Appunti per Geometria 1 - secondo modulo

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Appunti per Geometria 1 - secondo modulo

Monica Id`a November 5, 2017

1 Applicazioni lineari

1.1 Le prime definizioni

Nel seguito K denota un campo fissato.

Definizione 1.1 Siano V , W due K-spazi vettoriali; una applicazione f : V → W `e detta lineare se ∀v, v⁰∈ V , ∀a, b ∈ K, si ha:

f (av + bv⁰) = af (v) + bf (v⁰)

Osserviamo che, in particolare, f (0) = f (0v) = 0f (v) = 0.

Nel seguito la frase: “ Sia f : V → W lineare” sottointende che V e W sono spazi vettoriali su uno stesso campo.

Osservazione 1.2 Ricordiamo che se V `e un K-spazio vettoriale, (V, +) `e un gruppo abeliano;

quindi una applicazione lineare f : V → W `e un morfismo dei gruppi additivi che soddisfi la condizione f (av) = af (v) ∀v ∈ V , ∀a ∈ K.

Esempi 1.3 Sono lineari le seguenti applicazioni:

1) f : _R → _R

x 7→ 3x

2) g : _R² → _R²

(x, y) 7→ (x + y, 3x − y)

3) d : _R[x] → _R[x]

a0+ a1x + . . . + anxⁿ 7→ a1+ 2a2x + . . . + nanxⁿ⁻¹ 4) f : M₂(_R) → M₂(_R)

a b c d

7→

a − d b

c 0

Esempi 1.4 Non sono lineari le seguenti applicazioni:

1) g : R² → _R²

(x, y) 7→ (1 + x, y)

2) f : _R → _R

x 7→ x²

Infatti: in 1) g(0) 6= 0; in 2) f (1 + 2) = 9, f (1) + f (2) = 5.

Definizione 1.5 Siano V , W due K-spazi vettoriali.

Una applicazione lineare f : V → V `e detta endomorfismo di V .

Una applicazione lineare e biettiva f : V → W `e detta isomorfismo (di spazi vettoriali). Se esiste un isomorfismo f : V → W , scriviamo V ∼= W .

Un isomorfismo f : V → V `e detto automorfismo di V .

(4)

Proposizione 1.6 a) Siano V, W, U K-spazi vettoriali e f : V → W , g : W → U applicazioni lineari. Allora g ◦ f : V → U `e lineare.

b) Sia f : V → W un isomorfismo. Allora l’applicazione inversa f⁻¹ `e lineare e quindi `e un isomorfismo.

c) Si ha: V ∼= V ; V ∼= W ⇒ W ∼= V ;

V ∼= W, W ∼= U ⇒ V ∼= U .

Dimostrazione a) ∀a, b ∈ K, ∀v, v⁰ ∈ V , si ha:

(g◦f )(av+bv⁰) = g(f (av+bv⁰)) = g(af (v)+bf (v⁰)) = ag(f (v))+b(g(f (v⁰)) = a(g◦f )(v)+b(g◦f )(v⁰).

b) La f⁻¹ : W → V esiste perch´e f `e biettiva. Siano w, w⁰ ∈ W , a, b ∈ K; allora esistono, e sono unici, v, v⁰ ∈ V tali che f (v) = w, f (v⁰) = w⁰, e si ha

f⁻¹(aw + bw⁰) = f⁻¹(af (v) + bf (v⁰)) = f⁻¹(f (av + bv⁰)) = av + bv⁰ = af⁻¹(w) + bf⁻¹(w⁰)

c) L’identità su V è lineare e biettiva, quindi V ∼= V ;îd V ∼= W ⇒ W^f

f⁻¹

∼= V per il punto b);

V ∼= W, W^f

∼g

= U ⇒ V

g◦f∼= U per il punto a), tenendo conto che la composizione di due biezioni `e una biezione.

Notazione 1.7 Sia V un K-spazio vettoriale finitamente generato (d’ora in poi scriviamo f.g.), e sia B = (v1, . . . , vn) una base. Il vettore di coordinate (a1, . . . , an) rispetto alla base B verr`a denotato cos`ı:

(a₁, . . . , a_n)B := a₁v₁+ . . . + a_nv_n

Proposizione-Definizione 1.8 Sia V un K-spazio vettoriale f.g., e sia B = (v1, . . . , vn) una base.

L’applicazione:

ψB : Kⁿ → V

(a₁, . . . , a_n) 7→ (a₁, . . . , a_n)B

`

e un isomorfismo di K-spazi vettoriali, detto l’isomorfismo tra V e Kⁿdefinito dalla base B.

Dimostrazione Sappiamo che ψB `e biunivoca. Linearit`a:

ψB(a(a₁, . . . , a_n)+b(b₁, . . . , b_n)) = ψB((aa₁+bb₁, . . . , aa_n+bb_n)) = (aa₁+bb₁)v₁+. . .+(aa_n+bb_n)v_n=

= a(a₁v₁+ . . . + a_nv_n) + b(b₁v₁+ . . . b_nv_n) = aψB((a₁, . . . , a_n)) + bψB((b₁, . . . , b_n))

Notazione 1.9 Nel seguito denotiamo sempre con φB l’isomorfismo inverso di ψB, che associa ad ogni vettore v ∈ V , v = (a₁, . . . , a_n)B, le sue coordinate rispetto alla base B:

φB : V → Kⁿ

v 7→ (a₁, . . . , a_n)

(5)

Esempi 1.10 1) Se V = Kⁿ e E = (e₁, . . . , e_n) `e la base canonica, ∀(a₁, . . . , a_n) ∈ Kⁿ si ha (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)E, quindi ψE = idKⁿ.

2) Siano v1 = (1, 2), v2 = (3, 1) ∈ R²; allora B = (v1, v2) `e una base per R². Consideriamo ad esempio il vettore v = (0, 5); si ha v = 3v₁− v₂, quindi v = (3, −1)B e φB(v) = (3, −1).

Abbiamo quindi dimostrato il:

Teorema 1.11 Se V `e un K-spazio vettoriale di dimensione finita n > 0, allora V ∼= Kⁿ.

Teorema 1.12 Siano V e W K-spazi vettoriali, sia V f.g. e sia B = (v₁, . . . , v_n) una sua base;

siano w₁, . . . , w_n vettori di W . Allora esiste un’unica applicazione lineare f : V → W tale che

f (v_i) = w_i, i = 1, . . . , n (∗)

Dimostrazione ∃): ∀v ∈ V , siano a₁, . . . , a_n∈ K tali che v =^Pa_iv_i; poniamo f (^Xaivi) :=^Xaiwi

La f cos`ı definita `e lineare: ∀v, v⁰ ∈ V , v =^Paivi, v⁰ =^Pbivi, ∀a, b ∈ K, si ha:

f (av + bv⁰) = f (a^Xa_iv_i+ b^Xb_iv_i) = f (^X(aa_i+ bb_i)v_i) =

=^X(aai+ bbi)wi= a^Xaiwi+ b^Xbiwi = af (v) + bf (v⁰)

!): Siano f, g applicazioni lineari tali che f (v_i) = w_i, g(v_i) = w_i i = 1, . . . , n; allora ∀v ∈ V , v =^Paivi, si ha:

f (v) = f (^Xaivi) =

|{z}

f lineare

Xaif (vi) =^Xaiwi=^Xaig(vi) =

|{z}

g lineare

g(^Xaivi) = g(v)

Notazione 1.13 Nelle notazioni di Teorema 1.12 diciamo che l’applicazione lineare f `e ottenuta estendendo per linearit`a le (∗)

Esempio 1.14 L’applicazione definita in 1.8 `e ottenuta estendendo per linearit`a le ei7→ v_i. Teorema 1.15 Sia f : V → W lineare. Allora valgono le seguenti affermazioni:

a) Se v1, . . . , vn∈ V sono l.d., allora f (v₁), . . . , f (vn) sono l.d.

b) Se U è sottospazio di V , allora f (U ) := {f (u) | u ∈ U } è sottospazio di W . c) Se T è sottospazio di W , allora f⁻¹(T ) := {v ∈ V | f (v) ∈ T } è sottospazio di V .

(6)

Dimostrazione a) Per ipotesi esistono a₁, . . . , a_n∈ K non tutti 0 tali che: a₁v₁+ . . . + a_nv_n= 0;

allora

0 = f (a₁v₁+ . . . + a_nv_n) = a₁f (v₁) + . . . + a_nf (v_n) b) ∀a, b ∈ K, ∀w, w⁰∈ f (U ), esistono u, u⁰ tali che w = f (u), w⁰ = f (u⁰), e quindi:

aw + bw⁰ = af (u) + bf (u⁰) = f (au + bu⁰

| {z }

∈U

) ∈ f (U )

c) ∀a, b ∈ K, ∀v, v⁰ ∈ f⁻¹(T ), si ha f (v), f (v⁰) ∈ T , e quindi:

f (av + bv⁰) = af (v) + bf (v⁰) ∈ T ⇒ av + bv⁰ ∈ f⁻¹(T ) d) Si ha

f (U ) = {w ∈ W | ∃u ∈ U, w = f (u)} =

= {w ∈ W | ∃a1, . . . , an∈ K, w = f (a₁u1+ . . . + anun) = a1f (u1) + . . . + anf (un)} =

=< f (u₁), . . . , f (u_n) >

Proposizione-Definizione 1.16 Sia f : V → W lineare. Il nucleo di f `e il nucleo di f come morfismo dei gruppi additivi:

Kerf := {v ∈ V, f (v) = 0}

e l’immagine di f `e l’immagine insiemistica di f :

Imf := f (V ) = {w ∈ W, ∃v ∈ V, w = f (v)}.

Si ha che Kerf `e un sottospazio di V , e Imf `e un sottospazio di W . Inoltre:

per definizione f `e suriettiva se e solo se Imf = W ; f `e iniettiva se e solo se Kerf = {0};

se (v₁, . . . , v_n) sono generatori per V , Imf =< f (v₁), . . . , f (v_n) >.

Dimostrazione Kerf = f⁻¹(< 0 >) e Imf = f (V ) sono sottospazi rispettivamente di V e W per Teorema 1.15.

f iniettiva ⇒ Kerf = {0} `e ovvio; viceversa, sia Kerf = {0}; allora f (v) = f (v⁰) ⇒ f (v − v⁰) = 0 ⇒ v − v⁰∈ Kerf ⇒ v = v⁰.

Proposizione 1.17 Siano V e W K-spazi vettorali f.g., f : V → W un isomorfismo, v₁, . . . , v_n∈ V , e U ⊆ V , T ⊆ W sottospazi. Allora si ha:

a) v1, . . . , vn generatori per V ⇐⇒ f (v1), . . . , f (vn) generatori per W ; b) v₁, . . . , v_n l.i. ⇐⇒ f (v₁), . . . , f (v_n) l.i.;

c) (v₁, . . . , v_n) base per V ⇐⇒ (f (v₁), . . . , f (v_n)) base per W ; d) dimV = dimW ;

e) dimU = dimf (U ), dimT = dimf⁻¹(T ).

(7)

Dimostrazione a) segue da Teorema 1.15 d); b) segue da Teorema 1.15 a); c) segue da a)+b); d) segue da c); e) si vede cos`ı: f (U ) e f⁻¹(T ) sono sottospazi per Teorema 1.15, e le applicazioni:

f_|U^{|f (U )}: U → f (U )

v 7→ f (v), f^{−1 |f}

−1(T )

|T : T → f⁻¹(T )

w 7→ f⁻¹(w)

sono lineari e biettive, quindi isomorfismi di spazi vettoriali, e si conclude usando d).

Proposizione-Definizione 1.18 Sia V di dimensione finita n, B base per V , e siano v1, . . . , vk∈ V , di coordinate rispetto a B:

v1 = (v11, . . . , vn1)B, . . . , vk= (v1k, . . . , vnk)B. Allora

rg(v1, . . . , v_k) := dim < v1, . . . , v_k >= rg





v11 . . . v1k

. . . v_n1 . . . v_nk





Dimostrazione Consideriamo l’isomorfismo che associa ad ogni vettore v ∈ V , v = (a1, . . . , an)B, le sue coordinate rispetto alla base B (vedi 1.9):

φB : V → Kⁿ

v 7→ (a1, . . . , an) allora φB(v_i) = (v_1i, . . . , v_ni); per Prop. 1.17 e),

dim < v1, . . . , vk>= dim < (v11, . . . , vn1), . . . , (v1k, . . . , vnk) >= rg

v₁₁ . . . v_1k vn1 . . . v_nk

.

Teorema 1.19 Sia f : V → W lineare, e sia V f.g.. Allora Kerf e Imf hanno dimensione finita e si ha:

dimV = dim Kerf + dim Imf

Dimostrazione Poiché Kerf è un sottospazio di V , anche Kerf è f.g.; sia quindi (v₁, . . . , v_s) una sua base, e completiamola ad una base (v1, . . . , vs, vs+1, . . . , vn) di V .

Basta quindi provare dim Imf = n − s; facciamo vedere che f (vs+1), . . . , f (vn) `e una base per Imf :

f (vs+1), . . . , f (vn) sono generatori: Imf =< f (v1)

| {z }

=0

, . . . , f (vs)

| {z }

=0

, f (vs+1), . . . , f (vn) >

f (vs+1), . . . , f (vn) sono l.i.: siano as+1, . . . , an∈ K tali che:

0 = as+1f (vs+1) + . . . + anf (vn) = f (as+1vs+1+ . . . + anvn) ⇒ as+1vs+1+ . . . + anvn∈ Kerf

⇒ ∃a₁, . . . , a_stali che a_s+1v_s+1+ . . . + a_nv_n= a₁v₁+ . . . + a_sv_s⇒ a₁v₁+ . . . + a_sv_s− a_s+1v_s+1− . . . − a_nv_n= 0 ⇒

|{z}

v1,...,vnl.i.

a₁ = . . . = a_n= 0

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Definizione 1.20 Sia f : V → W lineare, sia V f.g., e sia (v₁, . . . , v_n) una base per V ; si chiama rango di f l’intero

rg(f ) := dim Imf = rg(f (v₁), . . . , f (v_n))

Corollario 1.21 Siano V, W spazi vettoriali f.g. con dimV = dimW = n, e sia f : V → W lineare. Sono equivalenti:

a) Kerf =< 0 >

b) Imf = W c) f isomorfismo.

Dimostrazione c) ⇒ a) e c) ⇒ b) sono ovvi.

a) ⇒ c) : da Teorema 1.19 si ha

dimV = 0 + dim Imf ⇒ dim Imf = n ⇒ Imf = W quindi f è 1 − 1 e su, cioé f isomorfismo; b) ⇒ c) è analogo.

Teorema 1.22 Due K-spazi vettoriali V e W f.g. sono isomorfi se e solo se dimV = dimW . Dimostrazione Prop. 1.17 dice che V ∼= W ⇒ dimV = dimW . Viceversa:

dimV = dimW = n ⇒

|{z}

1.11

V ∼= Kⁿ, W ∼= Kⁿ ⇒

|{z}

1.6

V ∼= W.

Esempio 1.23 Siano V e W K-spazi vettoriali con dimV = dimW , e siano B = (v₁, . . . , v_n), C = (w₁, . . . , w_n) basi rispettivamente per V e W . Per costruire un isomorfismo tra V e W basta considerare l’applicazione lineare (vedi 1.12):

f : V → W

v₁ 7→ w₁ ... ... ... vn 7→ wn

che `e un isomorfismo; infatti Imf =< f (v1), . . . , f (vn) >=< w1, . . . , wn>= W . Esempio 1.24 Consideriamo l’applicazione lineare:

g : M₂(_R) → _R⁴

a b c d

7→ (a, b, c, d)

Kerg =< 0 >, quindi per Cor. 1.21 `e un isomorfismo di _R-spazi vettoriali; si ha dimM₂(_R) = dimR⁴ = 4.

Quindi i sottospazi di M2(R) sono tutti e soli i sottoinsiemi di M2(R) della forma {

a b c d

∈ M₂(_R), h₁(a, b, c, d) = 0, . . . h_s(a, b, c, d) = 0, h_i lineare omogeneo}

Per esempio,

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U := {

a b c d

∈ M₂(R), a − b + 2c = 0, 3a + b = 0} = {

a −3a

−2a d

, a, d ∈R}

`

e un sottospazio di dimensione 2, perch´e rg

1 −1 2 0

3 1 0 0

= 2, quindi il sottospazio di _R⁴ g(U ) = {(a, b, c, d) ∈R⁴| a − b + 2c = 0, 3a + b = 0} ha dimensione 2.

Esempio 1.25 Consideriamo l’applicazione lineare:

f : M₂(_R) → M₂(_R)

a b c d

7→

a − d b

c 0

Ci chiediamo se f `e un isomorfismo; studiamo ad esempio il nucleo di f :

Kerf = {

a b c d

∈ M₂(_R), a − d = 0, b = 0, c = 0} = {

a 0 0 a

, a ∈_R} =< I₂>6= 0 quindi f non `e un isomorfismo, e dimKerf = 1 ⇒ dimImf = 3.

Se vogliamo conoscere una base di Imf , possiamo fare ad esempio cos`ı: utilizziamo l’isomorfismo g visto nell’esempio precedente; allora

Imf = {

a − d b

c 0

∈ M₂(_R), a, b, c, d ∈_R} ⇒ g(Imf ) = {(a − d, b, c, 0) ∈_R⁴, a, b, c, d ∈_R} e si ha

{(a − d, b, c, 0) ∈_R⁴, a, b, c, d ∈R} = {(a − d)(1, 0, 0, 0) + b(0, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0), a, b, c, d ∈_R} =

=< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >

essendo i vettori e₁, e₂, e₃ l.i., essi formano una base per g(Imf ), quindi una base per Imf `e data da:

(

1 0 0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 1 0

)

Osservazione 1.26 Dalle precedenti proposizioni ed esempi si capisce che la filosofia `e questa:

per ogni questione attinente all’algebra lineare si pu`o sostituire V con W se se V e W sono spazi vettoriali isomorfi.

Adesso che abbiamo definito le applicazioni lineari, passiamo a studiare gli insiemi di applicazioni lineari, che come vedremo hanno anch’essi una struttura di K-spazio vettoriale.

Definizione 1.27 Siano V, W K-spazi vettoriali; poniamo:

Hom(V, W ) := {f, f : V → W lineare}

End(V ) := Hom(V, V ) = {f, f : V → V lineare}

V^∗:= Hom(V, K) = {f, f : V → K lineare}

(10)

Proposizione-Definizione 1.28 Siano V e W due K-spazi vettoriali; per ogni f, g ∈ Hom(V, W ), per ogni λ ∈ K, definiamo le applicazioni lineari f + g e λf cos`ı:

f + g : V → W

v 7→ f (v) + g(v)

λf : V → W

v 7→ λf (v) Questo d`a due operazioni somma e prodotto per scalari:

+ : Hom(V, W ) × Hom(V, W ) → Hom(V, W )

(f, g) 7→ f + g

· : K × Hom(V, W ) → Hom(V, W )

(λ, f ) 7→ λf

che rendono Hom(V, W ) un K-spazio vettoriale.

Dimostrazione Basta verificare che le operazioni sono ben definite, cio´e che f +g e λf sono lineari, e che Hom(V, W ) verifica le propriet`a richieste ad un K-spazio vettoriale (esercizio).

Notiamo che, in particolare, lo 0 di Hom(V, W ) `e l’applicazione nulla:

0 : V → W

v 7→ 0

Osservazione 1.29 In particolare quindi, End(V ) e V^∗ sono K-spazi vettoriali; V^∗ `e detto lo spazio duale di V .

Si osservi che GL(V ) non `e un K-spazio vettoriale con queste operazioni: per esempio, se f ∈ GL(V ), anche −f ∈ GL(V ), ma f − f = 0 /∈ GL(V ).

1.2 La dualit`a

Proposizione-Definizione 1.30 Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia B = (v1, . . . , vn) una base di V . Per i = 1, . . . , n sia ηi: V → K l’applicazione lineare cos`ı definita:

ηi(vj) :=

( 0 se i 6= j 1 se i = j

Allora B^∗= (η1, . . . , ηn) `e una base per V^∗, detta la base duale di B.

In particolare, dimV = dimV^∗ e quindi V ∼= V^∗. Dimostrazione Le η_i sono ben definite (1.12).

Proviamo V^∗ =< η₁, . . . , η_n>:

sia f ∈ V^∗; allora risulta f = f (v1)η1+. . .+f (vn)ηn, infatti queste due applicazioni lineari prendono gli stessi valori sui vettori della base B:

(f (v1)η1+ . . . + f (vn)ηn)(vi) = f (v1)η1(vi) + . . . + f (vn)ηn(vi) = f (vi)ηi(vi) = f (vi) i = 1, . . . , n Proviamo η1, . . . , ηn l.i.: se a1, . . . , an∈ K, e a₁η1. . . + anηn= 0, si ha:

a_i = (a₁η₁. . . + a_nη_n)(v_i) = 0(v_i) = 0 i = 1, . . . , n

(11)

Osservazione 1.31 Nelle notazioni precedenti, per quanto visto nella dimostrazione, se f ∈ V^∗ si ha:

f = (f (v₁), . . . , f (v_n))B^∗

cio´e le coordinate di una applicazione lineare f : V → K rispetto alla base duale di B sono i suoi valori sui vettori di B.

Osservazione 1.32 Nelle notazioni precedenti, si ha η_i((x₁, . . . , x_n)B) = x_i

infatti ηi((x1, . . . , xn)B) = ηi(x1v1+ . . . + xnvn) = x1ηi(v1) + . . . + xnηi(vn) = xi, cio´e l’applicazione lineare ηi : V → K associa ad un vettore la sua i-esima coordinata rispetto alla base B.

Quindi, se a1, . . . , an, b1, . . . , bn∈ K, si ha:

(a1η1+ . . . + anηn)(b1v1+ . . . + bnvn) = a1b1+ . . . + anbn.

Esempi 1.33 a) Sia V = _R³, sia E = (e₁, e₂, e₃) la base canonica e sia E^∗ = (ε₁, ε₂, ε₃) la base duale; allora

ε₁((x, y, z)) = x, ε₂((x, y, z)) = y, ε₃((x, y, z)) = z Consideriamo l’applicazione lineare

f : _R³ → _R

(x, y, z) 7→ 2x + z

allora f (e₁) = 2, f (e₂) = 0, f (e₃) = 1, quindi in V^∗ si ha f = (2, 0, 1)E^∗ = 2ε₁+ ε₃. b) Sia V =R³, con la base B = (1, 1, 1)

| {z }

v1

, (1, 0, 1)

| {z }

v2

, (0, 0, 2)

| {z }

v3

, e sia B^∗= (η1, η2, η3) la base duale. Allora se v = (5, 2, 7), si ha v = 2v₁+ 3v₂+ v₃, da cui per esempio

(3η1− η₂+ 2η3)(v) = (3η1− η₂+ 2η3)(2v1+ 3v2+ v3) = 3 · 2 + (−1) · 3 + 2 · 1 = 5

Definizione 1.34 Sia V un K-spazio vettoriale; lo spazio vettoriale (V^∗)^∗`e detto lo spazio biduale di V , e viene denotato con V^∗∗.

Osservazione 1.35 Se V ha dimensione finita n, allora V ∼= V^∗ ∼= V^∗∗

e dimV = dimV^∗∗ per 1.30.

Sia B = (v1, . . . , vn) una base di V , e sia B^∗ = (η1, . . . , ηn); allora un possibile isomorfismo `e dato da (vedi 1.23):

φ : V → V^∗ v₁ 7→ η₁ ... ... ... v_n 7→ η_n

(12)

Esempio 1.36 Sia V =_R², sia E = (e₁, e₂) la base canonica e sia E^∗ = (ε₁, ε₂) la base duale; sia v2 = (1, 1) e consideriamo anche la base B = (e1, v2), e la sua duale B^∗ = (η1, η2).

Osserviamo che ε1 6= η₁, infatti per esempio:

ε1(e2) = 0, η1(e2) = η1(−e1+ v2) = −1.

Consideriamo i due isomorfismi

φ : V → V^∗ e1 7→ ε1

e₂ 7→ ε₂

ψ : V → V^∗ e1 7→ η1

v₂ 7→ η₂ Si ha

φ(e₁) = ε₁ 6= η₁ = ψ(e₁) ⇒ φ 6= ψ.

Teorema 1.37 Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita; esiste un isomorfismo canonico (nel senso che dipende solo da V , e non dalla scelta di una base di V ):

β : V →^∼⁼ V^∗∗

v 7→ v^∗∗

dove v^∗∗: V^∗ → K

f 7→ f (v)

Dimostrazione - β è ben definita perché v^∗∗: V^∗ → K è lineare, infatti:

v^∗∗(af + bg) = (af + bg)(v) = af (v) + bg(v) = av^∗∗(f ) + bv^∗∗(g), ∀a, b ∈ K, ∀f, g ∈ V^∗ - β `e lineare:

β(av + bw) = (av + bw)^{∗∗ ?}= aβ(v) + bβ(w) = av^∗∗+ bw^∗∗ ∀a, b ∈ K, ∀v, w ∈ V Questo `e vero poich´e si ha, ∀f ∈ V^∗:

(av + bw)^∗∗(f ) = f (av + bw) = af (v) + bf (w) = av^∗∗(f ) + bw^∗∗(f ) = (av^∗∗+ bw^∗∗)(f ) - β `e 1 − 1 perch´e Kerβ =< 0 >, infatti:

v ∈ Kerβ ⇐⇒ v^∗∗= 0 ⇐⇒ v^∗∗(f ) = 0 ∀f ∈ V^∗ ⇐⇒ f (v) = 0 ∀f ∈ V^∗ ⇐⇒ v = 0^(♥) proviamo (♥):

se v = 0 ⇒ f (v) = 0 ∀f ∈ V^∗ `e banalmente vero; viceversa, supponiamo f (v) = 0 ∀f ∈ V^∗ e v 6= 0, e completiamo v ad una base (v, v2, . . . , vn) di V ; allora l’applicazione lineare

f : V → K

v 7→ 1

v₂ 7→ 0 ... ... ... vn 7→ 0 non si annulla in v, contraddizione.

- β è su perché è una applicazione lineare 1 − 1 tra spazi vettoriali f.g. della stessa dimensione.

(13)

1.3 Applicazioni lineari e matrici

Definizione 1.38 Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g., e siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W .

Sia f : V → W una applicazione lineare; la matrice s × n la cui i-esima colonna `e data dalle coordinate del vettore f (v_i) rispetto alla base C si chiama la matrice associata ad f rispetto alle basi B nel dominio e C nel codominio, e si denota con MC,B(f ):

MC,B(f ) =







a11 . . . a1n

... ... ... as1 . . . asn







dove

f (v_i) = a_1iw₁+ . . . + a_siw_s= (a_1i, . . . , a_si)C

Proposizione 1.39 Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g., siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W , e sia f : V → W una applicazione lineare.

Allora se v = (x₁, . . . , x_n)B e f (v) = (y₁, . . . , y_s)C, risulta:





 y₁

... ys





 = MC,B(f )





 x1

... xn







Dimostrazione Sia

MC,B(f ) =







a11 . . . a1n

... ... ... as1 . . . asn





. Allora

f (v) = f (x1v1+ . . . + xnvn) = x1f (v1) + . . . + xnf (vn) =

= x1(a11w1+. . .+as1ws)+. . .+xn(a1nw1+. . .+asnws) = (a11x1+. . .+a1nxn)w1+. . .+(as1x1+. . .+asnxn)ws

cio´e







y₁= a₁₁x₁+ . . . + a_1nx_n ...

y_s= a_s1x₁+ . . . + a_snx_n

(∗)

Le (∗) si possono scrivere in forma matriciale cos`ı:





 y₁

... ys





 =







a₁₁ . . . a_1n ... ... ... a_s1 . . . a_sn











 x₁

... x_n





 (∗∗)

(14)

Definizione 1.40 Le (∗) o equivalentemente le (∗∗) vengono dette le equazioni della f rispetto alle basi B nel dominio e C nel codominio.

Ponendo X :=





 x1

... xn





, Y :=





 y₁

... y_s





, le (∗∗) si scrivono:

Y = MC,B(f ) X Esempio 1.41 Consideriamo l’applicazione lineare:

f : R² → _R² e₁ 7→ (1, 3) e2 7→ (−2, 7) quindi f agisce sul generico vettore (x, y) ∈_R² cos`ı:

f ((x, y)) = f (xe₁+ ye₂) = xf (e₁) + yf (e₂) = x(1, 3) + y(−2, 7) = (x − 2y, 3x + 7y) e si ha

ME,E(f ) =

1 −2

3 7

Siano v1= (1, 1), v2 = (2, −1); poich´e det

1 2 1 −1

6= 0, v₁, v2sono l.i.; sia B = (v1, v2); cerchiamo ME,B(f ). Si ha:

f (v₁) = f ((1, 1)) = (−1, 10), f (v₂) = f ((2, −1)) = (4, −1) per cui

ME,B(f ) =

−1 4 10 −1

Quindi se v = (1, 3)B, si ha f (v) = (11, 7) perch´e

−1 4 10 −1

1 3

=

11 7

Definizione 1.42 Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g. e siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W . Sia A = (aij) ∈ Ms,n(K); si dice applicazione lineare associata ad A rispetto alle basi B nel dominio e C nel codominio l’applicazione, che si verifica essere lineare,

F^C,B(A) : V → W

(x1, . . . , xn)B 7→ (y1, . . . , ys)C

dove 



 y1

... ys





 = A





 x₁

... x_n







cio´e F^C,B(A)(v_i) := a_1iw₁+ . . . + a_siw_s.

(15)

Proposizione 1.43 Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g. e siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W . L’applicazione

MC,B: Hom(V, W ) → M_s,n(K) f 7→ MC,B(f )

`

e un isomorfismo di K-spazi vettoriali, con inversa

F^C,B : M_s,n(K) → Hom(V, W )

A 7→ F^C,B(A)

In particolare, dimHom(V, W ) = ns.

Dimostrazione - linearit`a di MC,B: bisogna provare che ∀f, g ∈ Hom(V, W ), ∀a, b ∈ K, MC,B(af + bg) = aMC,B(f ) + bMC,B(g)

questo `e vero perch´e vale (af + bg)(v_i) = af (v_i) + bg(v_i), quindi queste uguaglianze si mantengono scrivendo i vettori in coordinate rispetto a C; basta ora ricordare la definizione di somma di due matrici e di prodotto di uno scalare per una matrice.

- biettivit`a di MC,B: risulta dalla definizione

MC,B(F^C,B(A)) = A ∀A ∈ M_s,n(K),

F^C,B(MC,B(f )) = f ∀f ∈ Hom(V, W ) Quindi MC,B `e biettiva con inversa F^C,B.

Osservazione 1.44 Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g., siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W , e sia f : V → W una applicazione lineare.

Da 1.39 si ha che le coordinate di f (v) rispetto a C si scrivono come polinomi lineari omogenei nelle coordinate di v rispetto a B; infatti, come visto nella dimostrazione di 1.39, se v = (x₁, . . . , x_n)B, f (v) = (y1, . . . , ys)C, e MC,B(f ) =







a₁₁ . . . a_1n ... ... ... a_s1 . . . a_sn





, si ha:







y₁= a₁₁x₁+ . . . + a_1nx_n ...

ys= as1x1+ . . . + asnxn

(∗)

Viceversa, si verifica facilmente che se f : V → W `e una applicazione tale che le coordinate di f (v) rispetto a C si scrivono come polinomi lineari omogenei nelle coordinate di v rispetto a B, cio´e una applicazione della forma:

f : V → W

(x1, . . . , xn)B 7→ (b11x1+ . . . + b1nxn, . . . , bs1x1+ . . . + bsnxn)C

dove i b_ij ∈ K, allora f `e lineare. Infatti, posto

B :=







b₁₁ . . . b_1n ... ... ...







(16)

basta osservare che si ha

f = F^C,B(B).

Siamo quindi in grado di riconoscere subito se una applicazione data mediante le coordinate sia lineare o meno, e di scrivere facilmente esempi di applicazioni lineari.

Proposizione 1.45 Siano U , V , W K-spazi vettoriali f.g. di basi rispettivamente A = (u1, . . . , ut), B = (v₁, . . . , v_n), C = (w₁, . . . , w_s). Siano g : U → V e f : V → W applicazioni lineari. Allora

MC,A(f ◦ g) = MC,B(f )MB,A(g) dove il prodotto tra matrici `e il prodotto righe per colonne.

Dimostrazione

g f

U → V → W

A B C

Siano

u = (z1, . . . , zt)A, v = g(u) = (x1, . . . , xn)B, w = f (v) = f (g(u)) = (y1, . . . , ys)C

allora





 y₁

... y_s





 = MC,B(f )





 x1

... xn





 = MC,B(f )





MB,A(g)





 z1

... zt











 = (MC,B(f )MB,A(g))





 z1

... zt







Osservazione 1.46 a) Siano V , W due K-spazi vettoriali f.g., siano B = (v₁, . . . , v_n) base per V , C = (w₁, . . . , ws) base per W , e sia f : V → W una applicazione lineare; poniamo

A := MC,B(f ) =







a11 . . . a1n

... ... ... as1 . . . asn





. Allora si ha

Kerf = {(x₁, . . . , x_n)B∈ V | A





 x1

... xn





= 0}, Imf =< (a₁₁. . . a_s1)C, . . . , (a_1n. . . a_sn)C>

Ne segue

rg(f ) = dim Imf = rg(f (v1), . . . , f (vn)) = rg(A), e

dimKerf = n − rg(A).

b) Nelle notazioni precedenti supponiamo inoltre dimW = dimV = n. Da a) segue:

f isomorfismo ⇐⇒ MC,B(f ) ∈ GLn(K) ()

(17)

Notazione 1.47 Sia V uno spazio vettoriale f.g., sia B = (v₁, . . . , v_n) una base di V , sia f ∈ End(V ) e sia A ∈ Mn(K). Poniamo:

MB(f ) := MB,B(f ) (detta la matrice di f rispetto a B)

F^B(A) := F^B,B(A) (detto l’endomorfismo di V associato ad A rispetto a B)

Proposizione 1.48 Sia V uno spazio vettoriale f.g., sia B = (v₁, . . . , v_n) una base di V e sia f ∈ End(V ). Allora valgono i seguenti fatti:

f = idV ⇐⇒ M_B(f ) = In; f ∈ GL(V ) ⇐⇒ MB(f ) ∈ GLn(K);

se f ∈ GL(V ) o equivalentemente se MB(f ) ∈ GL_n(K), allora MB(f⁻¹) = MB(f )⁻¹.

Osserviamo che se B e C sono due basi, allora MC,B(idV) 6= In ⇐⇒ B 6= C.

Dimostrazione La prima affermazione segue dalla definizione di matrice associata, la seconda `e un caso particolare di 1.46 b), la terza si vede cos`ı:

f ◦ f⁻¹ = idV ⇐⇒ MB(f ◦ f⁻¹) = In ⇐⇒ MB(f )MB(f⁻¹) = In. Corollario 1.49 Nelle notazioni precedenti, l’isomorfismo di K-spazi vettoriali

MB : End(V ) → Mn(K) f 7→ MB(f )

`

e anche un isomorfismo di anelli, prendendo come operazioni su End(V ) la somma usuale e la composizione di funzioni come prodotto, e su M_n(K) la somma usuale e il prodotto righe per colonne.

Dimostrazione Essendo un isomorfismo di spazi vettoriali lo `e in particolare di gruppi additivi;

poiché per 1.45 MB(f ◦ g) = MB(f )MB(g), e MB(id_V) = I_n, è anche un morfismo di anelli, dunque essendo biettiva è un isomorfismo.

Definizione 1.50 Sia V un K-spazio vettoriale f.g. e siano B = (v₁, . . . , v_n), C = (w₁, . . . , w_n) due sue basi.

La matrice MC,B(id_V) `e detta la matrice del cambiamento di coordinate dalla base B alla base C, o anche la matrice del cambiamento di base da B a C; si ha

MC,B(id_V) =







v₁₁ . . . v_1n ... ... ... v_n1 . . . v_nn







dove la colonna i-esima `e formata dalle coordinate di v_i rispetto alla base C.

Risulta, se v = (x1, . . . , xn)B = (y1, . . . , yn)C:





 y₁

...





 = MC,B(id_V)





 x1

...







(18)

Proposizione 1.51 Nelle notazioni di 1.50 si ha

MC,B(id_V)⁻¹= MB,C(id_V) Dimostrazione

MC,B(id_V)MB,C(id_V) = MC,C(id_V) = I_n, MB,C(id_V)MC,B(id_V) = MB,B(id_V) = I_n.

(19)

1.4 Equazioni di un sottospazio vettoriale

Nel seguito sono fissate le seguenti notazioni: V `e un K-spazio vettoriale, dimV = n, B = (v₁, .., v_n)

`

e una base per V .

E facile provare le seguenti affermazioni:`

(equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale)

a) Siano M =







m₁₁ . . . m_1n ... ... m_s1 . . . m_sn





∈ M_s,n(K), X =





 x₁

... x_n





, 0 =





 0... 0





. Allora

W := {(x₁, .., x_n)B ∈ V | M X = 0}

`

e un sottospazio vettoriale di dimensione n − r(M ).

b) Sia W un sottospazio vettoriale di dimensione t; allora esiste un sistema lineare omogeneo M X = 0 di rango n − t in n incognite tale che

W = {(x1, .., xn)B ∈ V | M X = 0}.

Si dice che M X = 0 `e un sistema di equazioni cartesiane di W rispetto alla base B.

Dunque, un sottospazio vettoriale di dimensione t pu`o venire rappresentato da n − t equazioni indipendenti, cio´e come intersezione di n − t iperpiani.

Si osservi che le equazioni cartesiane non sono univocamente determinate: tutti e soli i sistemi lineari equivalenti a M X = 0 danno equazioni cartesiane per W rispetto a B.

(equazioni parametriche di un sottospazio vettoriale) a) Date espressioni della forma:







x₁ = b₁₁λ₁+ ... + b_1sλ_s ...

x_n= b_n1λ₁+ ... + b_nsλ_s λ₁, ..., λ_s∈ K,

l’insieme W := {(x1, .., xn)B ∈ V | ∃λ₁, ..., λs ∈ K, x_i = bi1λ1 + ... + bisλs, i = 1, .., n} `e il sottospazio vettoriale di dimensione r(b_ij):

W =< (b11, .., bn1)B, .., (b1s, .., bns)B > .

b) Sia W =< w1, ..., ws> un sottospazio vettoriale di V , con w1= (b11, .., bn1)B, .., ws= (b1s, .., bns)B. Allora W si pu`o descrivere come l’insieme dei vettori (x₁, .., x_n)B tali che esistono λ₁, ..., λ_s ∈ K tali che:







x1 = b11λ1+ ... + b1sλs

...

x_n= b_n1λ₁+ ... + b_nsλ_s, λ₁, ..., λ_s∈ K,

(∗)

(20)





 x₁

... x_n





= λ1





 b₁₁

... b_n1





+ . . . + λs





 b_1s

... b_ns







Si dice che le (∗) sono un sistema di equazioni parametriche di W rispetto ad B, e λ1, ..., λssono detti parametri; si ha dimW = r(bij).

Dunque un sottospazio vettoriale di dimensione t pu`o venire rappresentato con esattamente t parametri; basta scegliere i generatori wiin modo che siano linearmente indipendenti. Si osservi che le equazioni parametriche non sono univocamente determinate: cambiando sistema di generatori per W si hanno altre equazioni parametriche.

Osservazione a) Sia W un sottospazio vettoriale di dimensione t e di equazioni cartesiane M X = 0 rispetto a B (sarà quindi r(M ) = n − t); per passare ad equazioni parametriche sempre rispetto a B basta scrivere la soluzione generale del sistema che dipenderà da t incognite libere, cioè da t parametri.

b) Sia W un sottospazio vettoriale di dimensione t e di equazioni parametriche (∗) rispetto a B;

per passare ad equazioni cartesiane sempre rispetto a B basta imporre

r





x₁ b₁₁ . . . b_1s ...

x_n b_n1 . . . b_ns



= t

scegliemdo un minore non nullo di ordine t della matrice (b_ij), ed imponendo che i suoi orlati di ordine t + 1 siano tutti nulli..

(21)

2 Autovalori ed autovettori

Iniziamo richiamando qualcosa sulle somme dirette di sottospazi:

Proposizione 2.1 Sia V un K-spazio vettoriale, siano E1, . . . , Es sottospazi di V di dimensione finita, e sia n_j := dimE_j > 0, j = 1, . . . , s. Sono equivalenti:

a) E1+ . . . + Es `e somma diretta;

b) Se Bj = (vj,1, . . . , vj,nj) `e base per Ej, j = 1, . . . , s, allora

B = (v_1,1, . . . , v1,n1, . . . , vs,1, . . . , vs,ns)

`

e base per E₁+ . . . + E_s (in altre parole, gli insiemi B₁, . . . , B_s sono a due a due disgiunti, e la loro unione dotata di un ordine `e una base per E1+ . . . + Es);

c) dim(E₁+ . . . + E_s) = dimE₁+ . . . + dimE_s.

Avremo anche bisogno di qualche richiamo sulle radici di un polinomio.

2.1 Radici di un polinomio

Lavoriamo con polinomi a coefficienti in un campo K; K[x] denota l’anello di tali polinomi.

Per maggiori dettagli e per le dimostrazioni si rimanda per esempio alle Note di Algebra 2:

http://www.dm.unibo.it/ ida/tutto11-12-14.pdf

Definizione 2.2 Sia f = a₀+ a₁x + . . . + a_nxⁿ un polinomio a coefficienti in K; diciamo che un elemento u di K `e una radice, o uno zero, di f se f (u) = a0 + a1u + . . . + anuⁿ = 0 (se cio´e la funzione polinomiale associata ad f si annulla in u).

Definizione 2.3 Siano f, g ∈ K[x]; diciamo che g divide f e scriviamo g | f se esiste un polinomio h tale che f = gh.

Proposizione 2.4 Sia K campo, u ∈ K, f ∈ K[x]; allora x − u | f ⇐⇒ f (u) = 0

Definizione 2.5 Sia K campo, u ∈ K, f ∈ K[x], f 6= 0; la molteplicit`a µ(u) di u come radice di f `e l’unico intero m ∈_Ntale che

f = (x − u)^mg, g(u) 6= 0 Si dimostra che la definizione `e ben posta e che si ha

µ(u) = max{k ∈_N, (x − u)^k| f } Quindi se µ(u) = 0 allora f (u) 6= 0.

Una radice semplice, risp. multipla, di f `e una radice di molteplicit`a 1, risp. > 1.

Proposizione 2.6 Sia K campo, f ∈ K[x], f di grado n (cio´e f = a0+a1x+. . .+anxⁿcon an6= 0);

allora se u1, . . . , u_k sono le radici (a due a due distinte) di f in K, si ha µ(u1) + . . . + µ(u_k) ≤ n.

Se µ(u₁) + . . . + µ(u_k) = n, diciamo che f ha n radici contate con molteplicit`a in K, e in tal caso f fattorizza nel prodotto di n fattori lineari:

µ(u )· . . . · (x − u ^µ(u ⁾

(22)

Esempio 2.7 a) Sia f = x²− 6x − 5; se pensiamo ad f come polinomio reale, le radici in_Rsono 3 ±√

9 + 5 cio´e u1= 3 +√

14, u2 = 3 −√

14. Quindi x − u1| f e x − u₂| f ; `e facile verificare che x²− 6x − 5 = (x − (3 +√

14))(x − (3 −√ 14))

D’altra parte f ha coefficienti interi, quindi in Q, ma le sue radici non stanno in Q, quindi come polinomio razionale f non si fattorizza in fattori lineari.

b) Sia f = 2x²− 6x − 3; se pensiamo ad f come polinomio reale, le radici in _R sono ^3±

√9+6 2 cio´e u1 = ³⁺

√ 15

2 , u2 = ³⁻

√ 15

2 . Quindi x − u1| f e x − u₂| f ; `e facile verificare che 2x²− 6x − 3 = 2(x − 3 +√

15

2 )(x −3 −√ 15 2 ).

La differenza con il caso precedente è che x²− 6x − 5 è un polinomio monico, cioé con coefficiente direttore = 1, mentre 2x²− 6x − 3 ha coefficiente direttore = 2.

2.2 Matrici simili - Endomorfimi diagonalizzabili

In questa sessione V denota sempre un K-spazio vettoriale, se di dimensione finita o no verr`a pre- cisato di volta in volta, e id denota id_V, mentre I denota la matrice identit`a dell’ordine opportuno.

Proposizione 2.8 Sia dimV = n, A, B basi per V , f ∈ EndV . Si ha:

MA(f ) = MB,A(id)⁻¹MB(f ) MB,A(id) Dimostrazione

id f id

V → V → V → V

A B B A

Dato che id ◦ f ◦ id = f , per 1.45 si ha:

MA(f ) = MA,A(id ◦ f ◦ id) = MA,B(id) MB,B(f ) MB,A(id) = MB,A(id)⁻¹MB(f ) MB,A(id)

Corollario 2.9 Nelle notazioni di 2.8, si ha

detMA(f ) = detMB(f ) Dimostrazione Per il Teorema di Binet si ha:

detMA(f ) = detMB,A(id)⁻¹ detMB(f ) detMB,A(id) = (det (MB,A(id)))⁻¹ detMB(f ) detMB,A(id) Definizione 2.10 Sia V f.g., B una sua base e sia f ∈ EndV . Poniamo

detf := detMB(f ).

Si osservi che la definizione `e ben posta grazie a 2.9

(23)

Definizione 2.11 Due matrici A, B ∈ M_n(K) si dicono simili se esiste P ∈ GL_n(K) tale che B = P⁻¹AP

Osservazione 2.12 La similitudine `e una relazione di equivalenza in M_n(K). Infatti:

- A = I_n⁻¹AIn

- B = P⁻¹AP ⇒ P BP⁻¹ = A ⇒ A = (P⁻¹)⁻¹BP⁻¹

- B = P⁻¹AP, C = Q⁻¹BQ ⇒ C = Q⁻¹(P⁻¹AP )Q = (P Q)⁻¹A(P Q) dove P, Q sono invertibili, quindi anche P⁻¹ e P Q lo sono.

Proposizione 2.13 Sia dimV = n, e siano A, B ∈ Mn(K). Allora A e B sono simili ⇐⇒

rappresentano uno stesso endomorfismo di V rispetto a due basi diverse. Pi`u precisamente, A, B simili ⇐⇒ ∃f ∈ EndV, C, D basi di V tali che A = MC(f ), B = MD(f ) Dimostrazione ⇐) : segue da 2.8

⇒) : Sia P = (p_ij) ∈ GL_n(K) tale che B = P⁻¹AP . Sia C = (v₁, . . . , v_n) una base arbitraria e sia f = F^C(A). Sia D = (w1, . . . , wn) la base di V tale che le coordinate di wi rispetto a C siano la colonna i-esima di P : w_i = (p_1i, . . . , p_ni)C. Allora P = MC,D(id), e si ha:

B = (MC,D(id))⁻¹MC(f )MC,D(id) =

|{z}

P rop.2.8

MD(f )

Definizione 2.14 Una matrice A ∈ Mn(K) si dice diagonalizzabile (abbreviato in dz) se `e simile ad una matrice diagonale.

Diagonalizzare una matrice A ∈ M_n(K) che sia dz vuol dire trovare una P ∈ GL_n(K) tale che P⁻¹AP sia diagonale.

Sia dimV = n; un endomorfismo f ∈ EndV si dice diagonalizzabile se esiste una base B di V tale che MB(f ) sia una matrice diagonale; in tal caso, B si dice base diagonalizzante.

Per Prop. 4.35, f è dz ⇐⇒ se C è una qualsiasi base di V , MC(f ) è dz.

Osservazione 2.15 Se f `e dz e B = (v1, . . . , vn) `e una base diagonalizzante, si ha

MB(f ) =







λ1 0 . . . 0 ... . .. ... ... . .. ... 0 0 . . . λ_n







e quindi

f (v₁) = λ₁v₁, . . . , f (v_n) = λ_nv_n.

Viceversa, se f è tale che esista una base B = (v₁, . . . , v_n) con f (v₁) = λ₁v₁, . . . , f (v_n) = λ_nv_n, allora f è dz e B è base diagonalizzante.

Appunti per Geometria 1 - secondo modulo