Proprietà dei sistemi caotici

Le proprietà dei sistemi dinamici caotici sono state già in parte anticipate nelle sezioni precedenti, introducendo i concetti fondamentali legati alla sensibilità alle condizioni iniziali e alla presenza dei cosiddetti attrattori. Ci si propone però ora di analizzare sistematicamente e approfonditamente le caratteristiche dei sistemi dinamici caotici. Le proprietà che caratterizzano i sistemi caotici sono:

• sensibilità alle condizioni iniziali,

• le orbite evolvono verso attrattori strani,

• si ha la presenza di differenti strade verso il caos,

• i bacini di attrazione nello spazio delle fasi presentano confini di tipo frattale.

Variazione delle condizioni iniziali comportano variazioni molto significative sull’evoluzione globale del sistema caotico. Le variazioni sui parametri che determinano lo stato del sistema possono essere anche molto piccole. La scoperta che passò poi alla storia con la denominazione di "butterfly effect" ossia "effetto farfalla" fu rilevata per la prima volta da Lorenz, che, come riporta Gleik (1989), dal suo Royal McBee, dal Massachusetts Institute of Technology, osservava dal modello matematico della meteorologia da lui prodotto, come "nulla accadeva mai due volte nello stesso modo". Egli intuì "meglio di chiunque altro il carattere estremamente incerto della previsione", ma per questo problema era sicuro dovessero esserci delle cause a livello matematico. Lorenz si accorse delle motivazioni scatenanti il fenomeno quando, nell’introdurre dati nella memoria del suo computer, fece delle approssimazioni sulle ultime tre cifre decimali e notò la notevole divergenza dei tracciati. Un piccolo errore numerico aveva causato una variazione notevole sull’evoluzione globale del sistema. Nel suo modello matematico a dodici equazioni, piccoli errori avevano effetti catastrofici "errori e incertezze si moltiplicavano, diffondendosi a cascata attraverso una catena di elementi di turbolenza (…)": era il caos. Fu così che l’effetto farfalla divenne il nome tecnico per indicare la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali in un sistema caotico. Si può, introducendo il modello matematico di Lorenz nel calcolatore, ripercorrere l’esperienza dello scienziato verificando che se si considera l’evoluzione di un sistema dinamico nel suo spazio delle fasi, due traiettorie distinte, che hanno origine in punti inizialmente molto vicini fra loro, possono manifestare dopo un certo tempo andamenti molto differenti che evidenziano una divergenza dei tracciati esponenziale (Fig. 4.5).

59

Fig. 4.5 Divergenza dei tracciati a partire condizioni iniziali quasi identiche

Questa particolare proprietà implica l’estrema difficoltà a realizzare previsioni sull’evoluzione futura del sistema caotico. Le leggi deterministiche risultano quindi essere del tutto insufficienti per la previsione dell’evoluzione del sistema poiché è impossibile conoscere con una elevata precisione lo stato iniziale del sistema. In tali condizioni si può affermare che coesistano determinismo e imprevedibilità a lungo termine, essendo i valori riferibili alle condizioni iniziali sempre affetti da imprecisione. L’imprevedibilità insorge in un sistema deterministico proprio per questo motivo: lo stato iniziale ha sempre insita una piccola componente di casualità i cui effetti si amplificano al crescere del tempo. Se è vero che lo stato di un sistema nell’istante iniziale non può essere fissato in modo preciso, è vero tuttavia anche assumere che esso sia distribuito secondo una certa distribuzione di probabilità. L’evoluzione globale del sistema avrà dunque, in ogni altro istante di tempo una distribuzione casuale che potrà essere dedotta dalla distribuzione relativa all’istante iniziale utilizzando le leggi deterministiche che descrivono matematicamente l’evoluzione del sistema. Lasciando quindi, a causa della dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, una piccola quantità iniziale al caso può conseguire, in un momento successivo, una grande quantità di caso o di indeterminazione. Quindi si può dedurre che il determinismo non esclude totalmente il caso e non esiste alcuna incompatibilità logica fra caso e determinismo fisico (Ruelle, 1992). La dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali rappresenta una proprietà caratteristica dei sistemi dinamici non lineari, che, anche se in teoria perfettamente deterministici, molto spesso, manifestano dei comportamenti caotici. Si è già discusso a livello qualitativo

60

analizzando i sistemi dinamici continui sul concetto di attrattore. Nonostante sia difficile definire univocamente questa entità matematica, si potrebbe dire che un attrattore rappresenta l’insieme di punti dello spazio delle fasi che definiscono l’orbita lungo cui evolve il punto rappresentativo del sistema dinamico dopo un tempo abbastanza lungo. Si può altresì affermare che l’attrattore manifesta la situazione di regime del sistema dopo l’estinzione dei fenomeni transitori, condizione legata all’esistenza di fenomeni o meccanismi capaci di dissipare energia nel sistema che evolve nello spazio delle fasi di dimensione infinita verso un insieme di punti che rappresenta l’attrattore. Sempre la natura dissipativa dei sistemi caotici fa si che le orbite nello spazio delle fasi siano confinate in delle regioni limitate ben determinate e il sistema manifesti un comportamento stabile senza diverge verso l’infinito. Alcuni attrattori sono definiti strani, poiché dal punto di vista geometrico presentano un aspetto irregolare: non sono curve o superfici lisce, ma oggetti con dimensione frattale e dall’analisi delle frequenze temporali rivela un continuo di frequenze. Dalle equazioni di Lorenz, per proseguire con quelle di Rössler (1976), fino alle più recenti scoperte di Chua, la visualizzazione degli attrattori strani è stata resa possibile dall’uso dei calcolatori elettronici che hanno consentito di simulare l’evoluzione dei sistemi dinamici.

Fig. 4.6 Gli attrattori strani di Lorenz, Rössler, Chua

Come appare evidente dalla Fig. 4.6 mentre l’attrattore visualizzato da Lorenz presenta due lobi caratteristici, possiamo notare come gli stessi, simili si ripresentino nel sistema di Rössler e infine in quello di Chua, dove però le due orbite formano quello che viene definito in gergo tecnico come double scroll.L’evoluzione temporale del punto che rappresenta lo stato del sistema dopo aver compiuto un certo numero di giri attorno al lobo destro dell’attrattore, passerà varie volte attorno al lobo sinistro, per tornare successivamente a destra, e così via. Se venissero modificati anche in maniera impercettibile, i valori iniziali del sistema i particolari della figura risulterebbero completamente modificati: a variare non sarebbe l’aspetto globale dell’attrattore, ma diventerebbero del tutto diversi i numeri di giri successivi a

61

sinistra e a destra. Questo ancora una volta è dovuto alla sensibile dipendenza dell’evoluzione temporale degli attrattori dalle condizioni iniziali. Il numero di cicli compiuti a sinistra e a destra è apparentemente aleatorio e irregolare.

Il comportamento caotico può insorgere a seguito del manifestarsi di alcuni meccanismi fondamentali, definiti dagli studiosi del settore come strade verso il caos: • raddoppiamenti di periodo in cascata;

• intermittenza; • torus break down.

Il raddoppiamento di periodo in cascata fu studiato da Feigenbaum, questa condizione si verifica quando al variare dei parametri di controllo si osservano fenomeni di biforcazione cioè il raddoppiamento del periodo dell’orbita che descrive l’evoluzione del sistema. Un’orbita periodica viene sostituita da un’altra, prossima alla prima, in cui però è necessario prima di tornare al punto di partenza compiere due giri. Il periodo della nuova orbita risulta con buona approssimazione il doppio di quella precedente. Un aspetto interessante consiste nella presenza in cascata di questo raddoppiamento di periodo presentando orbite con periodo 4, 8, 16, 32, 64, volte maggiore alla prima. L’intermittenza è l’altra manifestazione che, per così dire, annuncia il caos nei sistemi dinamici. Questo stato è caratterizzato dalla presenza alterna nel sistema di comportamenti periodici e comportamenti caotici. Si tratta di una sorta di transizione che si riduce via via che il comportamento caotico diventa del tutto predominante. Il terzo modo con cui un sistema può giungere al caos si ha quando insorge un attrattore quasi periodico, rappresentato matematicamente tramite un toro attorno a cui si avvolge la traiettoria del sistema, quando il toro perde di stabilità e avviene la sua rottura, chiamata torus breakdown si ha l’insorgere del comportamento caotico.

L’ultima tra le proprietà dei sistemi caotici, ma per questo non meno importante, è la configurazione dei bacini di attrazione di tipo frattale. Con bacino d’attrazione di un attrattore si indica l’insieme di tutti i punti dello spazio delle fasi che, se assunti come condizione iniziale, portano a ottenere un’evoluzione secondo quel dato attrattore. Il confine di un bacino di attrazione è costituito dall’insieme di punti che separano i bacini di attrazione di due attrattori diversi. Tali confini possono avere delle forme geometriche semplici, costituiti da curve o superfici, oppure possono avere delle forme molto complicate, spesso caratterizzate anche da strutture frattali. Queste complicate strutture sono anche causa dell’impossibilità di predire il comportamento a lungo termine del sistema. Risulta realmente difficile, infatti, stabilire a priori, data una condizione iniziale, caratterizzata da una precisione finita, a quale bacino essa appartenga se i confini fra i diversi bacini sono di natura frattale.

62