L’analisi svolta con SAP2000 per comprendere la risposta sismica dell’edificio nella configurazione 1 è stata dinamica lineare, del tipo modal time-history analysis (Wilson, 1995): effettuato il disaccoppiamento modale del sistema con il metodo dei vettori di Ritz (Wilson et al., 1982), le equazioni di equilibrio dinamico (1 𝑔𝑑𝑙) vengono risolte istante per istante imponendo una variazione lineare della funzione di carico (i.e. input sismico) nell’intervallo temporale considerato (CSi Analysis Reference Manual, 2013).
Per tenere conto della presenza degli incatenamenti (come previsto nelle configurazioni 2-3-4), in grado di trasmettere esclusivamente sforzi normali di trazione, si è fatto ricorso invec ad analisi dinamica non lineare, del tipo Non-Linear Modal Time History Analysis (CSi Analysis Reference Manual, 2013), estensione della Fast Non-Linear Analysis (FNA - Wilson (1995)), implementata in SAP2000.
Analogamente alla modal time-history analysis, effettuato il disaccoppiamento modale del sistema con il metodo dei vettori di Ritz, le equazioni di equilibrio dinamico (1 𝑔𝑑𝑙) vengono risolte istante per istante; nel caso non lineare, inoltre, si osserva la modifica della matrice di rigidezza elastica della struttura (𝑲 → 𝑲̅ ) e del vettore delle forze esterne applicate (𝑭(𝑡) → 𝑭̅(𝑡)), dovuto all’introduzione del vettore delle reazioni degli elementi non-lineari 𝑹𝑵𝑳:
𝑴𝒖̈(𝑡) + 𝑪𝒖̇(𝑡) + 𝑲̅ 𝒖(𝑡) = 𝑭̅(𝑡)
con:
𝑲̅ = 𝑲 + 𝑲𝒆 matrice di rigidezza elastica (modificata per garantire la stabilità del sistema);
𝑲 matrice di rigidezza elastica che comprende il contributo dei soli elementi a cui è assegnato un comportamento elastico;
𝑲𝒆 matrice di rigidezza elastica che comprende il contributo equivalente (di valore arbitrario) dei soli elementi introdotti, in corrispondenza degli elementi non-lineari, per escludere labilità nel sistema (il contributo degli elementi non-lineari, infatti, non è compreso in 𝑲 e viene considerato solo attraverso il vettore 𝑹𝑵𝑳);
𝑭̅(𝑡) = 𝑭(𝑡) − 𝑹𝑵𝑳(𝑡) + 𝑲𝒆𝒖(𝑡) vettore delle forze esterne applicate (modificato);
dove:
𝑹𝑵𝑳(𝑡) vettore delle reazioni ai nodi degli elementi non-lineari (nel sistema di riferimento globale) - da calcolare iterativamente ad ogni istante temporale 𝑡;
𝑲𝒆𝒖(𝑡) vettore delle forze applicate (a destra nell’eq. (5.69)) per mantenere l’equilibrio del sistema dopo l’adozione della matrice 𝑲̅ (a sinistra nell’eq. (5.69)).
Sostituendo l’eq. (5.70) nell’eq. (5.69), si ottiene:
𝑴𝒖̈(𝑡) + 𝑪𝒖̇(𝑡) + [𝑲 + 𝑲𝒆] 𝒖(𝑡) = 𝑭(𝑡) − 𝑹𝑵𝑳(𝑡) + 𝑲𝒆𝒖(𝑡)
L’eq. (5.71) evidenzia come il calcolo della soluzione 𝒖(𝑡) richieda, ad ogni istante, l’aggiornamento del solo vettore delle reazioni negli elementi-non lineari 𝑹𝑵𝑳(𝑡), mentre le matrici di rigidezza si mantengono costanti e l’operazione di fattorizzazione (e.g. decomposizione di Cholesky, metodo di eliminazione di Gauss, ecc.) verrà svolta un’unica volta. L’utilizzo del metodo descritto implica quindi una risposta sempre elastica e lineare della struttura in muratura.
L’applicazione della storia delle accelerazioni alla base è avvenuta successivamente alla definizione della condizione iniziale della struttura, deformata dai carichi statici: è stata quindi definita una funzione (“rampa”) che permette l’applicazione incrementale dei carichi, lineare rispetto al tempo.
Per evitare che i carichi verticali generino oscillazioni della struttura che proseguono oltre il primo istante di applicazione dell’azione sismica orizzontale, la funzione rampa deve simulare un’applicazione “quasi statica” dei carichi: terminata la fase incrementale, i carichi verticali dovranno quindi essere mantenuti costanti per un intervallo di tempo sufficiente a garantire che l’alto fattore di smorzamento viscoso imposto (= 99% - costante per tutti i modi propri), annulli ogni oscillazione indesiderata. Come in ANSYS MAPDL, si è scelto di utilizzare il modello di smorzamento viscoso proporzionale (o di Rayleigh) per la definizione della matrice di smorzamento [𝑪] del sistema, imponendo un fattore di smorzamento equivalente = 6% al periodo del primo modo proprio della struttura (𝑇 = 0,357 𝑠 𝜔1 = 17,59 𝑟𝑎𝑑/𝑠) ed al periodo corrispondente all’intervallo di integrazione (𝑇 = 0,1 𝑠 𝜔2= 62,83 𝑟𝑎𝑑/𝑠), da cui: 𝛼 = 2 𝜔1 𝜔2
𝜔1+𝜔2= 1,6489; 𝛽 = 2 1
𝜔1+𝜔2= 0,0015.
L’interpretazione dei risultati delle analisi dinamiche svolte in SAP2000 è avvenuta valutando i primi istanti nei quali si registra il raggiungimento della tensione
limite di trazione della muratura in un’area continua e significativa delle pareti; le osservazioni effettuate confermano le vulnerabilità già riscontrate in ANSYS MAPDL, ovvero la possibile formazione di meccanismi di ribaltamento fuoripiano già nei primi istanti dell’evento sismico.
Con riferimento al medesimo gruppo di accelerogrammi ed ai risultati delle analisi illustrate in precedenza (par. 5.4.3.4), vengono di seguito riportate le principali evidenze riscontrate.
5.4.5 Confronto per la Configurazione 1
L’analisi delle tensioni di trazione massime (i.e. lungo le direzioni principali), indica nell’intervallo 𝑡 = 0,9 ÷ 1,0 𝑠 l’istante in cui avviene il primo raggiungimento del limite elastico del materiale muratura (𝜎𝑡 > 𝑓𝑡= 0,1 𝑀𝑃𝑎) in un’area significativa, che, come evidenziato in blu in Fig. 5.70 (a), corrisponde ad un’ampia porzione della parte sommitale della parete sud; tale area, precedentemente sempre in campo elastico, contiene una porzione di muratura effettivamente danneggiata (piani di crack in rosso a destra in Fig. 5.70 (b)) e, come evidenziato da ANSYS MAPDL, potrebbe successivamente essere soggetta ad espulsione (𝑡 = 1,76 𝑠; Fig. 5.51).
Analoghe considerazioni possono essere effettuate per la parete divisoria (i.e. tra la zona di ingresso e la cappella gentilizia) e per quelle laterali della cappella gentilizia; in particolare, nella parete divisoria si evidenziano ampie aree soggette a tensioni di trazione superiori a 𝑓𝑡, sempre in campo elastico durante la storia precedente. Il confronto con il danneggiamento della muratura mostra come l’analisi delle tensioni (SAP2000) colga il danneggiamento della porzione centrale della parete interna, evidenziando tuttavia un’area meno estesa, in direzione verticale, rispetto a quanto osservabile in ANSYS MAPDL (Fig. 5.71).
Tali differenze possono essere correlate al progressivo aumento del danneggiamento, ovvero alla progressiva riduzione della rigidezza delle pareti: il raggiungimento della tensione limite 𝑓𝑡 implica infatti la redistribuzione delle sollecitazioni in una porzione sempre minore di muratura integra.
L’andamento del taglio alla base dell’edificio nei primi 2,8 𝑠 dall’inizio dell’evento sismico è riportato in Fig. 5.73 (direzione N-S) e Fig. 5.73 (direzione E-O).
Sulla base dei risultati illustrati in precedenza, il confronto tra la risposta elastica (valutata in SAP2000 - curva blu) e quella dell’edificio soggetto a progressivo danneggiamento ed in grado di esprimere una certa duttilità (ANSYS MAPDL - curva rossa), evidenzia in particolare:
- modesti scostamenti tra le due curve fino a 𝑡 = 1,1 𝑠, dovuti principalmente agli effetti del danneggiamento dell’edificio ed alla duttilità del materiale espressa al termine della fase di attribuzione dei carichi statici;
(a) (b)
Fig. 5.70. Configurazione 1 - istante 𝒕 = 𝟎, 𝟗𝟓 𝒔: parete sud. (a) stato tensionale espresso da SAP2000
con riferimento alla superficie visibile: in blu si evidenziano le aree dove 𝝈𝒕> 𝒇𝒕= 𝟎, 𝟏 𝑴𝑷𝒂; (b) si
evidenziano in rosso i piani di crack presenti in corrispondenza di tutti i punti di integrazione degli elementi SOLID65 - ANSYS MAPDL.
(a) (b)
Fig. 5.71. Configurazione 1 - istante 𝒕 = 𝟎, 𝟗𝟓 𝒔: parete divisoria. (a) stato tensionale espresso da
SAP2000 con riferimento alla superficie visibile: in blu si evidenziano le aree dove 𝝈𝒕> 𝒇𝒕= 𝟎, 𝟏 𝑴𝑷𝒂;
(b) in rosso si evidenziano i piani di crack presenti in corrispondenza di tutti i punti di integrazione degli elementi SOLID65 - ANSYS MAPDL.