A.9 Operatori lineari
Una funzione che associa elementi v di uno spazio vettoriale ad altri elementi dello stesso spazio, è chiamata un operatore. Se la funzione gode delle proprietà di linearità, è indicata con il nome di operatore lineare.
Più precisamente, sia L : Vn 7→ Vn, in modo tale che, se ( u w) ∈ Vn e a e b sono numeri, si ha:
L(au + bw) = aL(u) + bL(w) L è un operatore lineare.
Dato uno spazio vettoriale Vn, se E è una sua base e L un operatore lineare, rappre-sentando un vettore u ∈ Vn come combinazione lineare dei vettori della base:
u =
n
X
j=1
ujej (A.22)
ed applicando ad entrambi i membri dell’eq. (A.22) l’operatore L, tenendo conto delle proprietà prima enunciate, risulta:
L(u) =
n
X
j=1
ujL(ej) (A.23)
I vettori L(ej) sono elementi di Vn e quindi si possono rappresentare nella base E; indicando con akj la componente di L(ej) relativamente a ek, è
L(ej) =
n
X
k=1
akjek
Quindi, sostituendo nell’eq. (A.23) si ottiene:
L(u) = n X j=1 n X k=1 ujakjek= n X k=1 n X j=1 akjuj ek (A.24)
Dall’eq. (A.24) appare evidente che le componenti del vettore L(u) nella base E, si ot-tengono combinando linearmente i coefficienti akj con le componenti del vettore origine u. Raccogliendo le componenti di L(u) e di u in matrici n × 1 e i coefficienti ak,j della trasformazione nella matrice n × n:
L= a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . an1 an2 . . . ann le componenti di L(u) in E si ottengono dal prodotto:
A.9 Operatori lineari 97
A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare
Se u, w sono due elementi dello spazio vettoriale Vncollegati da una trasformazione lineare L, in modo che si abbia w = L(u), per l’eq. (A.25), le componenti dei vettori relative ad una base E si trasformano mediante la relazione lineare:
w= L · u (A.26)
in cui L è una matrice n × n. Passando dalla base E ad una nuova base E0 le componenti dei vettori u, w si trasformano in accordo alla eq. (A.21); tenendo conto anche della (A.18) si ha quindi: w0 = Aw e u = A−1u0, per cui l’eq. (A.26) diviene:
w0= A · w = A · L · A−1· u0 = L0· u0 (A.27) avendo posto:
L0 = A · L · A−1 (A.28)
L’eq. (A.28) esprime la legge di trasformazione a seguito del cambiamento di base della matrice L della trasformazione lineare L.
A.9.2 Nucleo di un operatore lineare
Se L indica un operatore lineare in Vn, l’insieme degli elementi dello spazio vettoriale Vn
per cui si ha:
L(v) = 0
è chiamato il nucleo dell’operatore L. Formalmente, il nucleo (L) di un’operatore lineare è definito dalla relazione:
(L) = {v ∈ Vn|L(v) = 0} (A.29)
A.9.3 Inverso di un operatore
Sia L un operatore lineare di Vn; dato un elemento qualsiasi w ∈ Vn, si supponga che esista un solo elemento di Vn, v, tale che:
w = L(v) allora si può definire un operatore w → v, inverso di L:
v = L−1(w) = L−1◦ L(v) (A.30)
Si può dimostrare che, se esiste, L−1 è un operatore lineare e che l’operatore L è invertibile (cioè esiste il suo inverso L−1) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo vettore nullo:
(L) = {0}
Se L è la matrice dell’operatore L in una base E, allora, se L è invertibile, la matrice dell’operatore L−1 è l’inversa di L. L’operatore L è invertibile se e solo se L non è singolare (cioè det(L) 6= 0).4
4
Il determinante è una proprietà intrinseca dell’operatore e non muta con il cambiamento della base. Infatti, tenendo conto delle note proprietà dei determinanti e dell’eq. (A.28), si ha:
A.9 Operatori lineari 98
A.9.4 Operatore identico
L’operatore che trasforma ogni elemento di Vn in se stesso è detto l’operatore identico dello spazio Vn:
v = I(v) ∀v ∈ Vn
L’eq. (A.30) dimostra che, se un operatore è invertibile, l’applicazione successiva di L e del suo inverso produce l’operatore identico:
L−1◦ L = I
La matrice dell’operatore identico I in Vn è la matrice unitaria I (n × n).
A.9.5 Operatori hermitiani
Siano (v, w) ∈ Vn elementi di uno spazio vettoriale ed L un operatore lineare dello stesso spazio: poiché L(v) ∈ Vn, si può calcolare il prodotto interno:
hL(v), wi
Esiste ed è unico un altro operatore lineare L∗, detto l’operatore aggiunto di L, tale che:
hL(v), wi = hv, L∗(w)i (A.31)
Un operatore lineare L si dice hermitiano od autoaggiunto se L = L∗, per cui:
hL(v), wi = hv L(w)i
La matrice dell’operatore aggiunto è l’aggiunta della matrice di L, cioè la matrice che si ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta:
L∗ = LT (A.32)
La matrice aggiunta di una matrice reale è la sua trasposta. Una matrice è hermitiana se coincide con la sua aggiunta A∗ = A; una matrice reale è autoaggiunta se è simmetrica.
A.9.6 Operatori unitari
Un operatore U si dice unitario se soddisfa la seguente condizione: per ogni (v, w) ∈ Vn,
hU(w), U(v)i = hw, vi (A.33)
Un operatore è unitario solo se U∗◦ U = I. Infatti dalla definizione (A.33) e da quella di operatore aggiunto (A.31), segue:
hU(v), U(w)i = hv, U∗◦ U(w)i = hv, wi da cui segue evidentemente che U∗◦ U = I.
Quindi per un operatorunitario esiste sempre l’operatore inverso, e questo coincide con l’operatore aggiunto.
A.9 Operatori lineari 99
A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore
Se A è un operatore lineare dello spazio vettoriale Vn ed x un elemento di Vn, x è detto un autovettore di A se per qualche numero λ è verificata l’equazione:
A(x) = λx (A.34)
il numero λ ∈ C è detto l’autovalore di A associato all’autovettore x.
Se ad un autovalore λ sono associati più di un atovettore xk, allora ogni combinazione lineare di questi autovettori è un autovettore di A. Infatti, per le proprietà degli operatori lineari e per la (A.34), si ha:
A(X k ckxk) =X k ckA(xk) = λX k ckxk
Gli autovettori che corrispondono ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti x1, . . . ,xmm autovettori di A, cui corrispondono diversi autovalori λ1, . . . , λm. Se m = 1 l’affermazione è ovvia; infatti cx1= 0 solo se c = 0. Si assuma che l’affermazione sia vera per m − 1; in questo caso per qualunque combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli, si ha:
c1x1+ c2x2+ · · · + cm−1xm−16= 0 (A.35) Si supponga per assurdo che invece x1, . . . ,xm−1,xm siano linearmente dipendenti. In questo caso esisterebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli per cui:
c1x1+ c2x2+ · · · + cm−1xm−1+ cmxm = 0 (A.36) Applicando l’operatore A a tutti i termini della (A.36) e tenendo conto dell’eq. (A.34), risulta:
c1λ1x1+ c2λ2x2+ · · · + cm−1λm−1xm−1+ cmλmxm = 0 (A.37) se a questa equazione si sottra la (A.36) moltiplicata per λm, risulta:
c1(λ1− λm)x1+ c2(λ2− λm)x2+ · · · + cm−1(λm−1− λm)xm−1= 0
ma, dato che per ipotesi λm 6= λk, (k 6= m), questa implicherebbe che x1, . . . ,xm−1 siano linearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi: quindi l’eq. (A.36) è falsa ed è pertanto dimpostrato che gli autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Indicando con I l’operatore identico, l’equazione (A.34) si può riscrivere:
(A − λI)(x) = 0 (A.38)
Ricordando la definizione del nucleo di un operatore, è evidente che gli autovettori associati all’autovalore λ sono il nucleo dell’operatore (A − λI); ne consegue che λ è un operatore di A se e solo se (A − λI) non è invertibile.
Un’ulteriore proprietà che può essere dimostrata è che ogni operatore A ha almeno un operatore non nullo. Per quanto visto in precedenza se un operatore lineare ha m atovalori distinti allora ha anche m autovalori, che tra loro risultano linearmente indipendenti; da questo consegue che un operatore in Vn non può avere più di n autovalori ed autovettori.