia(/5.19) nella forma:

« H ' T • -

lf>P •

V (5

'

>

Introducendo la(5.XQnella(5.18)si ha:

dH • C^p dT • |V - T ( ! Y >P| ** (5.21)

—

^P "

⁽

^H>P:

5/27

A temperatura costante si ha:

dH - [v - T <-4f>p|

(5.22)

Pertanto l'entalpia di un gas reale relativa a quella del gas ideal* alla stessa temperatura si pud calcolare integrando la (5.22) tra la pressione 0 e la pressione .» a cui il gas effe£

tivamente si trova.

**" "* */'[' " ^{T (} &> ] " ⁽⁵ -">**

*""" ' • - V

" "•= <??>, - V • ¥ <|f>P C3.M-)

La ( 5 . 2 3 ) d i v i e n e :

**i* - • - Cr — ^(-ÌÌ)**

**- • • L >-<-£>, ; « (5.2,**

**C . b i . o ^ o H i l l (5..!*) 1 . . « U b i l i T . r con T . p r r** H* - H - T (

RT2

(1_£) LIl

/Q t r r

o s s i a :

**•* - » . C' „1 ,» ,,**

'

( 5 . 2 5 )

(•) - A bassissimi valori della pressione infatti il compor-tamento di un gas 2 tipicamente "ideale".

5/28

H* - H

Nella fig. 5.5 2 mostrato appunto l'andamento di — • — - per e

a • 0,27 in funzione di P e di T . e r r Entropia

Si tratta di aolito di calcolare la grandezza:

S* - S

^P.T⁵P,T

che rappreaenta la dcviazicne dal coaportaaento ideale dtl valo_

re dell'entropia del gaa ceale.

S - S(P,T); dS - <—|f>p dT • (ff>T dP (5-26) Essendo, secondo Maxwell, ("|y)T - * l^pf)?*^{g i} *v r* P*r 4««l»i»»i gas:

dS, - - (2J> dP

Mentre per il gas ideale vale:

• dP dS^ - - - R d l n P - - R ~

T P Integrando le ultime due equazioni da P • P a P • 0:

S_ - S„ • - f ° ( 4 r )

_{* " )} p

dP (5.27)

(3 f

o "

P " " I f

d P f 5

'

2 8 )

f

5/29

i

Fig. 5.7 a - Scostamento del valore ideale dell'entropia dei fluidi reali (zc - 0,27)

10 20

! i

k

• • 3 '• 1.* 13

i

Fig. 5.7 b - Scostamento del valore ideale della energia interna dei fluidi reali (zc * 0,27)

5/30

Poiché S - S* (dato che a pressione zero qualunque gas tende o o

al comportamento ideale), sottraendo l a & 2 8 ) dalla(5,27) si ha:

P,T "

P,T " ₎ [f "

⁽

W

}

P J

^{dP (5.29)}

Ricordando la(5.23), la(5.29)diviene:

*;.T - h.r - » f° ^ - i <^v] « »

^.30)

:he in funsione delle grandezze ridotte assume la forma:

SP,T " SP,T

**" * f ' **?• '' "• f* <«?' T? ^<5** -' ^U

E infine, ricordando la (5.25) , si ottiene l'espressione:

SP,T " SP,T " " R

r l-« d P • / H -H . _1_

T"

r *

(

~

}

~

r e r

(5.32)

che è la funzione riportata in fig.5.7a per *c - 0,27.

La (532) pud essere espressa in termini di fugacità.

Ricordando infatti:

dG - - SdT • VdP

si ha che, a temperatura costante, si può scrivere:

( d C )T - VdP

Per un gas ideale (PV - R T ) , si ha pertanto:

( d G )T - (RT d In P ) _

5/31

Per un gas reale quest'ultima relazione (riferita ad una mole di sostanza pura) non è valida, ed è necessario introdurre il concetto di fugacità:

( d G )T a (RT d in f )T

Combinando questa espressione con (dG)_ - VdP e ricordando la (5.10) ti ottiene:

,3 In f

l3 In P'T^Z

Sottraendo 1 da entrambi i membri dell'ultima relaziona si

Nel documento IL CICLO DEL COMBUSTIBILE NEI REATTORI NUCLEARI ++++> Comitato Nazionale Energia Nucleare (pagine 152-160)