Teoria di riferimento – procedura di Hwang e Lee (1999)

Il primo modello di riferimento (Hwang & Lee, 1999) ipotizza un comportamento del tipo “tirante-puntone” dei meccanismi resistenti mobilitati all’interno del pannello nodale; tali meccanismi sono stati scelti dagli autori in modo tale da verificare le condizioni di equilibrio delle forze e congruenza delle deformazioni, rispettando al contempo le leggi costitutive dei materiali.

La procedura definita dagli autori ipotizza, in analogia a quanto indicato da Paulay e Priestley (1991), l’attivazione di un meccanismo resistente a puntone diagonale di calcestruzzo e di due meccanismi di confinamento a traliccio, dove i tiranti sono costituiti dalle staffe e dalle armature verticali intermedie del pilastro passanti nel nodo.

Come si vedrà nel seguito, la procedura per la stima della resistenza a taglio del nodo si presenta piuttosto complessa a causa delle numerose variabili ed al percorso iterativo delle equazioni risolventi formulate dagli autori.

Facendo riferimento alla Fig. 3.7, il valore dell’azione tagliante nel nodo è calcolata imponendo l’equilibrio alla traslazione in prossimità del lembo superiore del nodo:

𝑉_𝑗ℎ = 𝑇_𝑏− 𝑉_𝑐1

dove:

𝑉_𝑗ℎ forza di taglio orizzontale;

𝑉_𝑐1 forza di taglio orizzontale proveniente del pilastro all’altezza della sezione di interfaccia con il nodo trave-pilastro considerato.

L’intensità della forza di taglio verticale viene invece stimata in modo approssimato attraverso la seguente espressione:

𝑉_𝑗𝑣 ≈ (^ℎ𝑏^′

ℎ_𝑐^′) ∙ 𝑉_𝑗ℎ

con ℎ_𝑏^′ e ℎ_𝑐′ bracci interni delle coppie di sollecitazioni risultanti rispettivamente nella sezione di estremità della trave e nelle sezioni di interfaccia del pilastro con il nodo (Fig. 3.7).

Come premesso, il modello proposto dagli autori si compone dei meccanismi diagonale, orizzontale e verticale, evidenziati in Fig. 3.8 (a), (b) e (c) rispettivamente.

Il meccanismo a puntone diagonale (Fig. 3.8 (a)) comprende un unico puntone di calcestruzzo compresso la cui inclinazione è definita dalla geometria del nucleo di calcestruzzo confinato e quindi dal passaggio delle armature longitudinali di trave e pilastro all’interno del nodo stesso:

𝜗 = 𝑡𝑎𝑛⁻¹(^ℎ𝑏^′′

ℎ_𝑐^′′)

con:

ℎ"_𝑐 distanza orizzontale tra il baricentro delle barre longitudinali poste ai lembi opposti della sezione del pilastro (nel piano cui appartiene la trave; Fig. 3.8); ℎ"_𝑏 distanza verticale tra le barre longitudinali poste ai due lembi opposti (superiore

ed inferiore) della sezione della trave (Fig. 3.8).

Si ipotizza una sezione costante del puntone diagonale, di area 𝐴_𝑠𝑡𝑟 pari a:

𝐴_𝑠𝑡𝑟 = 𝑎_𝑠∙ 𝑏_𝑠

dove, poiché la formazione del puntone diagonale è legata alla presenza di aree compresse in corrispondenza delle interfacce del nodo con le trave ed i pilastri, si ha:

𝑎_𝑠 = √𝑎_𝑏²+ 𝑎_𝑐2 spessore del puntone diagonale,

con:

𝑎_𝑏 altezza della zona compressa nella sezione di interfaccia della trave con il pilastro;

𝑏_𝑠= min(𝑏_𝑏; 𝑏_𝑐) profondità del nodo; 𝑏_𝑏 base della sezione della trave; 𝑏_𝑐 base della sezione del pilastro.

Fig. 3.7: Nodo esterno - forze esterne e taglio interno (Hwang & Lee, 1999).

La formazione di cerniere nelle sezioni delle travi adiacenti al pilastro, osservata frequentemente nei test ciclici che producono la crisi dei nodi, indica l’impossibilità per la trave di trasmettere forze di compressione particolarmente significative; per questa ragione l’eq. (3.24) può essere ridotta a:

𝑎_𝑠= 𝑎_𝑐

In modo semplificato viene assunto: 𝑎_𝑐= (0,25 + 0,85 ^𝑁

𝐴_𝑔 𝑓′_𝑐) ℎ_𝑐

con:

𝑁 sforzo normale agente nel pilastro;

𝑓_𝑐^′ valore medio della resistenza cilindrica caratteristica a compressione del calcestruzzo;

ℎ_𝑐 altezza della sezione del pilastro;

(a)

(b) (c)

Fig. 3.8: Meccanismi resistenti a taglio: (a) meccanismo a puntone; (b) meccanismo di confinamento a traliccio mediante staffe; (c) meccanismo di confinamento a traliccio mediante barre verticali (Hwang & Lee, 1999).

Come illustrato in Fig. 3.9 e Fig. 3.10, il modello tirante-puntone proposto dagli autori per un nodo esterno trave-pilastro permette di imporre l’equilibrio delle forze concorrenti nel nodo superiore sommando i contributi di tre diversi meccanismi. Il taglio resistente orizzontale 𝑉_𝑗ℎ e quello verticale 𝑉_𝑗𝑣 si possono allora calcolare come espresso di seguito:

𝑉_𝑗ℎ= 𝐷 𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝐹_ℎ+ 𝐹_𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜗;

𝑉_𝑗𝑣 = 𝐷 𝑠𝑖𝑛𝜗 + 𝐹_ℎ𝑡𝑎𝑛𝜗 + 𝐹_𝑣

dove:

𝐷 forza di compressione nel puntone diagonale;

𝐹_ℎ forza di trazione complessiva agente nelle staffe orizzontali del pilastro;

Nel caso in cui il pilastro sia sprovvisto di barre longitudinali intermedie, la resistenza a taglio viene fornita solo dai meccanismi resistenti diagonale ed orizzontale; la forza 𝐹_ℎ si può calcolare come:

𝐹_ℎ = 𝛾_ℎ∙ 𝑉_𝑗ℎ;

con:

𝛾_ℎ frazione del taglio orizzontale trasferita dal tirante orizzontale (staffe del pilastro nel nodo) in assenza del tirante verticale (barre longitudinali intermedie del pilastro); dove:

𝛾_ℎ =^{2 𝑡𝑎𝑛𝜗−1}

3 per 0 ≤ 𝛾_ℎ ≤ 1.

L’equazione (3.29) si ottiene (Jennewein & Schafer, 1992; Schäfer, 1996) effettuando l’interpolazione lineare di 𝐹_ℎ tra i due casi limite, ovvero quando il taglio orizzontale viene portato unicamente dall’armatura trasversale del pilastro (𝐹_ℎ = 𝑉_𝑗ℎ; 𝜗 ≅ 27°), o, viceversa, quando l’intero taglio orizzontale viene trasferito attraverso il puntone di calcestruzzo compresso (𝐹_ℎ = 0; 𝜗 ≅ 63°).

Il taglio resistente verticale è fornito dai soli meccanismi diagonale e verticale, senza lo snervamento dell’armatura orizzontale nel nodo, da cui:

𝐹_𝑣 = 𝛾 _𝑣∙ 𝑉_𝑗𝑣

con:

𝛾_𝑣 frazione del taglio verticale trasferita dal tirante verticale (barre longitudinali intermedie del pilastro) in assenza del tirante orizzontale (staffe del pilastro nel nodo); dove:

𝛾_𝑣 =^{2 𝑐𝑜𝑡𝜗−1}

3 per 0 ≤ 𝛾_𝑣 ≤ 1.

Sulla base delle eqq. (3.27), (3.29) e (3.30), le quote di taglio orizzontale da assegnare ai tre meccanismi resistenti sono definite dall’espressione seguente:

𝐷 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∶ 𝐹_ℎ ∶ 𝐹_𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜗 = 𝑅_𝑑 ∶ 𝑅_ℎ ∶ 𝑅_𝑣

dove 𝑅_𝑑, 𝑅_ℎ, 𝑅_𝑣 sono le quote di taglio resistente portato, rispettivamente, dai meccanismi diagonale, orizzontale e verticale.

Fig. 3.9: Forze agenti nella regione nodale (Hwang & Lee, 1999); il tratteggio di maggiore ampiezza indica la direzione dei puntoni mobilitati dai diversi meccanismi resistenti.

Fig. 3.10: Forze agenti nei nodi 1, 2 e 3 (Hwang & Lee, 1999).

L’espressione (3.31) può essere rielaborata ed espressa in un sistema di tre equazioni: 𝐷 = ¹ 𝑐𝑜𝑠𝜗∙ ^𝑅𝑑 (𝑅_𝑑+𝑅_ℎ+𝑅_𝑣)∙ 𝑉_𝑗ℎ; 𝐹_ℎ = ^𝑅ℎ (𝑅_𝑑+𝑅_ℎ+𝑅_𝑣)∙ 𝑉_𝑗ℎ; 𝐹_𝑣= ¹ 𝑐𝑜𝑡𝜗∙ ^𝑅𝑣 (𝑅_𝑑+𝑅_ℎ+𝑅_𝑣)∙ 𝑉_𝑗ℎ dove: 𝑅_𝑑 =^(1−𝛾ℎ)(1−𝛾_𝑣) 1−𝛾_ℎ 𝛾_𝑣 ;

𝑅_ℎ =^𝛾ℎ(1−𝛾_𝑣)

1−𝛾_ℎ 𝛾_𝑣;

𝑅_𝑣=^𝛾𝑣(1−𝛾_ℎ)

1−𝛾_ℎ 𝛾_𝑣

La configurazione assegnata al modello tirante-puntone proposto fa sì che le medesime frazioni del taglio verticale 𝑉_𝑗𝑣 vengano assegnate ai tre diversi meccanismi resistenti:

𝐷 𝑠𝑖𝑛𝜗 ∶ 𝐹_ℎ𝑡𝑎𝑛𝜗 ∶ 𝐹_𝑣 = 𝑅_𝑑∶ 𝑅_ℎ ∶ 𝑅_𝑣

Come evidenziato in Fig. 3.11 le quote di taglio resistente da assegnare ai tre meccanismi sono scalate in modo tale che: 𝑅_𝑑+ 𝑅_ℎ + 𝑅_𝑣= 1.

Fig. 3.11: Quote del taglio resistente assegnate ai diversi meccanismi al variare dell’inclinazione del puntone diagonale rispetto all’orizzontale (Hwang & Lee, 1999).

Si osserva come per un’inclinazione del puntone di calcestruzzo di 45°, il contributo resistente principale è assicurato dal meccanismo a puntone diagonale (𝑅_𝑑= 0,5).

Al fine di verificare che la resistenza del nodo sia stata raggiunta, si fa riferimento al valore massimo della tensione di compressione 𝜎_{𝑑,𝑚𝑎𝑥} agente nel nodo in cui convergono le forze di compressione corrispondenti ai diversi meccanismi.

Assumendo che una delle direzioni principali, indicata con il pedice 𝑑, coincida con l’asse del puntone compresso, si ha:

𝜎_{𝑑,𝑚𝑎𝑥} = ¹ 𝐴_𝑠𝑡𝑟{𝐷 + 𝑐𝑜𝑠(𝜗−𝑡𝑎𝑛⁻¹(ℎ𝑏^′′ 2 ℎ𝑐^′′)) 𝑐𝑜𝑠(𝑡𝑎𝑛−1(ℎ𝑏^′′ 2 ℎ𝑐^′′)) 𝐹_ℎ + 𝑐𝑜𝑠(𝑡𝑎𝑛−1(2 ℎ𝑏^′′ ℎ𝑐^{′′)−𝜗)} 𝑠𝑖𝑛(𝑡𝑎𝑛−1(2 ℎ𝑏^′′ ℎ𝑐^′′)) 𝐹_𝑣}

La legge costitutiva del calcestruzzo, soggetto ad un regime tensionale biassiale (Fig. 3.12), è stata assunta come indicato in uno studio precedente (Zhang & Hsu, 1998):

𝜎_𝑑 = − 𝑓′ 𝑐 [2 (^−𝜀𝑑  𝜀₀) − (^−𝜀𝑑  𝜀₀)²] dove: = min (^5,8 √𝑓′ 𝑐 ∙ ¹ √1+400 𝜀_𝑟 ; ^0,9 √1+400 𝜀_𝑟) è il coefficiente di softening con: −𝜀_𝑑  𝜀₀≤ 1;

𝜀_𝑑 deformazione media del calcestruzzo nella direzione principale 𝑑, coincidente con l’asse principale del puntone diagonale;

𝜀_𝑟 deformazione media nella direzione principale 𝑟, ortogonale all’asse del puntone; 𝜀₀ deformazione assiale corrispondente al valore medio della resistenza cilindrica

caratteristica a compressione 𝑓_𝑐′ del calcestruzzo: 𝜀₀= 0,002 + 0,001 (^𝑓𝑐^′−20

80 ) per 20 ≤ 𝑓_𝑐′ ≤ 100 𝑀𝑃𝑎

Fig. 3.12: Influenza dell’effetto di softening nel legame sforzo-deformazione del calcestruzzo (Hwang & Lee, 1999).

Sulla base dell’eq. (3.40), la massima resistenza del nodo, che corrisponde al raggiungimento della massima tensione di compressione 𝜎_{𝑑,𝑚𝑎𝑥} sopportabile dal calcestruzzo nella zona nodale, si ottiene quando la tensione di compressione e la deformazione del puntone diagonale 𝜀_𝑑 si accordano alle seguenti due espressioni (Fig. 3.13):

𝜀_𝑑= −∙ 𝜀₀

Trascurando l’effetto di irrigidimento fornito dal calcestruzzo, il comportamento delle barre di acciaio è assunto dagli autori come elastico-perfettamente plastico:

𝑓_𝑠 = 𝐸_𝑠 𝜀_𝑠 se 𝜀_𝑠< 𝜀_𝑦;

𝑓_𝑠 = 𝑓_𝑦 se 𝜀_𝑠≥ 𝜀_𝑦

dove:

𝐸_𝑠 modulo elastico dell’acciaio nelle barre; 𝑓_𝑠 tensione nelle barre di armatura; si pone:

- Eq. (3.45):

𝑓_𝑠 = 𝑓_ℎ ; 𝜀_𝑠= 𝜀_ℎ se applicata alle staffe del pilastro;

𝑓_𝑠 = 𝑓_𝑣 ; 𝜀_𝑠 = 𝜀_𝑣 se applicata alle barre intermedie del pilastro; - Eq. (3.46):

𝑓_𝑠 = 𝑓_𝑦ℎ ; 𝜀_𝑠= 𝜀_ℎ se applicata alle staffe del pilastro;

𝑓_𝑠 = 𝑓_𝑦𝑣 ; 𝜀_𝑠= 𝜀_𝑣 se applicata alle barre intermedie del pilastro.

La relazione tra tensione e deformazione nei tiranti, introdotti nel modello per descrivere il comportamento delle staffe e delle barre longitudinali intermedie del pilastro all’interno del nodo, è descritta dalle due seguenti espressioni:

𝐹_ℎ = 𝐴_𝑡ℎ𝐸_𝑠𝜀_ℎ ≤ 𝐹_𝑦ℎ;

𝐹_𝑣 = 𝐴_𝑡𝑣𝐸_𝑠𝜀_𝑣 ≤ 𝐹_𝑦𝑣

dove:

𝐴_𝑡ℎ area complessiva della sezione delle staffe nel nodo;

𝐴_𝑡𝑣 area complessiva della sezione delle barre longitudinali intermedie del pilastro nel nodo.

Ipotizzando che la direzione principale 𝑑 della tensione di compressione sia definita dall’angolo 𝜗, è possibile esprimere la deformazione 𝜀_𝑟 nella direzione principale 𝑟, ortogonale a 𝑑, in funzione della deformazione orizzontale 𝜀_ℎ, della deformazione verticale 𝜀_𝑣 e del valore di deformazione 𝜀_𝑑 nella direzione principale 𝑑 (Hsu, 1993):

𝜀_𝑟 = 𝜀_ℎ+ (𝜀_ℎ+ 𝜀_𝑑)𝑐𝑜𝑡2𝜗;

Noti i termini 𝜗, 𝑓′_𝑐, 𝑓_𝑦ℎ, 𝑓_𝑦𝑣, 𝐴_𝑠𝑡𝑟, 𝐴_𝑡ℎ, 𝐴_𝑡𝑣, 𝐸_𝑠, 𝜀₀, il calcolo del taglio resistente orizzontale 𝑉_𝑗ℎ avviene attraverso un lungo procedimento iterativo, descritto nelle figure seguenti (Fig. 3.14 e Fig. 3.15).

Fig. 3.13: Identificazione delle direzioni principali di deformazione del calcestruzzo (indicate con le lettere 𝒅 ed 𝒓) in un regime tensionale biassiale (Hwang & Lee, 1999).

La notazione utilizzata nei diagrammi riportati (Fig. 3.14 e Fig. 3.15) si riferisce direttamente all’articolo nel quale gli autori discutono la formulazione da loro proposta (Hwang & Lee, 1999); le stesse equazioni citate dagli autori nei due grafici, presentano in questa tesi la seguente diversa numerazione:

numerazione articolo (Fig. 3.14e Fig. 3.15) numerazione utilizzata numerazione articolo (Fig. 3.14e Fig. 3.15) numerazione utilizzata

Eq. (8) Eq. (3.27) Eq. (20) Eq. (3.39) Eq. (10) Eq. (3.29) Eq. (21) Eq. (3.40) Eq. (11) Eq. (3.30) Eq. (22) Eq. (3.41) Eq. (13) Eq. (3.32) Eq. (24) Eq. (3.43) Eq. (14) Eq. (3.33) Eq. (28) Eq. (3.47) Eq. (15) Eq. (3.34) Eq. (29) Eq. (3.48) Eq. (16) Eq. (3.35) Eq. (30) Eq. (3.49) Eq. (17) Eq. (3.36) Eq. (31) Eq. (3.50) Eq. (18) Eq. (3.37) Fig. 9 ; Fig. 10 Fig. 3.14 ; Fig. 3.15

Tab. 1: numerazione impiegata dagli autori (illustrata in Fig. 3.14 e Fig. 3.15) e corrispondente numerazione utilizzata in questa tesi.

Fig. 3.14: Diagramma riassuntivo del procedimento adottato dagli autori per il calcolo della resistenza a taglio di un nodo esterno – prima parte (Hwang & Lee, 1999).

Fig. 3.15: Diagramma riassuntivo del procedimento adottato dagli autori per il calcolo della resistenza a taglio di un nodo esterno – seconda parte: armatura in campo post-elastico (Hwang & Lee, 1999).