3 Normativa Europea
3.4 Instabilità locale e distorsionale
3.4.1 Procedura semplificata per il calcolo degli effetti dell’instabilità
Con questa procedura l’Eurocodice 3 parte 1-3 permette di calcolare gli effetti dell’instabilità locale e dell’instabilità distorsionale: la prima viene calcolata penalizzando gli elementi della sezione lorda, mediante le formule di Winter modificate, ricavando una sezione efficace; la seconda invece si valuta mediante un coefficiente di riduzione χd. In particolare, se χd < 1
devo considerare gli effetti distorsionali.
La norma divide gli elementi piani di una sezione in due categorie fondamentali: - elementi piani non irrigiditi
- elementi piani con irrigidimenti di bordo o intermedi Elementi piani non irrigiditi
La larghezza efficace degli elementi compressi deve determinarsi secondo EN 1993-1-5. Il coefficiente di riduzione ρ utilizzato per la definizione di beff deve essere determinato con
riferimento alla tensione di compressione σcom,Ed agente nell’elemento pertinente, calcolata
sulla base della sezione trasversale efficace, quando si raggiunge la resistenza nella sezione trasversale.
Se σcom,Ed = fyb / γM1il coefficiente di riduzione ρ si determina attraverso le seguenti relazioni: a. per un elemento vincolato ai due estremi:
se 𝜆𝑝≤ 0.673 𝜌 = 1 (3.25a)
se 𝜆𝑝> 0.673 𝜌 =
𝜆𝑝−0,055⋅(3+𝜓)
𝜆𝑝2 ≤ 1 (3.25b) dove la snellezza dell’elemento 𝜆𝑝 è data da:
𝜆𝑝= √ 𝑓𝑦𝑏 𝜎𝑐𝑟 ≡ 𝑏𝑝 𝑡 √ 12(1−𝜈2)𝑓 𝑦𝑏 𝜋2𝐸𝑘 𝜎 ≅ 1.052 𝑏𝑝 𝑡 √ 𝑓𝑦𝑏 𝐸𝑘𝜎≅ 𝑏𝑝 𝑡 28.4𝜀√𝑘𝜎 (3.26) dove:
𝑘𝜎 è il coefficiente di instabilità desunto dalla tabella 4.1 o 4.2 dell’EC3 parte 1-5;
𝜀 è il rapporto √235𝑓
𝑦𝑏 con fyb espresso in N / mm
2
b. per un elemento vincolato ad un estremo:
se 𝜆𝑝≤ 0.748 𝜌 = 1 (3.27a)
se 𝜆𝑝> 0.748 𝜌 =
𝜆𝑝−0,188 𝜆𝑝
2 ≤ 1 (3.27b)
dove la snellezza dell’elemento 𝜆𝑝 è data da:
𝜆𝑝= √ 𝑓𝑦𝑏 𝜎𝑐𝑟 ≡ 𝑏𝑝 𝑡 √ 12(1−𝜈2)𝑓 𝑦𝑏 𝜋2𝐸𝑘 𝜎 ≅ 1.052 𝑏𝑝 𝑡 √ 𝑓𝑦𝑏 𝐸𝑘𝜎≅ 𝑏𝑝 𝑡 28.4𝜀√𝑘𝜎 (3.28) dove:
𝑘𝜎 è il coefficiente di instabilità desunto dalla tabella 4.1 o 4.2 dell’EC3 parte 1-5;
𝜀 è il rapporto √235𝑓
𝑦𝑏 con fyb espresso in N / mm
Tabella 3-7 Elementi interni in compressione - estratto da EC3 parte 1-5
Qualora risultasse 𝜎𝑐𝑜𝑚,𝐸𝑑 < 𝑓𝑦𝑏
𝛾𝑀1, il coefficiente ρ si dovrebbe determinare prendendo in considerazione una snellezza ridotta così calcolata:
𝜆𝑝,𝑟𝑒𝑑= 𝜆𝑝√ 𝜎𝑐𝑜𝑚,𝐸𝑑
𝑓𝑦𝑏 𝛾𝑀1
Tabella 3-8 Elementi esterni in compressione - estratto da EC3 parte 1-5
Infine, la procedura appena citata dovrebbe essere valutata con i seguenti accorgimenti: a. Nella determinazione della larghezza efficace di una flangia di una sezione soggetta
ad una distribuzione di tensioni non costante, il rapporto tra le tensioni ψ, dovrebbe essere riferito alle proprietà della sezione trasversale lorda.
b. Nella determinazione della larghezza efficace di un elemento d’anima, il rapporto tra le tensioni 𝜓, dovrebbe ottenersi considerando l’area efficace della flangia compressa e l’area lorda dell’anima.
c. Le proprietà della sezione efficace possono essere rifinite iterando le operazioni ai punti a e b, ma utilizzando le proprietà della sezione trasversale efficace già determinate in sostituzione di quelle della sezione trasversale lorda.
Nell’Annex D viene fornita una procedura alternativa per il calcolo delle dimensioni efficaci degli elementi vincolati ad un estremo. In particolare, l’area efficace dell’elemento sarà la somma di una zona completamente reagente avente lunghezza be0 e spessore nominale pari a t e una zona parzialmente reagente con la valutazione di uno spessore ridotto tred.
Tabella 3-9 Elementi interni ed esterni compressi – estratto da EC3 Annex D
Per quanto riguarda il calcolo della snellezza adimensionalizzata 𝜆𝑝 può essere fatto un confronto tra gli Eurocodici pubblicati, in particolare tra UNI EN 1993-1-1 e UNI EN 1993- 1-5. Se si riprende l’espressione 3.25b, che definiva il valore di ρ in funzione della snellezza adimensionalizzata:
𝜌 =𝜆𝑝−0,055⋅(3+𝜓) 𝜆𝑝
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
/
t b 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.3 0.5 0.7 0.9 = = =−Figura 3-6 valori del coefficiente ρ in funzione del rapporto b/tε
Nella figura 3.12 vengono diagrammati in funzione del rapporto (b / tε) i valori del termine ρ. In dettaglio si osserva che la penalizzazione si ha per valori di 𝜆𝑝 superiore al valore limite 𝜆𝑝,𝑙𝑖𝑚 definito come: 𝜆𝑝−0,055⋅(3+𝜓) 𝜆𝑝 2 = 1 (3.30a) 𝜆𝑝 2 − 𝜆𝑝+ 0,055 ⋅ (3 + 𝜓) = 0 (3.30b) 𝜆√0,25 − 0,55 ⋅ (3 + 𝜓)𝑝,𝑙𝑖𝑚 (3.30c) Con riferimento ai casi significativi considerati in figura 3.12 si osserva che:
- Nel caso di compressione uniforme, con ψ= 1, si ha 𝜆𝑝,𝑙𝑖𝑚;
- Nel caso di compressione non uniforme con tensione nulla in corrispondenza del bordo, con ψ = 0, si ha 𝜆𝑝,𝑙𝑖𝑚
- Nel caso di flessione con tensioni uguali alle estremità dell’elemento, con ψ= -1, si ha 𝜆𝑝,𝑙𝑖𝑚.
Le prescrizioni imposte dalla normativa impongono la penalizzazione a partire dal valore limite e pertanto quando ψ< 1 il valore ottenuto dalla equazione 4.1b può risultare superiore all’unità quando comunque non superiore al termine 𝜆𝑝,𝑙𝑖𝑚 definito dalla equazione 4.4. Per tale motivo la normativa impone direttamente comunque 𝜌 ≤ 1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p Von Karman Winter Elastico
Figura 3-7 valori del coefficiente ρ in funzione della snellezza adimensionalizzata
Ponendo ora l’attenzione sugli elementi uniformemente compressi si ha che sulla base della Tabella 3.4, che riporta le indicazioni UNI EN 1993-1-1 il limite di transizione tra le classi 3 e 4 è rappresentato dal valore di b / t pari a 42ε.
Sezioni in classe 4
Elementi della sezione Diagramma delle forze agenti Il valore di b / t deve essere superiore a
𝜓 = 1 42𝜀
𝜓 > −1 42𝜀
0,67 + 0,33𝜓 𝜓 < −1 62𝜀 ⋅ (1 − 𝜓) ⋅ √−𝜓
𝜓 = −1 124𝜀 Sezioni Laminate Cave 42𝜀 + 3 Altre 42𝜀 Sezioni Laminate Cave 42𝜀 + 3 Altre 42𝜀 Laminata 15𝜀 Saldata 14𝜀 Laminata 23𝜀√𝑘𝜎 Saldata 21𝜀√𝑘𝜎 Laminata 23𝜀√𝑘𝜎 Saldata 21𝜀√𝑘𝜎 𝜀 = √235 𝑓𝑦 𝑓𝑦[Mpa] 235 275 355 𝜀 1 0,92 0,81
Figura 3-8 valori limite per sezioni in classe 4
Sulla base delle relazioni precedenti considerando questa condizione limite si ricava che la snellezza adimensionalizzata 𝜆𝑝 42𝜀 vale: 𝜆𝑝 42𝜀 = 42𝜀 ⋅ 1 28,4⋅ 1 𝜀⋅ 1 √4= 0,7395 (3.31) A tale valore di snellezza corrisponde un rapporto efficace 𝜌42𝜀dato da:
𝜌42𝜀=𝜆𝑝 42𝜀 −0,22 (𝜆𝑝 42𝜀 ) 2 = 0,95 (4.32)
La figura 3.14 riporta la parte reagente dell’elemento 𝜌𝑡𝜀𝑏 in funzione del rapporto 𝑏 𝑡𝜀.
La relazione fornita dalla parte generale dell’Eurocodice viene riportata a tratteggio, mentre quella a tratto pieno riguarda le prescrizioni della parte 1-5. Si osservi che per valori di b / t compresi tra 38,82 ε e 42 ε la parte 1-5 fornisce limitazioni più conservative rispetto alla parte1-1. 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 b t 32 36 40 44 48 30 34 38 42 46 bef f t EC3 parte 1- 3 EC3 parte 1- 5
Figura 3-9 Confronto tra Eurocodici
Nella tabella 3.5 vengono riportati per diversi acciai strutturali, al variare del rapporto b / t ε con riferimento alla lastra uniformemente compressa vincolata ai bordi, i valori del rapporto
b / t efficace e il rapporto percentuale tra l’area persa nell’anima e l’area lorda espressa dal
termine (1 − 𝜌).
In corrispondenza dei valori 38,823 e 40 sono forniti sia i valori dell’UNI EN 1993-1-1 e i dati relativi all’applicazione della procedura delle UNI EN 1993-1-5.
S 235 S 275 S 355
0 1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 38,24 1,00 0,00 38,24 38,24 35,35 35,35 31,11 31,11 39 0,99 1,02 39,00 38,60 36,05 35,68 31,73 31,41 1,00 0,00 39,00 39,00 36,05 36,05 31,73 31,73 40 0,98 2,36 40,00 39,06 36,98 36,10 32,54 31,78 1,00 0,00 40,00 40,00 36,98 36,98 32,54 32,54 41 0,96 3,69 41,00 39,49 37,90 36,50 33,36 32,13 1,00 0,00 41,00 41,00 37,90 37,90 33,36 33,36 42 0,95 5,00 42,00 39,90 38,83 36,88 34,17 32,46 1,00 0,00 42,00 42,00 38,83 38,83 34,17 34,17 45 0,91 8,83 45,00 41,03 41,60 37,93 36,61 33,38 50 0,85 14,79 50,00 42,60 46,22 39,38 40,68 34,66 55 0,80 20,19 55,00 43,90 50,84 40,58 44,75 35,71 60 0,75 25,05 60,00 44,97 55,46 41,57 48,82 36,59 65 0,71 29,41 65,00 45,88 60,09 42,41 52,89 37,33 70 0,67 33,34 70,00 46,66 64,71 43,13 56,95 37,96 75 0,63 36,88 75,00 47,34 69,33 43,76 61,02 38,51 80 0,60 40,09 80,00 47,93 73,95 44,31 65,09 38,99 85 0,57 43,00 85,00 48,45 78,58 44,79 69,16 39,42 90 0,54 45,65 90,00 48,91 83,20 45,22 73,23 39,80 95 0,52 48,08 95,00 49,33 87,82 45,60 77,29 40,13 100 0,50 50,30 100,00 49,70 92,44 45,95 81,36 40,44 105 0,48 52,34 105,00 50,04 97,06 46,26 85,43 40,71 110 0,46 54,23 110,00 50,35 101,69 46,54 89,50 40,96 115 0,44 55,98 115,00 50,63 106,31 46,80 93,57 41,19 120 0,42 57,60 120,00 50,89 110,93 47,04 97,63 41,40
Figura 3-10 valori del rapporto b / t efficace e il rapporto percentuale tra l’area persa
Elementi piani con irrigidimenti di bordo o intermedi
Il progetto degli elementi compressi dotati di irrigidimenti di bordo o intermedi deve basarsi sull’ipotesi che l’irrigidimento si comporti come vincolo parziale di continuità con rigidezza
elastica dipendente dalle condizioni al contorno e dalla rigidità flessionale degli elementi piani adiacenti. La rigidezza elastica dell’irrigidimento si determina attraverso l’applicazione di una forza unitaria per unità di lunghezza u.
La rigidezza è data dalla seguente relazione:
𝐾 =𝑢
𝛿 (3.33) δ è lo spostamento dell’irrigidimento causato dall’applicazione della forza unitaria u.
Figura 3-11 elementi piani con irrigidimenti interni e di bordo
Figura 3-12 spostamento per sezioni a C e Z
Per un irrigidimento di bordo, lo spostamento δ dovrebbe essere determinato attraverso la relazione seguente: 𝛿 = 𝜃 ⋅ 𝑏𝑝+ 𝑢⋅𝑏𝑝3 3 ⋅ 12(1−𝜈2) 𝐸⋅𝑡3 con 𝜃 = 𝑢⋅𝑏𝑝 𝐶𝜃 (3.34)
Nel caso di irrigidimenti di bordo per sezioni a C o a Z con ali irrigidite, C dovrebbe determinarsi attraverso l’applicazione di una forza u unitaria.
Si valuta la rigidezza elastica posizionando la forza unitaria nel baricentro dell’irrigidimento: 𝐾1= 𝐸⋅𝑡3 4⋅(1−𝜈2)⋅ 1 𝑏12⋅ℎ𝑤+𝑏13+0,5𝑏1⋅𝑏2⋅ℎ𝑤⋅𝑘𝑓 (3.35) dove:
b1 è la distanza dall’anima al centro di gravità, dell’area effettiva dell’irrigidimento di
bordo della flangia 1.
b2 è la distanza dall’anima al centro di gravità, dell’area effettiva dell’irrigidimento di bordo della flangia 2.
hw è l’altezza dell’anima
kf è un coefficiente che varia nel seguente modo: - kf = 0 se l’ala di irrigidimento è in tensione.
- kf = As1 / As2 se l’ala di irrigidimento è in compressione.
- kf = 1 per una sezione simmetrica in compressione.
Il fattore di riduzione per la resistenza d’instabilità distorsionale, χd , dovrebbe essere definito
in funzione della snellezza relativa 𝜆𝑑 nel seguente modo:
se 𝜆𝑑 ≤ 0.65 χd = 1 (3.36a) se 0.65 < 𝜆𝑑< 1.38 χd = 1,47-0,723𝜆𝑑 (3.36b) se 𝜆𝑑≥ 1.65 𝜒𝑑= 0.66 𝜆𝑑 (3.36c) dove:
𝜎𝑐𝑟,𝑠 è lo sforzo critico elastico dell’irrigidimento ottenuto con la procedura descritta dall’Eurocodice 3 oppure mediante dei metodi numerici.
La seguente procedura per il calcolo della lunghezza efficace dell’irrigidimento è applicabile se sono verificate le condizioni:
- l’angolo formato tra l’irrigidimento e l’elemento piano risulta maggiore di 45° e minore di 135°;
- il rapporto tra bp e t risulta minore di 60 per un irrigidimento a piega singola oppure
minore di 90 se a piega doppia.
Figura 3-13 Irrigidimento di bordo semplice e doppio
Il procedimento dovrebbe essere sviluppato attraverso i seguenti passi:
Passo 1
Valutazione della sezione trasversale efficace iniziale dell’irrigidimento utilizzando le larghezze efficaci determinate nell’ipotesi che l’irrigidimento fornisca un vincolo perfetto e che σcom,Ed=fyb/γM1
Passo 2
Utilizzo della sezione trasversale efficace iniziale dell’irrigidimento per determinare il coefficiente di riduzione per l’instabilità flessionale considerando gli effetti del vincolo elastico di continuità.
Passo 3
Iterazione del procedimento per meglio approssimare il valore del coefficiente di riduzione per l’instabilità dell’irrigidimento.
Figura 3-14 Procedura semplificata per valutare gli effetti dell'instabilità distorsionale
I valori iniziali delle larghezze efficaci be1 e be2 sono calcolate con la procedura per gli
elementi piani non irrigiditi vincolato ad entrambi gli estremi. Considerando ancora valida la tabella 4.1 dell’EC3 parte 1 – 5 per la determinazione del coefficiente kσ in funzione della
distribuzione degli sforzi ψ
I valori iniziali delle larghezze dell’irrigidimento di estremità ceff e deff si calcolano nel
seguente modo:
𝑐𝑒𝑓𝑓= 𝜌𝑏𝑝,𝑐 (3.37) con ρ ottenuto in modo analogo al caso degli elementi piani non irrigiditi, ad eccezione di kσ, il coefficiente di instabilità che si calcola nel seguente modo:
se 𝑏𝑝,𝑐 𝑏𝑝 < 0.3 𝑘𝜎= 0.5 (3.38a) se 0.35 <𝑏𝑝,𝑐 𝑏𝑝 ≤ 0.6 𝑘𝜎= 0.5 − 0.83 ⋅ √( 𝑏𝑝,𝑐 𝑏𝑝 − 0.35) 2 3 (3.38b)
b. per un irrigidimento di bordo a piega doppia
𝑐𝑒𝑓𝑓= 𝜌𝑏𝑝,𝑐 (3.39) con ρ ottenuto in modo analogo al caso degli elementi piani non irrigiditi vincolati a due estremi.
𝑑𝑒𝑓𝑓 = 𝜌𝑏𝑝,𝑐 (3.40) con ρ ottenuto in modo analogo al caso degli elementi piani non irrigiditi vincolati a un estremo.
L’area della sezione trasversale efficace di un irrigidimento di bordo As dovrebbe
determinarsi attraverso le seguenti relazioni:
𝐴𝑠= 𝑡(𝑏𝑒2+ 𝑐𝑒𝑓𝑓) (3.41a) 𝐴𝑠= 𝑡(𝑏𝑒2+ 𝑐𝑒1+ 𝑐𝑒2+ 𝑑𝑒𝑓𝑓) (3.41b) Il coefficiente di riduzione χd per valutare la resistenza all'instabilità flessionale di un
irrigidimento di bordo dovrebbe essere nel seguente modo:
𝜆𝑑= √ 𝑓𝑦𝑏 𝜎𝑐𝑟,𝑠 (3.42) con 𝜎𝑐𝑟,𝑠 = 2√𝐾𝐸𝐼𝑠 𝐴𝑠 (3.43)
Is è il momento d’inerzia efficace dell’irrigidimento, assunto pari a quello della sua
area efficace rispetto all’asse baricentrico a-a.
L’area efficace ridotta dell’irrigidimento As,red che contempla gli effetti dell’instabilità
flessionale dovrebbe essere assunta pari a:
𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑑 = 𝜒𝑑𝐴𝑠[ 𝑓𝑦𝑏
𝛾 𝑀1
𝜎𝑐𝑜𝑚,𝐸𝑑] ma 𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑑 ≤ 𝐴𝑠 (3.44) Nella determinazione delle proprietà della sezione efficace, l’area ridotta As,red dovrebbe
rappresentarsi utilizzando lo spessore ridotto per tutti gli elementi inclusi in As.
𝑡𝑟𝑒𝑑 = 𝑡 𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑑
𝐴𝑠 (3.45) Considerando invece irrigidimenti interni si fa riferimento alla sezione 5.5.3.3 dell’Eurocodice 3, che riserva tale paragrafo per elementi piani con irrigidimenti intemedi. La sequenza di operazioni che viene enunciata è applicabile per uno o due irrigidimenti intermedi. La sezione dell’irrigidimento intermedio deve essere considerata comprensiva della lunghezza dell’irrigidimento stesso aggiungendo le effettive porzioni degli elemnti piani bp,1 e bp,2, il cui significato viene mostrato in figura 4.10. la procedura illustrata in figura 4.11 riassume i seguenti passi:
Passo 1
Valutazione della sezione trasversale efficace iniziale dell’irrigidimento utilizzando le larghezze efficaci determinate nell’ipotesi che l’irrigidimento fornisca un vincolo perfetto e che σcom,Ed=fyb/γM0
Passo 2
Utilizzo della sezione trasversale efficace iniziale dell’irrigidimento per determinare il coefficiente di riduzione per l’instabilità flessionale considerando gli effetti del vincolo elastico di continuità.
Passo 3
Iterazione del procedimento per meglio approssimare il valore del coefficiente di riduzione per l’instabilità dell’irrigidimento
Figura 3-16 Procedura per la determinazione dell'area efficace dell'irrigidimento intermedio
L’effettiva area dell’irrigidimento intermedio As, è calcolata come segue:
𝐴𝑠 = 𝑡 ∗ (𝑏1,𝑒2+ 𝑏2,𝑒1+ 𝑏𝑠) (3.46) Tale modifica di calcolo dell’area dell’irrigidimento intermedio è la sola modifica nella procedura per la determinazione dell’area efficace rispetto al caso di irrigidimento di bordo della sezione; si rimanda alla definizione dei passi procedurali per sezioni con irrigidimenti di bordo precedentemente citati.