Nuovo approccio alla calibrazione

Inizialmente è stata investigata anche un'altra procedura di calibrazione che è stata in seguito abbandonata perchè non ha portato a risultati paragonabili con i metodi sopra presentati. L'idea di base della calibrazione consiste nello stabilire la posizione relativa tra punta e fac- cia del ag acquisito. In questo caso la posizione del punto è stata ricavata sfruttando la scacchiera impiegata per la calibrazione dei sistemi stereo. Mediante lo strumento di corner- nder è stato possibile ottenere la posizione di tutti i corner nel sistema di riferimento della telecamera sinistra. Mantenendo la scacchiera in posizione, è stato posizionato il tastatore in modo che la sua punta toccasse esattamente un punto di incrocio degli scacchi e al tempo stesso fosse visibile da entrambe le telecamere la faccia del ag da calibrare. Analogamente al metodo presentato nel paragrafo 3.2.2.1, anche questo in uscita ci fornisce sia la posizione della bandiera, sia quella della punta del tastatore, potendo così ricavare la posizione relativa. Teoricamente è necessario eseguire questa procedura una sola volta. Dal momento che abbia- mo a disposizione una serie di punti 3D di coordinate note, è possibile ripetere il procedimento più volte e confrontare tra loro i risultati. Allineando le varie griglie acquisite (una per ogni punto tastato), è possibile valutare la dispersione dei punti che individuano l'estremità dello stelo. Il risultato di questa procedura è un insieme di punti che si discostano eccessivamen- te l'uno dall'altro. La causa principale di tale errore risiede nel fatto che il posizionamento della punta in prossimità del corner avviene con un controllo esclusivamente visivo da parte dell'operatore e quindi non adatto per precisioni richieste del decimo di millimetro. Un possi- bile miglioramento può essere ottenuto utilizzando una telecamera per zoomare la zona dove avviene il contatto tra la punta e il corner della scacchiera.

Figura 5.2.1: Allineamento griglie e relativi punti dello stelo

Il mche etodo di calibrazione, sviluppato all'interno della relazione tecnica [14], individuava l'estremità dello stelo come l'intersezione di tre piani arbitrariamente orientati mantenuti sempre in contatto con la punta. I piani utilizzati per tale procedura sono ricavati interpolando nuvole di punti ottenute ricorrendo alla scansione stereo (telecamera-telecamera). La fonte di errore maggiore per questa procedura risiede nella trasformazione della nuvola di punti nel piano ideale, approssimando più o meno bene il piano reale. Appare evidente come sia quindi insuciente l'impiego di soli tre piani per la calibrazione. Abbiamo quindi pensato di aumentare il numero di piani per rendere questa procedura il meno aleatoria possibile. Per rendere più robusta la calibrazione abbiamo aumentato il numero di piani utilizzati no ad un massimo di 5. Non è possibile incrementare troppo questo numero per problemi derivanti dalla movimentazione nello spazio del piano (con il tastatore bloccato!) e di acquisizione. La fase successiva sta nell'individuazione del punto tastato, che in teoria coincide con l'intersezione di tutti i piani acquisiti: ovviamente tale intersezione non darà come risultato un punto unico poichè si risente dell'approssimazione data dall'interpolazione. Sicuramente sarà univoco il punto ottenuto come intersezione da una terna di piani. Per questo si è pensato di individuare il punto tastato come baricentro dei punti individuati da ciascuna terna. Utilizzando 5 piani di riferimento, si ha a disposizione una famiglia di nove terne che corrispondono a nove punti da impiegare per ricavare il punto tastato. Ovviamente tali punti non dovranno essere troppo distanti tra di loro: in questo modo è possibile rendersi conto se uno o più piani sono stati male acquisiti.

Il punto risultante dall'intersezione di tre piani può essere ricondotto alla risoluzione di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite. Nel caso in cui si utilizzino tutti e 5 i piani di calibrazione, ci si troverà a risolvere un sistema sovradeterminato di 5 equazioni in 3 incognite. Tali sistemi

si risolvono applicando degli algoritmi iterativi che in generale cercano di minimizzare la distanza tra il punto soluzione e i vari piani. Nel nostro caso si è deciso di utilizzare una Decomposizione ai Valori Singolari, detta anche SVD, dall'acronimo inglese Singular Value Composition, impiegata per risolvere il problema dei minimi quadrati. Una breve descrizione di tale procedura è riportata in appendice D. In ambiente MATLAB tale metodo di risoluzione è richiamato dal comando svd. Di seguto si riporta il codice utilizzato: con A si indica la matrice dei coecienti dei piani, b i termini noti ed X_tip la soluzione (g.5.2.2). Supponiamo di eseguire la prova con 5 piani. L'equazione di un singolo piano è:

aix + biy + ciz = di

dove i indica l'i-esimo piano. La matrice A e il vettore b, sono:

A =            a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a4 b4 c4 a5 b5 c5            b =            d1 d2 d3 d4 d5            Figura 5.2.2: Codice SVD

I risultati ottenuti implementando le varie procedure, portano sempre a risultati confrontabili: i punti così trovati non si discostano molto l'uno dall'altro. Per vericare quale metodo di calibrazione è il più adabile, devono quindi essere eettuate una serie di prove sperimentali. Si procede all'acquisizione di oggetti dalla geometria nota e si valuta quale tra le varie cali- brazioni si avvicina di più alla geometria di riferimento ottenuta dalla scansione con il sistema a luce strutturata.

Come spiegato in precedenza, durante la fase di calibrazione non è solo necessario acquisire la posizione della punta dello stelo, ma occorre riferire questa alla faccia del ag che si sta calibrando. Questa è ricavata applicando il metodo del corner-nder alla griglia stampata. Dal momento che il tastatore è stato serrato al piano di lavoro, l'acquisizione di tale griglia può essere eettuata una sola volta. Per vericare che il bloccaggio sia corretto si acquisisce la griglia ogni volta che viene scansionato un nuovo piano di calibrazione. Analizzando le griglie

acquisite, si osserva che le distanze fra i rispettivi punti identicativi è dell'ordine dei centesimi di millimentro, valore considerato accettabile data la risoluzione della strumentazione.

Figura 5.2.3: Confronto tra due delle famiglie di punti delle griglie

Di seguito si riportano le posizioni della punta ottenuta dalla procedura di calibrazione con i vari metodi proposti. Per quanto riguarda la procedura che impiega solo 3 piani, è stata scelta una terna casuale. Le coordinate sono espresse in millimetri e il sistema di riferimento è centrato nella telecamera sinistra.

Metodo x y z

3 piani -25,856 25,217 929,210 Media -26,075 25,187 929,178 SVD -25,987 25,382 929,266

Tabella 5.2: Confronto tra le coordinate della punta

5.2.1.1 Confronto tra i metodi di calibrazione

Ai ni applicativi è stato necessario eettuare una serie di prove sperimentali per stabilire quali, tra i metodi di calibrazione proposti, fornisse il miglior risultato in termini di precisione dimensionale. Queste prove consistono nel tastare oggetti con geometrie elementari preceden- temente scansionate con il metodo a luce strutturata. Più le due nuvole di punti (tastata e scansionata) sono vicine tra loro, più il risultato è ritenuto adabile. Per valutare la distanza dei punti tastati dalla supercie di riferimento, è stato utilizzato il programma Geomagicr_.

La precisione dello strumento è vincolato da alcuni fattori che possono essere migliorati con un'attenta fase di progettazione e realizzazione, ma non del tutto eliminabili. In primo luogo la punta del tastatore essendo lavorata alle macchine utensili, presenterà sulla sua cima un inevitabile raggio di raccordo dicile da valutare. Inoltre tale raggio sarà soggetto a fenomeni di usura dovuti al contatto ripetuto con le superci da acquisire. Nonostante questo possiamo considerare tale raggio sucientemente piccolo, tale da poter essere trascurato e incluso nella sensibilità dello strumento. Inoltre, come precedentemente spiegato, si dovrà fare attenzione a non applicare una pressione eccessiva della punta sull'oggetto, che può causare una essione dello stelo conportando un'errata valutazione del punto tastato.

Da queste considerazioni è stato scelto di ssare la soglia di sensibilità dello strumento pari a 0.5mm.

Avendo a disposizione tre metodi di calibrazione, è stata eettuata una valutazione prelimi- nare, in modo da scartare il metodo meno corretto tra quelli proposti. In questa fase abbiamo scelto come oggetto di riferimento un piano retticato, presente in laboratorio. Ogni fase di tastatura è stata preceduta da una fase di acquisizione del piano mediante luce strutturata: questa è stata fatta in via precauzionale per tenere di conto di eventuali spostamenti del pia- no, causati da eventi accidentali come vibrazioni del tavolo di lavoro. Data la ripetibilità e la lunga durata delle prove, è stato deciso di eettuare il confronto fra i metodi analizzando unicamente una sola faccia del ag, ipotizzando che i risultati siano validi in generale per ogni griglia.

Sono stati tastati 10 punti per ogni prova e valutate le relative distanze tra questi ed il piano di riferimento. In alcuni casi, causa una errata acquisizione, alcuni punti tasti assumevano valori non accettabili; questi sono stati quindi rimossi, poichè avrebbero sporcato la prova. Di seguito si riportano le immagini, nelle quali sono evidenziati i risultati delle prove che sono state eettuate.

Figura 5.2.4: Metodo 3 Piani

Figura 5.2.5: Metodo della Media

Figura 5.2.6: Metodo SVD

Il fatto che si abbia il segno negativo o positivo nell'istogramma a destra delle gure sopra, è da imputare a Geomagicr_{e nella sua scelta della supercie positiva del piano: il confronta}

va eettuato su i loro valori assoluti.

Le immagini riportate mostrano che i due metodi più adabili sono quelli della media e della decomposizione ai valori singolari. La seconda prova è stata eettuata tastando un cilindro: data la massa del cilindro è stato considerato suciente acquisire una sola volta l'oggetto, diversamente da quanto è stato fatto col piano. Per rendere ancora più preciso il confronto è stato deciso di acquisire gli stessi punti per entrambi i metodi: per ogni posizione della punta a contatto con la supercie, sono state eettuate due acquisizioni caricando volta volta i rispettivi parametri di calibrazione. In questo modo per ogni punto tastato si ha una coppia di punti confrontabili.

Figura 5.2.7: Confronto tra il Metodi della Media e SVD

I due metodi non presentano dierenze sostanziali; entrambi hanno punti che risiedono in un range di ampiezza 0.5mm attorno alla supecie del cilindro considerata come riferimento zero. I punti sono distribuiti in un modo uniforme all'interno di tale intervallo. Per quanto rigurada i punti ottenuti con il Metodo della Media, si osserva che questi hanno sia positivi che negativi rispetto alla supercie di riferimento; al contrario per il Metodo SVD, tutti i punti stanno da un lato della supercie, ad eccezione di un paio. Confrontando i punti più lontani dalla supercie di riferimento tra i due metodi, si osserva che quello più vicino si ottiene utilizzando la Media e il suo valore è circa 0.3mm. Per questo motivo è stato deciso di scegliere il Metodo della Media per la calibrazione delle facce del ag.

Per valutare la bontà dei dati di calibrazione, utilizzando a questo punto il Metodo della Media, sono state eettuate delle prove nelle quali veniva acquisito un piano di riferimento, impiegando sia il tastatore che il sistema a luce strutturata. La verica è stata eseguita

confrontando il piano passante per i punti scansionati con il tastatore, circa dieci, con quello generato dalla nuvola ottenuta con il sistema stereo, utilizzato come riferimento. Di seguito sono riportate due tabelle. La prima presenta la deviazione standard dei punti tastati rispetto al piano di best-t ricavato da essi. Nella seconda, invece, si esprimono i valori degli stessi punti in relazione al piano di riferimento ottenuto con l'acquisizione del sistema stereo. Si ritengono accettabili quelle calibrazioni che permettono di mantenere i punti tastati in un intorno di +-0.5 rispetto al piano di riferimento. Le dimensioni riportate sono espresse in millimetri. Per ragioni pratiche si è deciso di calibrare solamente quelle facce che saranno utili per l'acquisizione della girante, ritenendo il procedimento di calibrazione robusto e ripetibile per tutte le facce. Dovendo acquisire sia l'intradosso che l'estradosso della girante, in teoria si avranno, associati ad una singola faccia, due distinti le di calibrazione: uno per la punta esterna e uno per la punta interna. Per quanto detto, è stato deciso di calibrare la faccia 1,5,6 per la punta esterna e la faccia 2 per quella interna. Per la punta 5 si nota come tutti i punti acquisiti si trovino tutti da una sola parte rispetto al piano di riferimento, in quanto non sono state rilevate distanze negative. Inoltre per tale punta non viene rispettato il vincolo di distanza che è stato imposto; conviene quindi eettuare una nuova calibrazione e vericare che sia rispettato il limite prescritto.

N° faccia Punta Distanza massima_{positiva negativa positiva negativa}Distanza media Deviazione standard 1 ext 0.260 -0.503 0.042 -0.039 0.076

2 int 0.159 -0.305 0.096 -0.115 0.130 5 ext 0.113 -0.093 0.065 -0.064 0.072 6 ext 0.199 -0.251 0.117 -0.094 0.131

Tabella 5.3: Analisi dei punti tastati rispetto al piano di best-t

N° faccia Punta Distanza massima_{positiva negativa positiva negativa}Distanza media Deviazione standard 1 ext 0.295 -0.010 0.188 -0.010 0.113

2 int 0.263 -0.288 0.150 -0.185 0.176 5 ext 0.516 N.A. 0.343 N.A. 0.125 6 ext 0.232 -0.165 0.156 -0.095 0.140 Tabella 5.4: Analisi dei punti tastati rispetto al piano di riferimento

A supporto delle tabelle riportiamo anche gli istogrammi che rappresentano la distanza dei punti tastati dal piano acquisito con il sistema stereo.

Figura 5.2.8: Istogrammi