Nel seguito K denota un campo fissato.
Definizione 1.1 Siano V , W due K-spazi vettoriali; una applicazione f : V → W `e detta lineare se ∀v, v0∈ V , ∀a, b ∈ K, si ha:
f (av + bv0) = af (v) + bf (v0)
Osserviamo che, in particolare, f (0) = f (0v) = 0f (v) = 0.
Nel seguito la frase: “ Sia f : V → W lineare” sottointende che V e W sono spazi vettoriali su uno stesso campo.
Osservazione 1.2 Ricordiamo che se V `e un K-spazio vettoriale, (V, +) `e un gruppo abeliano;
quindi una applicazione lineare f : V → W `e un morfismo dei gruppi additivi che soddisfi la condizione f (av) = af (v) ∀v ∈ V , ∀a ∈ K.
Esempi 1.3 Sono lineari le seguenti applicazioni:
1) f : R → R
x 7→ 3x
2) g : R2 → R2
(x, y) 7→ (x + y, 3x − y)
3) d : R[x] → R[x]
a0+ a1x + . . . + anxn 7→ a1+ 2a2x + . . . + nanxn−1 4) f : M2(R) → M2(R)
a b c d
7→
a − d b
c 0
Esempi 1.4 Non sono lineari le seguenti applicazioni:
1) g : R2 → R2
(x, y) 7→ (1 + x, y)
2) f : R → R
x 7→ x2
Infatti: in 1) g(0) 6= 0; in 2) f (1 + 2) = 9, f (1) + f (2) = 5.
Definizione 1.5 Siano V , W due K-spazi vettoriali.
Una applicazione lineare f : V → V `e detta endomorfismo di V .
Una applicazione lineare e biettiva f : V → W `e detta isomorfismo (di spazi vettoriali). Se esiste un isomorfismo f : V → W , scriviamo V ∼= W .
Un isomorfismo f : V → V `e detto automorfismo di V .
Proposizione 1.6 a) Siano V, W, U K-spazi vettoriali e f : V → W , g : W → U applicazioni lineari. Allora g ◦ f : V → U `e lineare.
b) Sia f : V → W un isomorfismo. Allora l’applicazione inversa f−1 `e lineare e quindi `e un isomorfismo.
c) Si ha: V ∼= V ; V ∼= W ⇒ W ∼= V ;
V ∼= W, W ∼= U ⇒ V ∼= U .
Dimostrazione a) ∀a, b ∈ K, ∀v, v0 ∈ V , si ha:
(g◦f )(av+bv0) = g(f (av+bv0)) = g(af (v)+bf (v0)) = ag(f (v))+b(g(f (v0)) = a(g◦f )(v)+b(g◦f )(v0).
b) La f−1 : W → V esiste perch´e f `e biettiva. Siano w, w0 ∈ W , a, b ∈ K; allora esistono, e sono unici, v, v0 ∈ V tali che f (v) = w, f (v0) = w0, e si ha
f−1(aw + bw0) = f−1(af (v) + bf (v0)) = f−1(f (av + bv0)) = av + bv0 = af−1(w) + bf−1(w0)
c) L’identit`a su V `e lineare e biettiva, quindi V ∼= V ;id V ∼= W ⇒ Wf
f−1
∼= V per il punto b);
V ∼= W, Wf
∼g
= U ⇒ V
g◦f∼= U per il punto a), tenendo conto che la composizione di due biezioni `e una biezione.
Notazione 1.7 Sia V un K-spazio vettoriale finitamente generato (d’ora in poi scriviamo f.g.), e sia B = (v1, . . . , vn) una base. Il vettore di coordinate (a1, . . . , an) rispetto alla base B verr`a denotato cos`ı:
(a1, . . . , an)B := a1v1+ . . . + anvn
Proposizione-Definizione 1.8 Sia V un K-spazio vettoriale f.g., e sia B = (v1, . . . , vn) una base.
L’applicazione:
ψB : Kn → V
(a1, . . . , an) 7→ (a1, . . . , an)B
`
e un isomorfismo di K-spazi vettoriali, detto l’isomorfismo tra V e Kndefinito dalla base B.
Dimostrazione Sappiamo che ψB `e biunivoca. Linearit`a:
ψB(a(a1, . . . , an)+b(b1, . . . , bn)) = ψB((aa1+bb1, . . . , aan+bbn)) = (aa1+bb1)v1+. . .+(aan+bbn)vn=
= a(a1v1+ . . . + anvn) + b(b1v1+ . . . bnvn) = aψB((a1, . . . , an)) + bψB((b1, . . . , bn))
Notazione 1.9 Nel seguito denotiamo sempre con φB l’isomorfismo inverso di ψB, che associa ad ogni vettore v ∈ V , v = (a1, . . . , an)B, le sue coordinate rispetto alla base B:
φB : V → Kn
v 7→ (a1, . . . , an)
Esempi 1.10 1) Se V = Kn e E = (e1, . . . , en) `e la base canonica, ∀(a1, . . . , an) ∈ Kn si ha (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)E, quindi ψE = idKn.
2) Siano v1 = (1, 2), v2 = (3, 1) ∈ R2; allora B = (v1, v2) `e una base per R2. Consideriamo ad esempio il vettore v = (0, 5); si ha v = 3v1− v2, quindi v = (3, −1)B e φB(v) = (3, −1).
Abbiamo quindi dimostrato il:
Teorema 1.11 Se V `e un K-spazio vettoriale di dimensione finita n > 0, allora V ∼= Kn.
Teorema 1.12 Siano V e W K-spazi vettoriali, sia V f.g. e sia B = (v1, . . . , vn) una sua base;
siano w1, . . . , wn vettori di W . Allora esiste un’unica applicazione lineare f : V → W tale che
f (vi) = wi, i = 1, . . . , n (∗)
Dimostrazione ∃): ∀v ∈ V , siano a1, . . . , an∈ K tali che v =Paivi; poniamo f (Xaivi) :=Xaiwi
La f cos`ı definita `e lineare: ∀v, v0 ∈ V , v =Paivi, v0 =Pbivi, ∀a, b ∈ K, si ha:
f (av + bv0) = f (aXaivi+ bXbivi) = f (X(aai+ bbi)vi) =
=X(aai+ bbi)wi= aXaiwi+ bXbiwi = af (v) + bf (v0)
!): Siano f, g applicazioni lineari tali che f (vi) = wi, g(vi) = wi i = 1, . . . , n; allora ∀v ∈ V , v =Paivi, si ha:
f (v) = f (Xaivi) =
|{z}
f lineare
Xaif (vi) =Xaiwi=Xaig(vi) =
|{z}
g lineare
g(Xaivi) = g(v)
Notazione 1.13 Nelle notazioni di Teorema 1.12 diciamo che l’applicazione lineare f `e ottenuta estendendo per linearit`a le (∗)
Esempio 1.14 L’applicazione definita in 1.8 `e ottenuta estendendo per linearit`a le ei7→ vi. Teorema 1.15 Sia f : V → W lineare. Allora valgono le seguenti affermazioni:
a) Se v1, . . . , vn∈ V sono l.d., allora f (v1), . . . , f (vn) sono l.d.
b) Se U `e sottospazio di V , allora f (U ) := {f (u) | u ∈ U } `e sottospazio di W . c) Se T `e sottospazio di W , allora f−1(T ) := {v ∈ V | f (v) ∈ T } `e sottospazio di V .
Dimostrazione a) Per ipotesi esistono a1, . . . , an∈ K non tutti 0 tali che: a1v1+ . . . + anvn= 0;
allora
0 = f (a1v1+ . . . + anvn) = a1f (v1) + . . . + anf (vn) b) ∀a, b ∈ K, ∀w, w0∈ f (U ), esistono u, u0 tali che w = f (u), w0 = f (u0), e quindi:
aw + bw0 = af (u) + bf (u0) = f (au + bu0
| {z }
∈U
) ∈ f (U )
c) ∀a, b ∈ K, ∀v, v0 ∈ f−1(T ), si ha f (v), f (v0) ∈ T , e quindi:
f (av + bv0) = af (v) + bf (v0) ∈ T ⇒ av + bv0 ∈ f−1(T ) d) Si ha
f (U ) = {w ∈ W | ∃u ∈ U, w = f (u)} =
= {w ∈ W | ∃a1, . . . , an∈ K, w = f (a1u1+ . . . + anun) = a1f (u1) + . . . + anf (un)} =
=< f (u1), . . . , f (un) >
Proposizione-Definizione 1.16 Sia f : V → W lineare. Il nucleo di f `e il nucleo di f come morfismo dei gruppi additivi:
Kerf := {v ∈ V, f (v) = 0}
e l’immagine di f `e l’immagine insiemistica di f :
Imf := f (V ) = {w ∈ W, ∃v ∈ V, w = f (v)}.
Si ha che Kerf `e un sottospazio di V , e Imf `e un sottospazio di W . Inoltre:
per definizione f `e suriettiva se e solo se Imf = W ; f `e iniettiva se e solo se Kerf = {0};
se (v1, . . . , vn) sono generatori per V , Imf =< f (v1), . . . , f (vn) >.
Dimostrazione Kerf = f−1(< 0 >) e Imf = f (V ) sono sottospazi rispettivamente di V e W per Teorema 1.15.
f iniettiva ⇒ Kerf = {0} `e ovvio; viceversa, sia Kerf = {0}; allora f (v) = f (v0) ⇒ f (v − v0) = 0 ⇒ v − v0∈ Kerf ⇒ v = v0.
Proposizione 1.17 Siano V e W K-spazi vettorali f.g., f : V → W un isomorfismo, v1, . . . , vn∈ V , e U ⊆ V , T ⊆ W sottospazi. Allora si ha:
a) v1, . . . , vn generatori per V ⇐⇒ f (v1), . . . , f (vn) generatori per W ; b) v1, . . . , vn l.i. ⇐⇒ f (v1), . . . , f (vn) l.i.;
c) (v1, . . . , vn) base per V ⇐⇒ (f (v1), . . . , f (vn)) base per W ; d) dimV = dimW ;
e) dimU = dimf (U ), dimT = dimf−1(T ).
Dimostrazione a) segue da Teorema 1.15 d); b) segue da Teorema 1.15 a); c) segue da a)+b); d) segue da c); e) si vede cos`ı: f (U ) e f−1(T ) sono sottospazi per Teorema 1.15, e le applicazioni:
f|U|f (U ): U → f (U )
v 7→ f (v), f−1 |f
−1(T )
|T : T → f−1(T )
w 7→ f−1(w)
sono lineari e biettive, quindi isomorfismi di spazi vettoriali, e si conclude usando d).
Proposizione-Definizione 1.18 Sia V di dimensione finita n, B base per V , e siano v1, . . . , vk∈ V , di coordinate rispetto a B:
v1 = (v11, . . . , vn1)B, . . . , vk= (v1k, . . . , vnk)B. Allora
rg(v1, . . . , vk) := dim < v1, . . . , vk >= rg
v11 . . . v1k
. . . vn1 . . . vnk
Dimostrazione Consideriamo l’isomorfismo che associa ad ogni vettore v ∈ V , v = (a1, . . . , an)B, le sue coordinate rispetto alla base B (vedi 1.9):
φB : V → Kn
v 7→ (a1, . . . , an) allora φB(vi) = (v1i, . . . , vni); per Prop. 1.17 e),
dim < v1, . . . , vk>= dim < (v11, . . . , vn1), . . . , (v1k, . . . , vnk) >= rg
v11 . . . v1k vn1 . . . vnk
.
Teorema 1.19 Sia f : V → W lineare, e sia V f.g.. Allora Kerf e Imf hanno dimensione finita e si ha:
dimV = dim Kerf + dim Imf
Dimostrazione Poich´e Kerf `e un sottospazio di V , anche Kerf `e f.g.; sia quindi (v1, . . . , vs) una sua base, e completiamola ad una base (v1, . . . , vs, vs+1, . . . , vn) di V .
Basta quindi provare dim Imf = n − s; facciamo vedere che f (vs+1), . . . , f (vn) `e una base per Imf :
f (vs+1), . . . , f (vn) sono generatori: Imf =< f (v1)
| {z }
=0
, . . . , f (vs)
| {z }
=0
, f (vs+1), . . . , f (vn) >
f (vs+1), . . . , f (vn) sono l.i.: siano as+1, . . . , an∈ K tali che:
0 = as+1f (vs+1) + . . . + anf (vn) = f (as+1vs+1+ . . . + anvn) ⇒ as+1vs+1+ . . . + anvn∈ Kerf
⇒ ∃a1, . . . , astali che as+1vs+1+ . . . + anvn= a1v1+ . . . + asvs⇒ a1v1+ . . . + asvs− as+1vs+1− . . . − anvn= 0 ⇒
|{z}
v1,...,vnl.i.
a1 = . . . = an= 0
Definizione 1.20 Sia f : V → W lineare, sia V f.g., e sia (v1, . . . , vn) una base per V ; si chiama rango di f l’intero
rg(f ) := dim Imf = rg(f (v1), . . . , f (vn))
Corollario 1.21 Siano V, W spazi vettoriali f.g. con dimV = dimW = n, e sia f : V → W lineare. Sono equivalenti:
a) Kerf =< 0 >
b) Imf = W c) f isomorfismo.
Dimostrazione c) ⇒ a) e c) ⇒ b) sono ovvi.
a) ⇒ c) : da Teorema 1.19 si ha
dimV = 0 + dim Imf ⇒ dim Imf = n ⇒ Imf = W quindi f `e 1 − 1 e su, cio´e f isomorfismo; b) ⇒ c) `e analogo.
Teorema 1.22 Due K-spazi vettoriali V e W f.g. sono isomorfi se e solo se dimV = dimW . Dimostrazione Prop. 1.17 dice che V ∼= W ⇒ dimV = dimW . Viceversa:
dimV = dimW = n ⇒
|{z}
1.11
V ∼= Kn, W ∼= Kn ⇒
|{z}
1.6
V ∼= W.
Esempio 1.23 Siano V e W K-spazi vettoriali con dimV = dimW , e siano B = (v1, . . . , vn), C = (w1, . . . , wn) basi rispettivamente per V e W . Per costruire un isomorfismo tra V e W basta considerare l’applicazione lineare (vedi 1.12):
f : V → W
v1 7→ w1 ... ... ... vn 7→ wn
che `e un isomorfismo; infatti Imf =< f (v1), . . . , f (vn) >=< w1, . . . , wn>= W . Esempio 1.24 Consideriamo l’applicazione lineare:
g : M2(R) → R4
a b c d
7→ (a, b, c, d)
Kerg =< 0 >, quindi per Cor. 1.21 `e un isomorfismo di R-spazi vettoriali; si ha dimM2(R) = dimR4 = 4.
Quindi i sottospazi di M2(R) sono tutti e soli i sottoinsiemi di M2(R) della forma {
a b c d
∈ M2(R), h1(a, b, c, d) = 0, . . . hs(a, b, c, d) = 0, hi lineare omogeneo}
Per esempio,
U := {
e un sottospazio di dimensione 2, perch´e rg
1 −1 2 0
3 1 0 0
= 2, quindi il sottospazio di R4 g(U ) = {(a, b, c, d) ∈R4| a − b + 2c = 0, 3a + b = 0} ha dimensione 2.
Esempio 1.25 Consideriamo l’applicazione lineare:
f : M2(R) → M2(R)
Ci chiediamo se f `e un isomorfismo; studiamo ad esempio il nucleo di f :
Kerf = {
Se vogliamo conoscere una base di Imf , possiamo fare ad esempio cos`ı: utilizziamo l’isomorfismo g visto nell’esempio precedente; allora
Imf = {
Osservazione 1.26 Dalle precedenti proposizioni ed esempi si capisce che la filosofia `e questa:
per ogni questione attinente all’algebra lineare si pu`o sostituire V con W se se V e W sono spazi vettoriali isomorfi.
Adesso che abbiamo definito le applicazioni lineari, passiamo a studiare gli insiemi di applicazioni lineari, che come vedremo hanno anch’essi una struttura di K-spazio vettoriale.
Definizione 1.27 Siano V, W K-spazi vettoriali; poniamo:
Hom(V, W ) := {f, f : V → W lineare}
End(V ) := Hom(V, V ) = {f, f : V → V lineare}
V∗:= Hom(V, K) = {f, f : V → K lineare}
Proposizione-Definizione 1.28 Siano V e W due K-spazi vettoriali; per ogni f, g ∈ Hom(V, W ), per ogni λ ∈ K, definiamo le applicazioni lineari f + g e λf cos`ı:
f + g : V → W
v 7→ f (v) + g(v)
λf : V → W
v 7→ λf (v) Questo d`a due operazioni somma e prodotto per scalari:
+ : Hom(V, W ) × Hom(V, W ) → Hom(V, W )
(f, g) 7→ f + g
· : K × Hom(V, W ) → Hom(V, W )
(λ, f ) 7→ λf
che rendono Hom(V, W ) un K-spazio vettoriale.
Dimostrazione Basta verificare che le operazioni sono ben definite, cio´e che f +g e λf sono lineari, e che Hom(V, W ) verifica le propriet`a richieste ad un K-spazio vettoriale (esercizio).
Notiamo che, in particolare, lo 0 di Hom(V, W ) `e l’applicazione nulla:
0 : V → W
v 7→ 0
Osservazione 1.29 In particolare quindi, End(V ) e V∗ sono K-spazi vettoriali; V∗ `e detto lo spazio duale di V .
Si osservi che GL(V ) non `e un K-spazio vettoriale con queste operazioni: per esempio, se f ∈ GL(V ), anche −f ∈ GL(V ), ma f − f = 0 /∈ GL(V ).