Una proposta didattica con l’uso di Geogebra e i fogli di calcolo
3.3 Problema di Monty Hall con l’uso di Geo gebra e i fogli di calcolo
Nell’ultima fase, si introduce nella versione classica il problema di Monty Hall, come è stato fatto nel sottoparagrafo 1.1.2:
Ci sono tre porte. Dietro una porta c’è un auto e dietro ciascuna delle altre porte c’è una capra. Una volta che il giocatore ha selezionato una porta, il conduttore che sa cosa c’è dietro ogni porta, ne apre un’altra che contiene la capra. A questo punto, gli viene data la possibilità di cambiare la porta che ha scelto. Tu cosa faresti?
Successivamente si mostra una versione del gioco attraverso una simula- zione con Geogebra. Vedere figura in basso.
Il pulsante Avvia permette l’animazione all’interno delle porte e fa resettare il gioco, invece i pulsanti dove c’è scritto Porta i con i= 1, 2, 3 permettono di scegliere una porta. Quando viene premuto uno dei tre pulsanti, gli altri due spariranno e l’animazione si bloccherà, dunque le figure all’interno delle porte si fermerà, inoltre comparirà un ulteriore pulsante. Vedere l’immagine sottostante.
Premendo il pulsante Porta aperta dal conduttore verrà aperta una delle porte non scelte che contiene un forziere vuoto, inoltre al click tale pulsante sparirà e comparranno sotto il pulsante scelto e quello rimanente. Vedere immagine sotto.
Infine, si decide se cambiare o tenere la porta e una volta premuto uno dei pulsanti si aprirà la porta corrispettiva e si vedrà se la porta era quella vincente o meno.
Durante la simulazione è consigliato chiedere agli studenti cosa sceglierebbe- ro. Successivamente, si mostra una simulazione del problema di Monty Hall con 100 prove tramite un foglio di calcolo. Vedere sotto.
Nella colonna vera viene rappresentata la porta con il premio, nella scelta invece viene messo sempre il valore 1 per semplice convenzione, nella colonna aperta è semplicemente la porta aperta dal conduttore senza premio e diversa da quella scelta, nella cambio è la porta rimanente, nella colonna prima viene indicato se si vinceva o perdeva tenendo la porta, mentre nella dopo viene indicato se si vinceva o perdeva cambiando la porta, infine nella cella Tengo c’è la frequenza relativa alla vittoria tenendo la porta, mentre nella cella Cambio c’è la frequenza relativa alla vittoria cambiando la porta.
Il numero di prove è sufficiente perché la strategia di cambiare la por- ta in 100 prove può essere modellizzato come una distribuzione binomiale B(100,2
3). Nell’immagine sottostante, possiamo vedere che
Dopo queste constatazioni, si può concludere proponendo la soluzione al problema di Monty Hall quando si decide di cambiare la porta.
Consideriamo i seguenti eventi:
• F = "Il giocatore seleziona la porta contenente il forziere pieno"; • V = "Il giocatore seleziona la porta contenente il forziere vuoto"; • T = "Il giocatore vince il tesoro".
Calcoliamo P(T ). Poiché F ∩ V = ∅ e T = (T ∩ F ) ∪ (T ∩ V ) abbiamo P(T ) = P(T ∩ F ) + P(T ∩ V ) = P(T |F )P(F ) + P(T |V )P(V ). Sappiamo che P(F ) = 13 e P(V ) = 23 mentre la possibilità di vincere è, se il giocatore cambia la porta, allora P(T |F ) = 0 e P(T |V ) = 1, dunque P(T ) = 23.
Capitolo 4
Conclusioni
Come sostenuto in precedenza, l’utilizzo dei software può essere fondamen- tale per l’apprendimento e per l’insegnamento in classe, in quanto da un lato permette di rendere l’argomento più interessante e coinvolgente, dall’altro facilita il docente nella spiegazione successiva, poiché, a mio avviso, durante la visualizzazione di un software dinamico avviene una stimolazione a livello cognitivo. Inoltre, attraverso i software è possibile realizzare delle simulazioni che permettono di confutare o, al contrario, di confermare una possibile so- luzione, attraverso un approccio maggiormente empirico alla risoluzione dei problemi probabilistici.
Un altro aspetto da sottolineare è che la parte relativa al paradosso di Monty Hall ha uno scopo di approfondimento. Nonostante il problema sia semplice da esporre, la sua risoluzione è abbastanza complessa, essendo di natura controintuitiva. Dunque, la fase relativa al problema di Monty Hall potrebbe essere vista piuttosto come un approfondimento soprattutto per gli studenti didatticamente più preparati.
Uno dei punti deboli del seguente lavoro è legato al fatto che tale propo- sta è, al momento, solamente teorica, non essendoci ancora alcun riscontro pratico. Da questo punto di vista, va sottolineato, a mio avviso, anche un altro aspetto importante: il contesto entro il quale dovrebbe essere inserita la suddetta proposta e il docente che la presenta alla classe giocano un ruolo fondamentale. Infatti, possiamo ottenere risultati differenti a seconda della scelta dell’insegnante. Se a presentarla è un professore esterno, diverso da chi segue quotidianamente la classe, uno studente potrebbe essere invogliato a impegnarsi maggiormente, essendo una novità, oppure in misura inferiore rispetto al normale perché non fa parte della continuità scolastica.
Infine, un ulteriore incentivo per utilizzare i software didattici come au- silio, possiamo trovarlo nel fatto che Geogebra, e soprattutto i fogli di cal- colo, sono presenti nel contesto scolastico, dunque ampliare il loro utilizzo e
sfruttare al meglio le loro potenzialità permetterebbe un arricchimento alla didattica scolastica.
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