Universit`
a degli Studi di Pisa
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Tesi di laurea magistrale
Introduzione della probabilit`
a condizionata
a scuola con l’uso di software didattici.
Utilizzo di Geogebra e fogli di calcolo per introdurre la probabilit`a condizionata
Candidato:
Potito Sgarro
Relatore:
Indice
1 La probabilità condizionata nella didattica 7 1.1 Conoscenza dei professori relativa alla probabilità condizionata 7 1.1.1 Difficoltà dei professori nell’insegnamento . . . 8 1.1.2 Preparazione degli insegnanti attraverso il problema di
Monty Hall . . . 11 1.2 Il ragionamento degli studenti . . . 15 1.3 Alcune difficoltà per l’apprendimento della probabilità
condi-zionata . . . 18 1.4 Una visione filosofica della probabilità condizionata . . . 21
2 L’utilizzo della tecnologia per l’insegnamento e
l’apprendi-mento della probabilità 23
2.1 Sviluppo delle nozioni di inferenza probabilistica attraverso Probability Explorer . . . 23 2.2 Conoscenza degli insegnanti riguardo all’utilizzo delle
simula-zioni in probabilità . . . 27 2.2.1 Utilizzo delle simulazioni per il paradosso dei
com-pleanni e il problema della scatola di cereali . . . 27 2.2.2 L’apprendimento della probabilità tramite le simulazioni 31 2.3 Insegnamento della probabilità basata sui giochi . . . 34 3 Una proposta didattica con l’uso di Geogebra e i fogli di
calcolo 39
3.1 Introduzione alla probabilità condizionata con i fogli Google . 39 3.2 Definizione di probabilità condizionata . . . 42 3.3 Problema di Monty Hall con l’uso di Geogebra e i fogli di calcolo 44
Introduzione
Le problematiche relative all’ambito della matematica sono sempre state pre-senti nello scenario di tale disciplina, sia per quanto riguarda l’apprendimen-to, sia per quanto riguarda l’insegnamento. Tuttavia, è necessario tenere presente che nel campo della probabilità e statistica ci sono state difficoltà ancora maggiori. Il MIUR, nel Decreto Ministeriale n. 254 del 2012, ha da-to delle indicazione nazionali per le programmazioni delle scuole del primo ciclo d’istruzione, ossia dalle scuole elementari alle scuole medie. Secondo il Ministero dell’Istruzione, infatti:
• Le conoscenze matematiche contribuiscono alla formazione cultu-rale delle persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in stretto rapporto il "pensare" e il "fare" e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, con-cetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a svi-luppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli al-tri. In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come mo-mento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, por-ta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. Nella scuola primaria si potrà uti-lizzare il gioco, che ha un ruolo cruciale nella comunicazione, nell’e-ducazione al rispetto di regole condivise, nell’elaborazione di strategie adatte a contesti diversi. La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico.
Ca-ratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o que-siti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dal-la discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo neces-sario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s’intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili stra-tegie risolutive. Nella scuola secondaria di primo grado si svilupperà un’attività più propriamente di matematizzazione, formalizzazione, ge-neralizzazione. L’alunno analizza le situazioni per tradurle in termini matematici, riconosce schemi ricorrenti, stabilisce analogie con modelli noti, sceglie le azioni da compiere (operazioni, costruzioni geometri-che, grafici, formalizzazioni, scrittura e risoluzione di equazioni, . . . ) e le concatena in modo efficace al fine di produrre una risoluzione del problema. Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i pro-cedimenti seguiti. L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer deve essere incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare il mondo dei numeri e delle forme. Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matema-tica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi pro-blemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo;
• La competenza matematica è l’abilità di sviluppare e applicare il pensiero matematico per risolvere una serie di problemi in situazio-ni quotidiane. Partendo da una solida padronanza delle competenze aritmetico-matematiche, l’accento è posto sugli aspetti del processo e dell’attività oltre che su quelli della conoscenza. La competenza mate-matica comporta, in misura variabile, la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e di presentazione (formule, modelli, schemi, grafici, rappresentazioni). Gli obiettivi di apprendimento al termine della quinta elementare per quanto concerne relazioni, dati e previsioni sono:
1) Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizza-re le rapputilizza-resentazioni per ricavautilizza-re informazioni, formulautilizza-re giudizi e prendere decisioni ;
2) Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se ade-guata alla tipologia dei dati a disposizione;
3) Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la strut-tura;
4) Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, vo-lumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime;
5) Passare da un’unità di misura a un’altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario;
6) In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantifica-zione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili ;
7) Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.
Mentre, gli obiettivi di apprendimento al termine della terza media per quanto riguarda dati e previsioni sono:
1) Rappresentare insiemi di dati, anche facendo uso di un foglio elettroni-co. In situazioni significative, confrontare dati al fine di prendere deci-sioni, utilizzando le distribuzioni delle frequenze e delle frequenze relati-ve. Scegliere ed utilizzare valori medi (moda, mediana, media aritmeti-ca) adeguati alla tipologia ed alle caratteristiche dei dati a disposizione. Saper valutare la variabilità di un insieme di dati determinandone, ad esempio, il campo di variazione;
2) In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, asse-gnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi elementari disgiunti ;
3) Riconoscere coppie di eventi complementari, incompatibili, indipenden-ti.
Per quanto riguarda, invece, i licei classico, scientifico, delle scienze umane, musicale e linguistico, il Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ri-cerca attraverso il Decreto Ministeriale n. 211 del 2010 ci dà delle linee guida generali:
Lo studente conoscerà i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in sé considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di semplici fenomeni, in particolare del mondo fisico. Egli saprà inquadrare le varie teorie matematiche studiate nel contesto storico entro cui si sono sviluppate e ne comprenderà il significato concettuale. Lo studente avrà acquisito una visione storico-critica dei rapporti tra le tematiche princi-pali del pensiero matematico e il contesto filosofico, scientifico e tecnologico. In particolare, avrà acquisito il senso e la portata dei tre principali momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: la matematica nel-la civiltà greca, il calcolo infinitesimale che nasce con nel-la rivoluzione scientifica del Seicento e che porta alla matematizzazione del mondo fisico, la svolta che prende le mosse dal razionalismo illuministico e che conduce alla formazione della matematica moderna e a un nuovo processo di matematizzazione che investe nuovi campi (tecnologia, scienze sociali, economiche, biologiche) e che ha cambiato il volto della conoscenza scientifica.
In particolare per quanto riguarda gli obiettivi di apprendimento del primo biennio nell’ambito di dati e previsioni :
Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri qualitativi, quan-titativi discreti e quanquan-titativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti. Lo studente apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.
Mentre, negli obiettivi di apprendimento del secondo biennio in previsioni e dati :
Lo studente, in ambiti via via più complessi, il cui studio sarà sviluppato il più possibile in collegamento con le altre discipline e in cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli studenti, saprà far uso delle distribuzioni doppie condizionate e marginali, dei concetti di deviazione standard, dipen-denza, correlazione e regressione, e di campione. Studierà la probabilità con-dizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché gli elementi di base del calcolo combinatorio.
Infine, negli obiettivi di apprendimento del quinto anno in previsioni e dati :
Lo studente apprenderà le caratteristiche di alcune distribuzioni di proba-bilità (in particolare, la distribuzione binomiale e qualche esempio di distri-buzione continua).
Tra le linee generali del DM n. 211 del 2010 emerge anche l’importanza delle tecnologie nell’ambito della didattica, infatti:
Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rap-presentare e manipolare oggetti matematici. L’insegnamento della matema-tica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline scientifiche. L’uso degli strumen-ti informastrumen-tici è una risorsa importante che sarà introdotta in modo cristrumen-tico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di pro-blemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale.
Nonostante le indicazioni del MIUR per quanto riguarda la probabilità e statistica, tuttavia, è importante sottolineare che la prassi posta in essere nell’ambito di tale disciplina è ben diversa, dal momento che il curriculum probabilistico all’interno della programmazione scolastica è stato inserito sol-tanto da pochi anni . Infatti, molto spesso, in ogni regione viene fatto un programma diverso; all’interno della stessa regione, nella stessa tipologia di scuole, la programmazione è diversa; e, infine, anche nella stessa scuola, in ogni classe viene affrontato, nella generalità dei casi, un programma diverso. I motivi possono essere di vario genere, per esempio molti professori non so-no abbastanza preparati nelle materie di probabilità e statistica, perché so-non hanno seguito dei corsi specifici inerenti a tale settore, oppure, ancora, per-ché tali concetti possono risultare piuttosto ostici da spiegare agli studenti. Questo lavoro nasce proprio dal fatto che, dal momento che l’insegnamento e l’apprendimento della probabilità, nonostante vi sia molta letteratura in merito, possono essere considerati campi quasi inesplorati per quanto riguar-da l’applicazione diriguar-dattica nelle scuole, sarebbe auspicabile implementare, a mio parere, l’utilizzo di software didattici per l’apprendimento dei concetti probabilistici e, nello specifico, della probabilità condizionata.
Capitolo 1
La probabilità condizionata nella
didattica
Questo capitolo riguarda i diversi approcci relativi al problema dell’insegna-mento e dell’apprendidell’insegna-mento della probabilità condizionata.
Nello specifico, verranno presi in considerazione alcuni lavori nei quali i partecipanti sono docenti e altri in cui i soggetti di studio sono gli studenti.
1.1
Conoscenza dei professori relativa alla
pro-babilità condizionata
Nonostante negli ultimi anni la ricerca sull’apprendimento relativa all’analisi dei dati e alla probabilità stia crescendo, c’è la necessità di uno studio che riguardi anche l’insegnamento. Sarebbe consigliabile, infatti, secondo alcuni autori, una miglior conoscenza dei contenuti, in modo tale da aiutare i docenti ad affrontare i problemi legati all’insegnamento.
Tra i vari argomenti che troviamo nei programmi delle scuole medie, quello che è stato ritenuto di maggior difficoltà per quanto riguarda l’insegnamento è l’ambito della probabilità e statistica. Molti degli insegnanti, infatti, non hanno seguito corsi di statistica e probabilità e alcuni, pur avendoli seguiti, non hanno ricevuto le conoscenze appropriate per insegnarla.
In questo paragrafo verranno esaminati fondamentalmente due aspetti: • La difficoltà che hanno i professori nell’insegnamento della probabilità
condizionata, in quanto considerata uno degli argomenti più ostici da insegnare;
1.1.1
Difficoltà dei professori nell’insegnamento
Il National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) ha raccomandato che gli studenti di età compresa tra i 14 e i 18 anni sappiano comprendere il concetto di probabilità condizionata. Affinché questo sia possibile, la forma-zione degli insegnanti può garantire che le programmazioni consigliate siano effettivamente emanate in classe.
Il lavoro di Randall E. Groth [1] ha l’obiettivo di creare un dialogo sul-la teoria e pratica delsul-la formazione degli insegnanti delle scuole medie per insegnare la probabilità condizionata. Ci si chiede, in via principale, qua-li difficoltà incontrano gqua-li insegnanti delle scuole medie nella costruzione di ambienti di apprendimento della probabilità condizionata.
Questo studio è stato in gran parte esplorativo ed è nato dal lavoro dell’au-tore con alcuni insegnanti delle scuole medie durante un progetto di sviluppo professionale negli Stati Uniti del medio atlantico.
Agli insegnanti è stato chiesto di scrivere delle lezioni relative ad alcuni concetti che trovavano difficili da insegnare. Per fare questo è stato utiliz-zato il formato delle 4 colonne di Curcio [2] per far sì che gli insegnanti potessero progettare proposte didattiche adatte agli studenti e permettere ai ricercatori di analizzare le conoscenze degli insegnanti sugli studenti e sul-la pedagogia. Le quattro colonne dovrebbero contenere le fasi procedurali da svolgere per completare la lezione, le principali attività di apprendimen-to, le difficoltà anticipate degli studenti durante la lezione e le osservazioni sull’insegnamento.
I partecipanti sono tre insegnanti di settimo grado, che nel sistema ame-ricano corrisponde alla nostra seconda media. Quest’ultimi avevano già col-laborato in precedenza sull’insegnamento della probabilità condizionale ma, ciononostante, lo ritenevano un argomento difficile da trattare.
Per indicare i tre insegnanti sono stati utilizzati gli pseudonimi Mark, Julie e Stephanie. Gli argomenti che hanno dovuto trattare per preparare le loro lezioni erano i seguenti:
1) Descrivere la differenza tra eventi dipendenti e indipendenti;
2) Determinare la probabilità di un evento composto formato da non più di due eventi indipendenti;
3) Determinare la probabilità di un secondo evento che dipende dal primo evento sapendo che entrambi sono equiprobabili.
Gli insegnanti hanno presentato ai ricercatori una lezione scritta in 4 colonne, fogli di lavoro, dispense per accompagnare le lezioni, presentazioni
su PowerPoint, video delle lezioni, riflessioni verbali sui punti di forza e di debolezza delle lezioni.
Mark, Julie e Stephanie hanno mostrato somiglianze e differenze nella stesura delle loro lezioni. Tuttavia, adesso ci focalizzeremo sul lavoro di Mark in quanto incentrato maggiormente sulla probabilità condizionata.
Il docente iniziava con una lezione di riepilogo che constava di cinque problemi che includevano diversi argomenti:
• Somma di numeri razionali; • Risoluzione di equazioni;
• Costruzione di un diagramma a scatola e baffi; • Interpretazione di un diagramma a dispersione; • Calcolo delle probabilità di un evento composto.
Questi esercizi servivano a ricordare agli studenti la matematica studia-ta in precedenza. Successivamente Mark ha fatto svolgere agli studenti il seguente gioco:
Ciascuno studente aveva un sacchetto di gettoni colorati. Ogni sacchetto conteneva 3 gettoni blu e 1 viola. Lo scopo del gioco era quello di scegliere due gettoni blu di fila. Ogni volta che un giocatore ne sceglieva due di fila riceveva un punto. Il giocatore, dopo aver preso un gettone dalla borsa, lo lasciava fuori e ne prendeva un altro. Gli studenti facevano 20 turni e alla fine vinceva chi aveva ottenuto più punti. Inoltre, ciascuno di loro aveva una tabella per segnare i punti.
Una domanda che Mark avrebbe potuto porre agli studenti sarebbe stata la seguente:
Estrarre un gettone alla volte fino a due ed estrarre due gettoni contem-poraneamente è la stessa cosa oppure no? Spiega brevemente la risposta. Con questa domanda ci sarebbe stata una possibilità in più di capire il ragionamento degli studenti.
Anche dichiarare correttamente i problemi è un aspetto molto importante negli ambienti di apprendimento incentrati sulla conoscenza.
Nei problemi di probabilità, solitamente, c’è la selezione casuale o la ge-nerazione di numeri casuali. I generatori casuali e i meccanismi di selezione variano in base al problema (dadi, carte, moneta, lotteria, eccetera). Un punto cruciale è proprio quello di specificare tali generatori o meccanismi, altrimenti lo studente interpreterebbe liberamente un problema.
Infatti, nel suo gioco Mark non aveva specificato che, dopo aver estrat-to due getestrat-toni, bisognava mescolare il sacchetestrat-to prima di estrarli nel round
successivo. In virtù di questa mancata specificazione, uno studente ha am-messo che, dopo aver inserito i gettoni, continuava a prendere sempre due blu perché sapeva dove li aveva posizionati nella borsa.
Dunque, la dimostrazione e la discussione mancanti del rimescolamento sembravano aver contrastato l’obiettivo di aiutare gli studenti a capire come le situazioni senza sostituzione illustrino la probabilità condizionata.
Un altro punto cruciale è l’uso del linguaggio, in quanto può essere un ostacolo per gli ambienti di apprendimento incentrati sulla conoscenza.
Mark, per esempio, aveva usato la parola risultati in modo ambiguo nel Problema della scelta della cena di ieri. Potevano scegliere tra Caesar salad e tossed salad, tra la marinara e Alfredo per la salsa degli spaghetti e, infine, avevano come opzione uno tra 4 dessert. Alla fine il docente ha chiesto agli studenti:
Quanti risultati avevo per cena?
Per come è posta la domanda uno studente avrebbe potuto rispondere uno, invece sarebbe stato più corretto:
In quanti modi avrei potuto scegliere la mia cena ieri?
Invece, quando si costruiscono ambienti di apprendimento incentrati sulla comunità, un aspetto da considerare, non trascurabile, è la prove-nienza culturale e religiosa di ogni studente.
Ci sono religioni che possono portare a non credere nella casualità o, ancora, ci può essere una cattiva disposizione degli studenti, per quanto ri-guarda l’utilizzo di esempi che prevedono i giochi d’azzardo, per via di alcune credenze.
Per costruire ambienti di apprendimento incentrati sulla valuta-zione, invece, è molto importante invogliare gli studenti a giustificare le proprie risposte.
I tre insegnanti, attraverso i loro modelli di discorso, non hanno avuto molte occasioni di imparare sul pensiero dei propri studenti. Le domande come e perché non sono state molto utilizzate, soprattutto da Julie e Stepha-nie. Mark poneva regolarmente tali domande, ma dopo aver dato le risposte ai problemi.
Il docente si aspettava, inoltre, brevi spiegazioni incentrate su parole chia-ve e frasi che indirizzavano gli studenti chia-verso la risposta attesa, tuttavia que-sto limitava molto le possibilità di fare chiarezza su quale fosse il pensiero dei ragazzi perché si verificava l’effetto Topaze1.
1Un effetto causato dal contratto didattico quando l’insegnante non ha un reale interesse
dell’apprendimento dello studente, piuttosto vuole che quest’ultimo emuli ciò che gli viene riferito.
Per la costruzione di ambienti di apprendimento incentrati sullo studente bisogna permettere che lo studente attivi le conoscenze di base necessarie. Gli alunni non devono contare tutti gli elementi dello spazio campione, ma piuttosto riconoscere che la sua composizione cambia in situa-zioni senza sostituzione. Possono fare confronti quantitativi informali tra il numero di elementi negli spazi campione prima di utilizzare le frazioni per calcolare le probabilità precise. Gli ambienti di apprendimento efficaci aiu-tano gli studenti ad affrontare situazioni extra-scolastiche. Da questo punto di vista Mark, Julie e Stephanie hanno strutturato i problemi in modo tale da non allontanarsi troppo dal contesto scolastico.
1.1.2
Preparazione degli insegnanti attraverso il
proble-ma di Monty Hall
La probabilità condizionata è stata inserita nel curriculum scolastico per via delle applicazioni nella vita quotidiana.
Questo concetto ci consente di cambiare il nostro grado di convinzione sugli eventi casuali mentre otteniamo nuove informazioni. Le conoscenze matematiche degli insegnanti sono fondamentali affinché possano utilizzare al meglio il materiale didattico.
Nella letteratura, diversi autori hanno analizzato le conoscenze necessarie agli insegnanti per ottenere risultati di insegnamento efficaci. Ad esempio, Hill e colleghi [3] hanno sviluppato la nozione di conoscenza matematica per l’insegnamento (MKT) al cui interno hanno distinto sei categorie principali: 1) Conoscenze dei contenuti comuni (CCK): le conoscenze matema-tiche condivise dalla maggior parte degli adulti istruiti che include le competenze di base e le conoscenze generali della materia;
2) Conoscenza specialistica dei contenuti (SCK): il modo in cui gli insegnanti padroneggiano la materia che supporta la loro attivi-tà nella pianificazione e gestione delle lezioni e nella valutazione delle conoscenze degli studenti;
3) Conoscenza dell’orizzonte matematico: una visione del più ampio panorama matematico che l’insegnamento richiede;
4) Conoscenza dei contenuti e degli studenti (KCS): include la conoscenza delle concezioni e delle idee sbagliate comuni degli studenti e delle loro strategie per risolvere compiti matematici specifici;
5) Conoscenza dei contenuti e dell’insegnamento (KCT): cono-scenze necessarie per la progettazione dell’istruzione, incluso come sce-gliere esempi e rappresentazioni e come guidare gli studenti verso idee matematiche accurate;
6) Conoscenza dei contenuti e del curriculum: come questi contenuti sono inclusi nel curriculum scolastico.
Prima che gli insegnanti abbiano le conoscenze necessarie per l’insegna-mento della probabilità condizionata, può essere molto utile che loro affron-tino le proprie intuizioni sbagliate e diano le loro soluzioni ai problemi pro-babilistici, dopodiché potranno condurre esperimenti attraverso simulazioni e infine verranno coinvolti in un’analisi didattica del problema.
Questa analisi può servire ad aiutare gli insegnanti ad acquisire nuove conoscenze sulle strategie degli studenti, sulle loro difficoltà e sui metodi per aiutarli a superare queste difficoltà. Nel lavoro di Batanero e colleghi [4] attraverso il paradosso di Monty Hall si punta proprio a questo.
Come è ampiamente risaputo, questo problema, affrontato molto in lette-ratura per le sue caratteristiche controintuitive, è noto grazie al programma televisivo Let’s Make a Deal tra il 1963 e il 1986 e ha ricevuto il nome del conduttore del gioco Monty Hall:
Ci sono tre porte. Dietro una porta c’è un auto e dietro ciascuna delle altre porte c’è una capra. Una volta che il giocatore ha selezionato una porta, il conduttore che sa cosa c’è dietro ogni porta, ne apre un’altra che contiene la capra. A questo punto, ti viene data la possibilità di cambiare la porta che hai scelto. Cosa faresti?
L’attività dovrebbe iniziare chiedendo ai partecipanti di risolvere il proble-ma e di decidere se il concorrente debba cambiare o meno la porta, oltre a giustificare le proprie risposte con un argomento probabilistico.
Di fronte a questo problema la maggior parte sceglie di non cambiare la porta. Apparentemente quando la porta con la capra viene aperta non è più presa in considerazione e le porte che rimangono danno la stessa probabilità di vittoria, tuttavia è possibile arrivare in maniera intuitiva alla soluzione. Vediamo adesso alcune soluzioni intuitive al paradosso di Monty Hall:
• Se non cambiamo la porta iniziale, abbiamo solo 1
3 di probabilità di
vincere la macchina e 23 di probabilità di prendere una capra. Sup-poniamo che, dopo aver visto l’altra porta con la capra, cambiamo la porta scelta inizialmente. Quindi la probabilità di vincere è uguale alla probabilità di aver inizialmente selezionato la porta senza premio, che è 23;
• Utilizziamo l’evento composto e un diagramma ad albero per aiutare gli insegnanti a inquadrare la situazione. Consideriamo innanzitutto l’evento A = "porta contenente il premio", successivamente un secon-do evento B = "porta scelta dal giocatore". Questi due eventi sono indipendenti. Il terzo evento è C = "porta aperta dal conduttore" che dipende dai due eventi precedenti. Per calcolare la probabilità di vin-cere quando non si cambia la porta, aggiungiamo le probabilità lungo tutti i rami. Ognuno di questi eventi composti ha una probabilità di 19, quindi la probabilità di vincere è 13.
Supponiamo di non cambiare porta. Se scegliamo una porta con una capra, il conduttore aprirà la porta con l’altra capra, quindi cambiando vinciamo. Per esempio, se l’auto è dietro la porta 1 e abbiamo scelto la porta 2, il conduttore aprirà la porta 3 e in questo modo cambiando con la porta 1 vinciamo l’auto. Questo evento ha probabilità 19 e similmente gli altri.
Invece, se scegliamo la porta con la macchina, il conduttore ci mostra una delle due porte con le capre. Ad esempio, abbiamo scelto la porta 1 con l’auto, il conduttore apre la porta 2 o 3, ciascuna con probabilità
1
18. Se cambiamo porta perdiamo con probabilità 1
9 e così per gli altri
casi. Alla fine la probabilità di vincere se cambiamo è 23, di perdere 13. Il diagramma sottostante rappresenta la soluzione intuitiva a questo problema.
Le soluzione intuitive di sopra, possono essere affrontate in maniera più formale. Consideriamo i seguenti eventi:
• C = "Il giocatore seleziona la porta contenete la capra"; • V = "Il giocatore vince l’auto".
Calcoliamo P(V ) per due diversi tipi di giocate, ossia quella in cui si cambia la porta e quella in cui non la cambia. Poiché A ∩ C = ∅ e V = (V ∩ A) ∪ (V ∩C) abbiamo P(V ) = P(V ∩A)+P(V ∩C) = P(V |A)P(A)+P(V |C)P(C). Sappiamo che P(A) = 13 e P(C) =
2
3 mentre la possibilità di vincere è:
1) Se il giocatore non cambia la sua scelta iniziale P(V |C) = 0 e P(V |A) = 1, pertanto P(V ) = 1
3;
2) Se il giocatore cambia la porta, allora P(V |A) = 0 e P(V |C) = 1, dunque P(V ) = 23.
A differenza delle soluzioni precedenti, possiamo, tramite una simulazione con qualche software. ottenere una soluzione empirica. Tuttavia, per fare questo è necessario che si facciano almeno 100 prove altrimenti non si riesce a stimare la probabilità teorica.
Oltre a considerare alcune tra le possibili soluzioni corrette, è molto importante l’analisi del ragionamento errato.
Tale analisi dovrebbe far parte della conoscenza dei contenuti di proba-bilità degli insegnanti. Di conseguenza, quando si lavora con il problema di Monty Hall in un corso rivolto agli insegnanti, le soluzioni degli insegnanti stessi possono aiutare ad aumentare il loro KCS.
Una soluzione errata può essere proposta quando non si percepisce la dipendenza di azioni successive. Il risolutore non comprende la struttura dell’evento composto o attribuisce una proprietà errata. Precisamente, in questo caso chi risolve il problema non percepisce in che modo la porta aperta dal conduttore dipenda dalla porta selezionata dal concorrente.
Un’altra fonte di errore è un’enumerazione incompleta dello spazio campione. Per esempio, possiamo intuitivamente credere che, dopo l’apertu-ra di una porta con una capl’apertu-ra, questa porta non vada più considel’apertu-rata nel calcolo delle probabilità. Di conseguenza, ci sono due possibilità, pertanto la possibilità di vincere o di perdere è 12, non fa alcuna differenza cambiare la porta.
Il fallimento di questo tipo di ragionamento, sta nel fatto che non si considera la porta aperta dal conduttore, questa scelta dipenderà dalla selezione del concorrente, pertanto lo spazio campione nella seconda fase è diverso in base a cosa è stato scelto nella prima fase:
1) Se il giocatore all’inizio sceglie la porta con l’auto, il conduttore può aprire una delle porte rimanenti, quindi la probabilità di aprire una delle due è 12;
2) Se il giocatore all’inizio sceglie la porta con una capra, il conduttore è costretto a scegliere l’altra porta con la capra. In questo caso lo spazio campione ha un solo elemento.
Un altro dei motivi che spinge a credere che la probabilità di cambiare o meno è indifferente è dovuta all’assegnazione errata della probabilità. Le tre porte possono essere suddivise in due sottoinsiemi, il primo è la porta scelta e il secondo sono le due rimanenti. Alcuni applicano in modo sbaglia-to la somma delle probabilità: sebbene all’apertura della porta da parte del conduttore non influisca sulla scelta originale, in quanto non viene aperta la porta scelta, influisce sulle altre due porte selezionate.
Dopo l’apertura di una porta con la capra dell’insieme a due porte, la pro-babilità che l’auto sia dietro la porta aperta è 0 e dunque la probabilità
1
3 viene trasferita nell’altra porta rimanente, quindi l’altra porta
dell’insie-me due ha 23 di probabilità di avere la macchina. Nonostante questa co-sa posco-sa essere controintuitiva, effettivamente è ben posta perché l’evento S = "C’è almeno una capra nel sottoinsieme 2" è certo, quindi vedere una porta aperta con la capra nel sottoinsieme 2 non cambia la probabilità di quell’evento. Infatti sia A un evento certo P(A) = 1 e abbiamo B, un qual-siasi altro evento P(A∩B) = P(B), infatti P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) e poiché 1 = P(A) ≤ P(A ∪ B) allora P(A ∪ B) = 1, da cui semplificando otteniamo P(A ∩ B) = P(B).
1.2
Il ragionamento degli studenti
In situazioni senza sostituzione le probabilità condizionate diventano parti-colarmente esplicite perché si vede la riduzione dello spazio campione.
Nella letteratura, spesso, viene introdotta la probabilità condizionata at-traverso problemi senza sostituzioni. La comprensione di tale probabilità da parte degli studenti, generalmente, viene accettata quando essi dimostrano la capacità di riconoscere e regolare la probabilità di un evento quando hanno informazioni su un altro evento.
Come spesso viene detto in altri lavori, negli ultimi decenni è stato am-pliato nei programmi delle scuole medie il campo della probabilità, ponendo maggior enfasi sulla comprensione concettuale. Infatti, non bisogna attendere le scuole superiori per introdurre la probabilità condizionata, ma un’infarina-tura intuitiva può essere data senza problemi a livello delle scuole medie, in quanto gli studenti hanno la capacità di utilizzare strategie per dare giudizi validi sulle probabilità.
Fischbein e Gazit [5] hanno condotto un esperimento di insegnamento che ha coinvolto 285 studenti tra la quinta elementare e la seconda media.
Hanno scoperto che la percentuale delle risposte corrette era inferiore per i problemi senza sostituzione. Circa il 24% degli studenti di quinta elementare ha determinato correttamente le probabilità condizionate per le attività con e senza sostituzione. Gli alunni di prima media hanno risposto correttamente al63% per le attività con sostituzione e al 43% per quelle senza sostituzione. Infine, gli alunni di seconda media hanno risposto correttamente all’89% per quanto riguarda le attività con sostituzione, mentre al 71% per quanto riguarda situazioni senza sostituzione.
Fischbein e Gazit hanno identificato delle idee sbagliate fondamentali: • Gli studenti non si sono resi conto che lo spazio campione era cambiato
in una situazione senza sostituzione;
• Gli studenti hanno trovato la probabilità di un evento in una situa-zione senza sostitusitua-zione confrontando il numero di risultati favorevo-li per l’evento prima e dopo la prima sperimentazione, piuttosto che confrontando il numero totale di risultati.
I due autori suggeriscono che uno degli obiettivi primari sia quello di svilup-pare l’idea che lo spazio campione cambi quando non c’è sostituzione.
Per quanto riguarda, invece, la descrizione del ragionamento degli studen-ti, Tarr e Jones [6] hanno postulato che il pensiero degli studenti delle scuole medie sulla probabilità condizionata potrebbe essere descritto su quattro livelli che vanno dal pensiero soggettivo a quello numerico:
1) Livello 1: gli studenti tendono a fare affidamento su giudizi soggettivi. Sono propensi, infatti, a credere di essere in grado di controllare l’esito di un evento ignorando le informazioni quantitative per valutare la probabilità, per esempio credono di essere in grado di lanciare una moneta facendo uscire sempre testa;
2) Livello 2: gli studenti hanno un pensiero che va tra quello quantitativo-soggettivo e quello informale. Essi hanno la tendenza a basarsi troppo sui risultati precedenti, per esempio, se lanciano un dado due volte ed è uscito un numero pari, al prossimo lancio è meno probabile che esca pari in quanto è già uscito due volte;
3) Livello 3: gli studenti hanno acquisito consapevolezza del ruolo svolto dalle quantità nella formulazione di giudizi di probabilità condizionata. Nonostante non assegnino precise probabilità numeriche, spesso, usano frequenze relative, rapporti o qualche forma di probabilità come stra-tegia appropriata per determinare le probabilità condizionate, sia nel caso con sostituzione, che in quello senza sostituzione;
4) Livello 4: gli studenti sono consapevoli dell’importanza dei numeri per determinare giudizi di probabilità e sono in grado di vedere quando lo spazio campione cambia. Essi assegnano spontaneamente probabilità numeriche nell’interpretazione di situazioni di probabilità.
Gli studenti, come ci suggeriscono Tarr e Lannin [7], per affrontare pro-blemi di probabilità condizionata utilizzano, talvolta, forme immediate di dichiarazioni di probabilità.
Una di queste rappresentazioni inventate è quando gli studenti descrivono la probabilità di un evento usando la parola probabilità come unità di misura della probabilità, per esempio consideriamo il seguente problema:
Un sacchetto di caramelle contiene diversi assortimenti: 4 all’uva, 3 alla ciliegia, 2 alla mela e 1 al limone. Una all’uva viene mangiata. La proba-bilità di prendere una caramella all’uva è cambiata o è la stessa rispetto a prima che ne venisse mangiata una? Anziché identificare il numero totale di caramelle quando si assegnano le probabilità numeriche ai vari eventi, questi studenti considerano ogni caramella come un’unità di probabilità. In questo caso, dopo che una caramella all’uva è stata presa, gli studenti possono dire: «Prendere una caramella all’uva è diminuita di una probabilità perché è stata tirata fuori una caramella all’uva. La caramella al limone ha una probabilità in più perché è stata tolta una all’uva».
Una seconda forma alternativa prevede l’uso di frequenze relative, rappor-ti o qualche forma di probabilità per descrivere la probabilità di un evento. Di fatto, gli studenti che usano tale forma fanno confronti parziali per de-terminare se la probabilità di un evento sia cambiata o meno, per esempio, utilizzando sempre il sacchetto delle caramelle, gli studenti sosterranno che la probabilità di estrarre una caramella all’uva è cambiata perché c’erano più caramelle all’uva, mentre la probabilità di estrarre una caramella alla ciliegia è pari a quella di estrarne una all’uva.
In questo modo gli studenti tengono traccia della composizione dello spa-zio campione dopo ogni prova e confrontano il numero di casi favorevoli e sfavorevoli quando esprimono giudizi sulle probabilità condizionate.
Una terza forma alternativa di affermare la probabilità di un evento è essenzialmente la rappresentazione numerica convenzionale. In sostanza, gli studenti confrontano il numero di modi in cui l’evento considerato potrebbe verificarsi con il numero totale di possibili risultati, ma lo fanno in modo non convenzionale, ad esempio possono descrivere la probabilità di prendere una caramella alla ciliegia come «tre possibilità su dieci» prima che venga estratta quella con l’uva e dopo «tre possibilità su nove».
Gli studenti che usavano questa forma avevano difficoltà nel descrivere la probabilità dell’unione di più eventi.
Una quarta forma inventata, adottata da alcuni studenti, era la combi-nazione di percentuali e rapporti per creare una forma ibrida di probabilità numerica, per esempio, questi studenti potrebbero descrivere la probabilità di prendere una caramella alla mela come "20% su 90%". Nonostante dal punto di vista matematico non abbia molto senso, per gli studenti aveva un significato.
In definitiva, possiamo dire che attraverso le forme inventate degli studenti e i loro ragionamenti può essere fatta la pianificazione, l’implementazione e la valutazione dei programmi didattici. I piani di istruzione della probabilità condizionata dovrebbero includere compiti di valutazioni e domande chiave che stimolino il ragionamento degli studenti e siano una buona base per possibili discussioni in classe.
È importante utilizzare compiti che facciano parte di un contesto fami-liare, per esempio, la selezione di alcuni nomi tra gli studenti per scegliere i primi che vadano a pranzo, oppure barrette di cioccolato da un sacchetto di dolci di Halloween e così via.
1.3
Alcune difficoltà per l’apprendimento della
probabilità condizionata
In letteratura è stata affrontata diverse volte l’importanza del concetto di probabilità condizionata. Nonostante sia possibile una definizione intuitiva, la ricerca psicologica mostra che la sua applicazione in determinati momenti diventa difficile, producendo misconcetti e decisioni sbagliate.
Nell’analisi matematica, il confine tra pensiero elementare e avanzato è abbastanza definito, in quanto il pensiero avanzato si basa generalmente sulla comprensione del calcolo integrale e differenziale.
Nel pensiero stocastico, invece, questo confine non è così definito. Tale pensiero si basa su idee di casualità e indipendenza che sono spesso assunte come ovvie, tuttavia in realtà sono idee profonde che richiedono un pensiero avanzato.
Queste idee necessitano, per essere comprese, di una posizione matura e critica che, purtroppo, spesso manca a molti studenti che hanno perfino seguito corsi di statistica e probabilità. La probabilità condizionata è un’idea stocastica che ha aiutato la teoria delle probabilità a svilupparsi nel corso della storia.
Questo concetto ha una grande rilevanza nelle applicazioni statistiche, poiché ci consente di cambiare il nostro grado di fiducia di eventi quando sono disponibili nuove informazioni.
In generale, possiamo considerare la probabilità di un evento come proba-bilità condizionata dello spazio campione, ovvero P(A) = P(A|Ω) con A ∈ F e (Ω, F, P) spazio di probabilità. Adesso vediamo la definizione classica di probabilità condizionata.
Definizione 1 (Probabilità condizionata). Supponiamo che un evento B, in uno spazio di probabilità (Ω, F, P), non sia trascurabile, cioè P(B) > 0. In questo caso, per ogni evento A nello stesso spazio, la probabilità condizionata di A dato che B è accaduto è definita da:
P(A|B) = P(A ∩ B) P(B)
(1.1)
Nonostante la semplicità della definizione, in realtà, come detto in pre-cedenza, il concetto è molto profondo e per questo ci sono diversi disturbi nella sua comprensione. Nel lavoro di Carmen Dìaz e colleghi [8] possiamo analizzare tre tipologie di errori:
1) Condizionamento e casualità: la casualità è un concetto molto com-plesso, nonostante sia intuitivamente percepito dalle persone. Que-sto avviene perché la maggior parte delle conoscenze che abbiamo del mondo sono state costruite attraverso cause ed effetti.
Molto spesso il concetto di casualità e condizionalità vengono confusi. Per esempio, è chiaro che se un evento B è causa di un evento A ab-biamo che P(B|A) = 1, ma non vale il viceversa, ovvero se P(B|A) = 1 non implica che B è una causa di A. Ad esempio, il tasso di natalità è inferiore nei paesi in cui l’aspettativa di vita della popolazione è mag-giore, ma ciò non implica che l’innalzamento del tasso di natalità porti a diminuire l’aspettativa di vita.
Da un punto di vista psicologico, si percepisce la probabilità condizio-nata P(B|A) come una relazione tra A e B. Se B è percepito come causa di A allora P(A|B) è vista come relazione causale, se A è perce-pito come possibile causa di B allora P(A|B) viene perceperce-pito come una relazione diagnostica.
Nel seguente problema c’è la tendenza a rispondere alla prima opzione, mentre in realtà è la terza perché l’ereditarietà tra madre e figlia è causale.
Quale tra i seguenti eventi è più probabile?
• Che una ragazza abbia gli occhi blu se la madre ha gli occhi blu; • Che una madre abbia gli occhi blu se la figlia ha gli occhi blu;
• Che i due eventi sono ugualmente probabili.
Se consideriamo singolarmente gli eventi A = "La madre ha gli occhi azzurri" e B = "La figlia ha gli occhi azzurri" e non abbiamo altre informazioni abbiamo P(A) = P(B) e di conseguenza anche P(A|B) = P(B|A);
2) Asse temporale: alcuni studenti credono che un evento non possa condizionare un altro evento che si verifichi prima di esso. Consideriamo il seguente problema:
Un’urna contiene due biglie bianche e due rosse. Raccogliamo due biglie a caso, una dopo l’altra senza sostituzione. Rispondere alle seguenti domande:
• Qual è la probabilità che la seconda biglia sia rossa, dato che anche la prima è rossa?
• Qual è la probabilità che la prima biglia sia rossa, dato che anche la seconda è rossa?
Gli studenti rispondono facilmente alla prima domanda, mentre riman-gono confusi con la seconda;
3) Scambio di eventi: la probabilità P(A|B) è spesso confusa con P(B|A) o addirittura in alcuni casi con la probabilità congiunta P(A ∩ B). Consideriamo il seguente problema:
In quale delle seguenti affermazioni hai più fiducia?
• Che una cabina blu sia correttamente identificata di notte come una cabina blu;
• Che una cabina identificata di notte come una cabina blu sia una cabina blu;
• I due eventi sono ugualmente probabili.
Tendenzialmente gli studenti rispondono la terza. Possiamo pensare che parte di questo problema sembra essere causato dalla notazione formale o dall’ambiguità verbale nell’esprimere le probabilità condizionate.
1.4
Una visione filosofica della probabilità
con-dizionata
Il filosofo Ian Hacking [9] ci propone un approccio filosofico al concetto di probabilità condizionata.
Il concetto della probabilità è talmente diffuso nel quotidiano che viene utilizzato molto spesso a livello verbale. Molte volte, infatti, si sente dire "probabilmente" e generalmente si utilizza per indicare un evento che può verificarsi e di cui non si ha alcuna certezza.
Generalmente, si assegnano valori numerici alle probabilità per avere idea di quali argomenti siano più "rischiosi" rispetto ad altri.
La probabilità è uno strumento fondamentale per la logica induttiva poiché essa studia argomenti rischiosi: analizza le argomentazioni induttive usando la probabilità.
Vediamo adesso come il filosofo introduce la probabilità condizionata: Ivan, un tennista professionista, ormai veterano, parlando della probabilità che Stefan, il giovane astro in ascesa, batta un giocatore già affermato come Boris in semifinale (l’altro incontro di semifinale è tra Ivan e Pete), ha detto: «È probabile al 40% che Stefan batta Boris», ma avrebbe potuto dire anche: «La probabilità di una vittoria di Stefan è 0.4».
Questi sono degli enunciati categorici, tuttavia Ivan potrebbe dire: «Na-turalmente vincerò io la semifinale, ma se dovessi perdere Stefan non avrebbe più paura di incontrarsi in finale e giocherebbe meglio e a quel punto avrebbe il 50% di probabilità di battere Boris».
In questo caso la probabilità che Stefan vinca è condizionata dalla vittoria di Ivan e in tal caso si parla di probabilità condizionata.
Vediamo altri esempi per comprendere il punto di vista di Hacking per introdurre la probabilità condizionata e soprattutto per vedere la differenza tra categorica e condizionale:
1) Categorica: la probabilità che la prossima estate vi sia un raccolto di grano record;
2) Condizionale: la probabilità che la prossima estate vi sia un raccolto di grano record posto che nell’inverno precedente si siano verificate forti nevicate;
3) Categorica: la probabilità di estrarre un asso come seconda carta da un normale mazzo di carte ben mescolate (qualunque sia la carta che viene estratta per prima).
In questo caso ci sono 52 carte e 4 assi. Ciascuna carta può essere estratta per seconda, perciò la probabilità di estrarre un asso come seconda carta dovrebbe essere pari a 524 = 1
13;
4) Condizionale: la probabilità di estrarre un asso come seconda carta posto che la prima carta estratta sia un re.
In questo caso, la prima carta estratta è un re, ne restano cinquantuno, 4 delle quali sono assi, perciò questa probabilità condizionata è pari a
4 51.
5) Condizionale: la probabilità di estrarre un asso come seconda carta posto che la prima carta estratta sia un asso.
In questo caso, la prima carta estratta è un asso, ne restano cinquan-tuno, 3 delle quali sono assi, perciò questa probabilità condizionata è pari a 513 = 1
Capitolo 2
L’utilizzo della tecnologia per
l’insegnamento e l’apprendimento
della probabilità
In questo capitolo vedremo come sono stati utilizzati i software per favorire l’apprendimento delle nozioni probabilistiche.
2.1
Sviluppo delle nozioni di inferenza
proba-bilistica attraverso Probability Explorer
Il lavoro di Hollylinne Stohl e James E. Tarr [10] si concentra su come le nozioni di inferenza probabilistica possono essere promosse nella scuola media tramite compiti attentamente progettati, l’uso di software e attività sociali che si focalizzano sulla creazione di argomenti basati sui dati.
Negli ultimi decenni l’NCTM, acronimo di National Council of Teachers of Mathematics, ha sostenuto che gli studenti sviluppano e valutano inferenze basate sui dati. Il Concilio nazionale degli insegnanti di matematica racco-manda che gli studenti degli ultimi anni delle elementari e della prima media inizino a sviluppare nozioni sull’inferenza statistica e su quella probabilistica suggerendo l’uso delle simulazioni al computer per facilitare l’apprendimento degli argomenti di probabilità.
In generale, l’apprendimento può essere considerato come un processo costruttivo per risolvere i problemi attraverso la riflessione sulle azioni e gli effetti delle azioni. Tale processo viene coordinato dal contesto sociale, deter-minato dalle interazioni tra gli individui. Inoltre, il processo di risoluzione dei problemi è vincolato dagli strumenti e dalle risorse all’interno dell’ambiente.
Nel contesto scolastico, i compiti matematici previsti e attuati, le in-terazioni degli studenti con gli strumenti tecnologici, l’interazione sociale tra gli studenti, tra studenti e insegnante contribuiscono allo sviluppo del ragionamento probabilistico.
Le principali domande poste in relazione all’analisi mirata degli studenti della prima media sono le seguenti:
• In che modo questi studenti utilizzano lo strumento Probability Ex-plorer per simulare esperimenti e analizzare i dati come parte dei loro processi per risolvere una varietà di compiti probabilistici?
• In che modo questi studenti sviluppano una comprensione dell’intera-zione della probabilità teorica, di quella empirica e delle dimensioni del campione e utilizzano tali comprensioni e strumenti basati sul computer per formulare e giustificare inferenze basate sui dati?
Probability Explorer (PE) è un software didattico progettato da Hollylinne Stohl. I dati in PE sono rappresentati con icone generate casualmente che possono essere ordinate, impilate (in un pittogramma) o allineate nella se-quenza in cui si sono verificati. Un grafico a torta (frese-quenza relativa), un grafico a barre (frequenza) e una tabella di dati (conteggi, frazioni, decimali e percentuali) sono inoltre disponibili per visualizzare i cambiamenti che ci sono durante una simulazione.
Gli studenti, mediante questo software, possono sviluppare le loro capaci-tà di formulare e valutare ipotesi quando si trovano ad affrontare problemi di probabilità. Per fare le valutazioni in modo opportuno, gioca un ruolo fon-damentale la dimensione del campione. Molto spesso gli studenti mostrano difficoltà nel ragionare in modo coerente sull’effetto del numero di prove, per esempio, alla seguente domanda:
Quando si lancia una moneta non truccata, cosa è più probabile che accada?
• 2 teste e una croce con 3 lanci; • 200 teste e 100 croci con 300 lanci.
Gli studenti hanno la tendenza a rispondere che sono ugualmente probabili perché, secondo loro, le distribuzioni sono proporzionali. In questo caso specifico, una simulazione può aiutare, molto empiricamente, a mostrare che non è proprio così.
La sequenza didattica assegnata da Stohl e Tarr constava di 12 lezioni per una classe di studenti della prima media attraverso l’utilizzo di Probability
Explorer. Dopo la lezione di ogni giorno, i ricercatori monitoravano lo svi-luppo delle conoscenze degli studenti e adattavano di conseguenza i compiti inizialmente previsti.
I primi due compiti sono stati progettati per aiutare gli studenti a stabilire connessioni tra eventi casuali con oggetti familiari ed eventi casuali generati in PE.
Nei giorni 1-2 è stato trattato il compito Lanci di monete eque il cui scopo era discutere sui concetti di equità, casualità e iniziare a confrontare i risultati empirici con la probabilità teorica. Inoltre, sono stati analizzati i dati provenienti da un lancio di monete con monete reali e strumenti in PE come grafico a barre, grafico a torta e tabella dati.
Nei giorni 2-3 è stato svolto il compito Lanci di dadi equi il cui obiettivo era quello di analizzare i dati attraverso il lancio di un dado equo con PE e dadi reali. Inoltre, sono stati discussi i risultati di un lancio di dadi per un numero piccolo di prove e un numero grande.
Questi due compiti servivano per dare l’intuizione sull’equità, sulla ca-sualità e sulla probabilità teorica al fine di poter modificare la sequenza didattica e poterla sviluppare in modo che i ricercatori potessero basarsi su queste intuizioni per favorire una comprensione più profonda dei concetti di probabilità in tutta l’unità.
Dopo che gli studenti hanno analizzato i dati della simulazione con i pre-cedenti compiti, gli è stato somministrato un compito progettato per fornirgli una situazione con uno spazio campione sconosciuto. Precisamente, nei gior-ni 4-5 è stato proposto il compito Borse di biglie misteriose in cui gli studenti hanno analizzato i dati del campionamento con la sostituzione da due sacchi di biglie. Dato un sacchetto di 10 biglie con due dei sei colori possibili, ma una distribuzione sconosciuta dei colori, gli studenti hanno usato strumenti PE per simulare e analizzare i dati e dedurne il contenuto. Dato un sacco di 12 biglie con tre dei sei colori possibili, ma una distribuzione sconosciuta dei colori, gli studenti hanno usato strumenti PE per simulare e analizzare i dati e dedurne il contenuto. Hanno, quindi, utilizzato prove provenienti da simulazioni per supportare inferenze fatte sul contenuto di sacchi di biglie.
Ad un certo punto, alcuni studenti hanno capito che la miglior strategia era prendere tutte le biglie, in quanto il numero era piccolo e, in virtù di questo motivo, nei giorni 6-7 è stato introdotto il problema Pesci misteriosi in un lago. In tale problema veniva dato un lago con due diversi tipi di pesce e una popolazione totale sconosciuta, gli studenti avrebbero usato gli strumenti PE per simulare e analizzare i dati per inferire il rapporto di popolazione dei pesci e stimare la probabilità di catturare ogni tipo di pesce in un lago. Gli studenti hanno esplorato diversi laghi misteriosi con rapporti per tre pesci e hanno discusso delle connessioni tra rapporto, probabilità, grafico a torta,
grafico a barre e percentuali. I possibili rapporti erano 1:2:2, 1:2:3, 1:3:4, 1:1:2 e 1:1:3.
Per la maggior parte degli studenti, la quarta attività ha raggiunto l’obiettivo di far capire come la raccolta di grandi quantità di dati può consentire di fare ipotesi più precise sulla popolazione in questione.
Nei giorni 8-9 è stato affrontato il problema Progettazione di un modello: simulazioni per meteo e spinner, in cui veniva data una situazione di pro-babilità discreta (meteo) e una continua (spinner), gli studenti hanno usato lo strumento peso per modellare la situazione in PE. Essi dovevano usare un ragionamento proporzionale per giustificare il motivo per cui due serie di pesi potessero essere equivalenti, nonché la ragione per la quale una deter-minata serie di pesi modellava accuratamente uno spinner. Successivamente, gli studenti hanno raccolto dati e analizzato le distribuzioni empiriche come prova del fatto che il loro strumento di peso fosse un modello accurato. Tale compito è stato sviluppato appositamente per mettere gli studenti in una situazione in cui potevano usare un contesto familiare, ad esempio, par-ti di un cerchio, così che li potesse aiutare sul ragionamento proporzionale, nonché l’uso del grafico a torta e delle percentuali nelle loro analisi dei dati. Infine, negli ultimi tre giorni è stato affrontato il problema Compito sco-lastico in cui gli studenti hanno usato PE per simulare i tiri di un dado e visualizzare i dati usando una varietà di rappresentazioni. Essi hanno tratto delle conclusioni sull’equità di un dado e hanno stimato le probabilità teori-che sulla base dei risultati dei loro esperimenti e simulazioni. Infine hanno dato un loro giudizio per consigliare se sarebbe stato il caso di acquistarli o meno, in quanto il compito ha posto gli studenti in una situazione di indagine su diverse società di dadi che si diceva che producessero dadi truccati. Ogni gruppo di studenti ha indagato su una società e ad ogni gruppo venivano poste le seguenti domande:
1) Determinare se il dado è truccato;
2) Affermare se la scuola debba comprare i dadi da questa compagnia; 3) Fornire prove convincenti (per esempio grafici) a supporto della loro
affermazione;
4) Fare una stima delle probabilità di ottenere ciascun numero sul dado; 5) Creare un cartellone con informazioni sui precedenti quattro compiti; 6) Presentare il cartellone e argomentare a sostegno delle loro affermazioni
Dopo l’attività didattica, si può affermare che il lavoro degli studenti con i compiti e gli strumenti di Probability Explorer ha promosso con successo le loro capacità di fare inferenze appropriate sulla base dei dati.
La comprensione genuina dell’inferenza da parte degli studenti è proba-bilmente il prodotto di interazioni sostenute con compiti problematici atten-tamente sequenziati e strumenti di simulazione.
2.2
Conoscenza degli insegnanti riguardo
all’u-tilizzo delle simulazioni in probabilità
In questa sezione analizzeremo alcuni lavori osservando principalmente due aspetti:
• Come vengono utilizzate le simulazioni durante un’attività didattica; • L’apprendimento dei concetti probabilistici dopo l’utilizzo delle
simu-lazioni.
2.2.1
Utilizzo delle simulazioni per il paradosso dei
com-pleanni e il problema della scatola di cereali
Timur Koparan e Ezgi Taylan Koparan [11] si sono occupati dei problemi del processo di modellizzazione che richiedono capacità di pensiero probabilistico usando le simulazioni. La ricerca è stata condotta su 46 futuri insegnanti di matematica che erano studenti universitari della Turchia.
Le attività di simulazione si basano sul ciclo di Stringer [12] detto Look-Think-Act.
Ai potenziali insegnanti sono stati chiesti due problemi conosciuti come il Paradosso dei compleanni e il Problema della scatola di cereali.
L’introduzione dei software didattici come ausilio per gli argomenti di probabilità permette di analizzare meglio anche quei problemi che general-mente sono controintuitivi.
Il potenziale del software statistico dinamico può essere utilizzato durante la creazione di ambienti per insegnanti e studenti. Le simulazioni, infatti, migliorano la comprensione delle idee statistiche e supportano il processo di apprendimento degli studenti durante lo studio di problemi probabilistici. Gli studenti, motivati dagli esperimenti, possono ricercare e scoprire le soluzioni teoriche dei problemi proposti.
Per far questo, è necessario stabilire una relazione tra probabilità speri-mentale e teorica, ovvero la modellizzazione dovrebbe offrire i vantaggi di comprendere come i concetti matematici influenzino le situazioni osservate.
Timur Koparan e Ezgi Taylan Koparan hanno utilizzato la ricerca d’a-zione, un processo in cui gli insegnanti studiano l’insegnamento e l’appren-dimento in modo da migliorarsi e migliorare l’apprenl’appren-dimento degli studenti, in sostanza potenziare il proprio KCT (conoscenza dei contenuti e dell’inse-gnamento).
In questo tipo di ricerca i ricercatori fanno quanto segue: 1) Individuano un problema che si pone nella loro pratica; 2) Lavorano insieme per risolverlo;
3) Sviluppano e applicano una strategia per risolvere il problema; 4) Valutano se ha successo o meno;
5) Se la situazione attuale non è positiva, sviluppano un’altra strategia. Lo studio è stato diviso in due parti:
• Nella prima parte, ai partecipanti è stato chiesto di risolvere i due problemi assegnati;
• Nella seconda parte, invece, l’obiettivo era quello di rafforzare l’intui-zione dei futuri insegnanti e facilitare il loro processo decisionale e, in conformità con questo scopo, è stato utilizzato TinkerPlots, un software esplorativo di analisi e modellizzazione dei dati progettato per l’uso da parte degli studenti.
Il primo problema è quello della scatola dei cereali, il quale può essere molto interessante per gli studenti di tutti i livelli scolastici. Tale problema dà l’opportunità di raccogliere dati, fare ipotesi e creare un modello matematico. Inoltre, il problema della scatola di cereali porta in sé una caratteristica introduttiva nelle situazioni di incertezza e del valore atteso. Vediamo il problema attraverso le varie fasi del ciclo di Stringer:
• Nella prima fase viene esposto il problema, ossia:
Supponiamo che la tua scatola preferita di cereali contenga uno dei sei premi, i quali possono essere una penna, un pupazzetto di plastica di un personaggio di un film o una cartolina. La probabilità di selezionare un premio è indipendente dagli altri. Quante scatole di cereali dovrebbero essere acquistate per vincere tutti i premi?
A questa domanda 25 non hanno risposto, 7 hanno risposto "6 volte", 6 invece 16·1 5· 1 4· 1 3· 1 2· 1 1= 1
"impossibile ottenere i sei premi", 2 hanno sostenuto "sei volte per ogni scatola, dunque 36", 1 ha detto 1 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 31 e infine 1 ha risposto 16;
• Nella fase Think si fa osservare che andare al negozio per acquistare tutte le scatole di cereali in una volta non è pratico. In virtù di questo, si suppone che ciascun partecipante si sia unito ai propri amici e abbia comprato 8 scatole, ciononostante non sono stati ottenuti i 6 premi. Giunti a questo punto, sono state chieste le seguenti domande:
– Cosa succede se non hai ottenuto tutti i premi nonostante hai acquistato 10, 15 0 20 scatole?
– Quante scatole occorrono per trovare tutti i premi?
Successivamente è stata mantenuta viva l’attenzione ponendo le se-guenti domande:
1) C’è un altro modo per modellizzare questo problema senza acqui-stare scatole di cereali?
2) Come si può creare un modello di simulazione?
3) Cosa significa ottenere risultati su una versione di prova? 4) Quali risultati saranno considerati per ogni prova?
Per una maggior comprensione del problema, il ricercatore aveva pro-posto le seguenti attività:
Si prende un dado e ogni numero rappresenta un premio, poi si fanno 30 prove. Una prova sarà considerata completata quando tutti i premi sono stati trovati.
• Infine, nella terza fase attraverso TinkerPlots sono state fatte 500 prove dalle quali è stata ottenuto la media aritmetica pari a14.67 e questo è il valore atteso.
Nella soluzione teorica della scatola dei cereali ci vogliono in media:
n ·
n
X
k=1
1
k dove n è il numero di premi disponibili. Nel nostro caso ci vogliono in media 14.7 scatole in quanto n = 6.
Il secondo problema proposto è il problema dei compleanni, il quale è un classico esempio di paradosso nella teoria delle probabilità perché è contro-intuitivo e confonde molte persone. Vediamo il paradosso dei compleanni attraverso il ciclo Look-Think-Act:
• Nella fase Look viene presentato il problema, ovvero:
Qual è la probabilità che almeno due persone condividano il compleanno in un gruppo di 23 persone? Qual è la tua opinione sulla soluzione del problema?
30 partecipanti non hanno risposto, 3 di loro hanno risposto 1 − 1 365 = 364 365, 2 invece 22 365 · 1 365 = 22 133225, 2 hanno detto 1 23 · 1 23 = 1 529, 2 hanno risposto ( 23 2)+( 23 3)+···+( 23 23) (365 1 ) , 1 ha sostenuto 3651 · 1 23 = 1 8395, 1 ha detto 2 23,
1 ha risposto persino 723, 1 ha detto 23
2, 1 ha sostenuto 23 365− 2 365 = 21 365, 1 ha risposto 36523 · 22 365 = 506 133225 e, infine, 1 ha risposto 22 23;
• Nella seconda fase si osserva che molte persone pensano che la probabi-lità sia molto bassa, mentre quella effettiva è più alta di quella prevista. Il problema può essere risolto con una simulazione e a ciascuno studente si associa un numero compreso tra 1 e 365;
• Nella fase Act il ricercatore aveva pianificato di sviluppare un modello di simulazione per il problema del compleanno e, ai futuri insegnanti, era stato chiesto di utilizzare questa simulazione e di valutarne i risultati. In generale, per risolvere il problema dei compleanni consideriamo l’evento A ="Tutti gli studenti compiono gli anni in giorni diversi" e supponiamo che n sia il numero degli studenti di una classe1, dunque:
(A) = 365 365 · 364 365 · 363 365· · · 365 − n + 1 365 = 365! (365−n)! 365n ,
dove n ≤ 365, altrimenti A = ∅ e non consideriamo gli anni bisestili formati da 366 giorni.
Noi siamo interessati a calcolare l’evento complementare B ="Almeno due studenti condividono lo stesso compleanno", per cui P(B) = 1 − P(A). Nel nostro caso, poiché n= 23, abbiamo
P(A) =
365! (342)!
36523 ≈ 0.4927027,
dunque P(B) = 1 − P(A) ≈ 0.5072973.
In entrambi i problemi, dopo che gli insegnanti hanno utilizzato Tinker-Plots hanno visto come i fatti erano diversi da ciò che avevano ipotizzato,
1Generalmente le classi delle scuole medie o superiori non superano30 studenti, tuttavia
dunque possiamo dire che le simulazioni aiutano a fornire una potente ba-se matematica. Gli strumenti moderni offrono l’opportunità di soddisfare tutte le esigenze importanti nell’insegnamento della matematica, come l’a-nalisi, la rappresentazione di situazioni reali, la risoluzione di problemi e il ragionamento matematico.
2.2.2
L’apprendimento della probabilità tramite le
si-mulazioni
Timur Koparan [13] ha studiato l’efficacia della simulazione nel processo deci-sionale. Il campione di studio è composto da 70 futuri insegnanti che studiano alla Bülent Ecevit University.
In questo studio, viene esaminato l’uso della simulazione nell’insegna-mento della probabilità. Allo stesso tempo sono presentate sia le strategie utilizzate dai partecipanti per risolvere i problemi di probabilità che il conte-nuto necessario nell’insegnamento della probabilità, per esempio, l’uso delle tecnologie nell’insegnamento della probabilità.
Il software statistico dinamico Tinkerplots può essere utilizzato dagli alun-ni della scuola media fino agli studenti ualun-niversitari e foralun-nisce un ambiente di apprendimento dinamico con strumenti di analisi dei dati e modelli di probabilità.
Tale software è uno strumento che offre la possibilità di fare osservazioni su piccoli e su grandi campioni. I dati ottenuti dai risultati dell’esperimento vengono trasformati in un ambiente di lavoro dinamico munito di tabelle e grafici. In questo modo, gli studenti possono sviluppare una comprensione maggiore sulla probabilità teorica.
Per preparare le simulazioni sono stati eseguiti i seguenti passi:
1) Creazione di un modello con ragionevole modifica dei risultati at-tribuibile a processi casuali;
2) Utilizzo del modello per generare dati di simulazione;
3) Valutazione della distribuzione dei dati prodotti dalla simulazione. Il test che è stato utilizzato era composto da due problemi a risposta aperta ed è stato utilizzato per le simulazioni Tinkerplots. I due problemi sono:
1) Sei persone sono andate in un ristorante e hanno appeso i loro cappelli dello stesso colore e stesso modello sul guardaroba dell’ingresso. Po-niamo che il cappello della prima persona sia definito 1, quello della seconda persona2 e così fino alla sesta persona definito 6. Supponiamo
che ciascuna di loro abbia ricevuto a caso un cappello poco prima di andare via. Quando ciascuna persona ha ricevuto il proprio cappello è una corrispondenza corretta. Stimare il numero delle corrispondenze corrette per 1000 prove;
2) La figura di sotto mostra che percorso possono seguire le formiche che escono da un formicaio. Le formiche usano una delle porte 0, 1, 2, 3, 4 o 5 per uscire. Qualunque porta venga utilizzata per uscire, viene percorsa la stessa distanza. Un formichiere può mangiare più formiche su una di queste porte? Spiega la tua previsione e il tuo motivo.
Nella prima fase ai partecipanti è stato chiesto di rispondere ai due problemi, mentre nella seconda fase è stata introdotta la barra degli strumenti Sampler del software Tinkerplots e sono state condotte attività di simulazione di lancio di dadi. Successivamente, è stato chiesto di creare, utilizzare e valutare simulazioni adeguate alla natura dei problemi.
Al primo problema, 19 partecipanti hanno dato risposte coerenti, 48 in-coerenti e 3 non hanno risposto. Di seguito vediamo alcune delle risposte coerenti fornite dai docenti in formazione:
1) 1-2 persone hanno maggiori probabilità di scegliere i propri cappelli. Tutti hanno meno probabilità di scegliere il proprio cappello rispetto a chiunque altro. Per questo motivo in 1000 prove, forse, una volta possono scegliere tutti i propri cappelli, quindi la probabilità è molto bassa;
2) Una persona su sei ha maggiori probabilità di prendere uno degli altri cappelli rispetto al proprio, pertanto è molto improbabile che tutti scelgano il proprio.
1) Penso che siano tutti più propensi a scegliere il proprio cappello rispetto a quello di qualcun altro;
2) Secondo me, la probabilità più alta è che 3 o 4 persone scelgano i propri cappelli, poi arriva la probabilità di 2 o 5 e, infine, 1 o 6 persone che scelgono i propri cappelli;
3) Penso che sia impossibile per qualcuno scegliere il proprio cappello; 4) La probabilità di tutte le corrispondenze è del 20%;
5) Penso che tutti abbiano la stessa probabilità. Questo è 16;
6) Penso che la probabilità di 0-1-2-3-4-5-6 sia uguale. La probabilità che ciascuno scelga il proprio cappello è 16. La probabilità che tutti scelgano il proprio cappello è il prodotto di essi 16 moltiplicato sei volte 166; 7) Può essere molto facile se il sesto senso è forte;
8) Se sono fortunati quel giorno, possono tutti scegliere il proprio cappello. Dopo aver fatto le simulazioni, ecco alcune risposte:
1) E più probabile che non tutte e sei le persone o solo una persona scelga il proprio cappello. Le possibilità di abbinare più persone e cappelli stanno gradualmente diminuendo;
2) Ognuna delle 5 persone sceglie i propri cappelli una volta ogni 1000 tentativi o per niente;
3) La probabilità per 5 persone di scegliere il proprio cappello è impossibile perché se 5 persone scelgono il proprio cappello, è certo che la sesta persona sceglie il proprio cappello
Nel secondo problema 3 insegnanti hanno risposto coerentemente con la spie-gazione, 16 hanno risposto correttamente ma senza spiespie-gazione, 49 hanno risposto in modo incoerente mentre 2 non hanno risposto. Alcune delle spiegazioni coerenti con spiegazione:
1) Secondo me, il numero di strade che portano alle porte 2 e 3 è superiore al numero di strade che portano ad altre porte. Per questo motivo, è più preciso che il formichiere mangerà più formiche davanti alle porte 2 o 3;
2) Queste strade mi hanno ricordato l’espansione binomiale. Penso che il formichiere mangerà più formiche se si ferma alle porte centrali.
