In precedenza si è accennato al fatto che esiste una stretta relazione tra autovalori, autovettori e le componenti del segnale ricevuto dovute a sorgenti dislocate in punti diversi dello spazio (interferenze, rumore di sistema, sorgenti astronomiche). Questo è possibile verificarlo direttamente attraverso qualche semplice simulazione con MATLAB.
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
176
5.2.1 Esempio 1
La situazione per l’Esempio 1 viene riassunta in tabella 5.1.
Tab. 5.1: valori assunti dai parametri principali nell’Esempio 1
L’array si compone di 8 sensori ideali (omnidirezionali) distanziati fra loro di λ/2
alla frequenza fM. L’osservazione dura complessivamente 1000 campioni; inoltre R viene stimata, attraverso una media temporale sui dati ricevuti (vedi cap. 3, eq. 3.14), utilizzando finestre (temporali) di 200 campioni.
Una volta che è stata calcolata la matrice Rˆ , quest’ultima viene sottoposta ad una decomposizione di tipo SVD ([22]), tramite cui si è in grado di risalire ai suoi autovalori ed autovettori.
In figura 5.1 viene rappresentato l’andamento degli autovalori di Rˆ , i cui valori esatti, per maggior chiarezza, sono elencati in tabella 5.2.
Tab. 5.2: valori corrispondenti agli autovalori della matrice Rˆ per l’Esempio 1
Come anticipato prima, gli autovalori, che si trovano lungo la diagonale principale della matrice (diagonale) Λ, sono ordinati in modo decrescente.
Parametro Valore
Numero sensori 8
Tipo sensore ideale
Spaziatura sensori λ/2 @ fM
Tempo di osservazione [campioni] 1000 Campioni usati per Rˆ 200
DOA puntamento +20°
DOA RFI 0° -20° +40° -40°
Ampiezze RFI 2 5 3 4
Frequenze RFI 0.10 f 0.25c f 0.30c f 0.40c f c Varianza rumore naturale 2
n
σ 0.001 Varianza rumore artificiale 2
a σ 0.001 Autovalore n° Valore corrispond. 1 2 3 4 5 6 7 8 42154 24076 14456 5707.6 0.26076 0.2211 0.21241 0.19814
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
177
Fig. 5.1: andamento degli autovalori di Rˆ per l’Esempio 1
Dalla figura di sopra appare evidente che vi siano tanti autovalori dominanti (di valore molto superiore a quello degli altri) quante sono le RFI presenti, cioè 4. Questo risultato assume ancor più rilevanza, se si osservano anche gli andamenti degli autovettori corrispondenti ai primi 4 autovalori (dominanti) (figg. 5.2, 5.3, 5.4, 5.5).
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
178
Fig. 5.3: andamento del 2° autovettore di Rˆ per l’Esempio 1
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
179
Fig. 5.5: andamento del 4° autovettore di Rˆ per l’Esempio 1
Ogni autovettore dominante, proiettato sull’asse spaziale, presenta un profilo che assume il proprio massimo assoluto in corrispondenza di una direzione angolare ben precisa, quella di provenienza di una delle RFI.
In particolare, ad autovalori maggiori sono associati autovettori con massimo assoluto in corrispondenza dell’angolo di arrivo di radiointerferenze tanto più intense. In altre parole, un autovalore dominante è tanto maggiore quanto più intensa è l’RFI legata ad esso. Grazie alla perfetta corrispondenza autovalore (autovettore) dominante ↔ RFI, dall’analisi agli autovalori (autovettori) della matrice Rˆ , è possibile stimare (in generale senza ambiguità) la direzione di provenienza delle RFI stesse.
La fig. 5.2 mostra l’andamento del primo autovettore che, essendo associato all’autovalore maggiore, è anche quello che punta alla DOA dell’RFI più intensa (θ2 = 20− °). Un risultato analogo si ha anche per il 2°, il 3° e il 4° autovettore (figg. 5.3, 5.4, 5.5), che “puntano”, rispettivamente, a θ4 = 40− °, θ3 = 40+ ° e
° = 0
1
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
180
Gli autovettori rimanenti (fig. 5.6) non descrivono lo spazio occupato dalle RFI, ma dal rumore astronomico e di sistema: ad essi non viene attribuito un significato particolare in termini di RFI.
Fig. 5.6: andamento del: 5°, 6°, 7° e 8° autovettore della matrice Rˆ per l’Es. 1
5.2.2 Esempio 2
Come secondo esempio, viene riproposto il caso di 4 sensori ideali equispaziati di
8λ alla frequenza fM: di fatto si è nuovamente di fronte al noto problema dell’equivocazione spaziale. Con i parametri di simulazione presentati in tabella 5.3, si ottengono i seguenti autovalori di Rˆ (tab. 5.4 e fig. 5.7).
Tab. 5.4: valori corrispondenti agli autovalori della matrice Rˆ per l’Esempio 2
1 2 3 4 13004 2997.4 0.23186 0.20695
Autovalore n°
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
181
Tab. 5.3: valori assunti dai parametri principali nell’Esempio 2
Fig. 5.7: andamento degli autovalori di Rˆ per l’Esempio 2
Ancora una volta si registrano tanti autovalori dominanti quante sono le RFI presenti nello scenario considerato, cioè 2.
Un’importante osservazione può essere fatta guardando gli andamenti degli autovettori corrispondenti agli autovalori dominanti (si veda la fig. 5.8, in cui, a
Numero sensori 4
Tipo sensore ideale
Spaziatura sensori 8λ @ fM Tempo di osservazione [campioni] 1000 Campioni usati per Rˆ 200
DOA puntamento +2°
DOA RFI -33° +14°
Ampiezze RFI 2 4
Frequenze RFI 0.10 f 0.25c f c
Varianza rumore naturale 2 n
σ 0.001 Varianza rumore artificiale 2
a
σ 0.001
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
182
fianco della rappresentazione di ciascun autovettore, viene riportato il relativo ingrandimento in prossimità della DOA dell’interferenza associata).
Fig. 5.8: andamento dei primi 2 autovettori (dominanti) della matrice Rˆ e loro ingrandimento nell’intorno di θ2 = 14+ ° e θ1 = 33− ° (DOA delle RFI ad essi associati), per l’Esempio 2
Quando la spaziatura tra i sensori è maggiore di λ/2, l’equivocazione spaziale si
rispecchia anche negli autovettori: ad uno stesso autovettore possono essere associate più DOA distinte. In altri termini, si ha equivocazione (ambiguità) nella determinazione della DOA delle RFI. Nel caso preso in esame, il primo autovettore risulta puntare in direzione della RFI di maggiore intensità (θ2 = 14+ °), ma anche in tutte le direzioni equivocate; questo vale, in maniera del tutto analoga, anche per il secondo autovettore.
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
183
5.2.3 Esempio 3
Quale ultimo esempio, si consideri quello che fa riferimento alla ben nota configurazione caratteristica del sistema BEST-1 (tabella 5.4).
Tab. 5.4: valori assunti dai parametri principali nell’Esempio 3
La terza radiointerferenza, con direzione di arrivo θ3 = 30+ °, viene cancellata automaticamente, grazie ad uno zero naturale del beampattern della singola antenna dell’array (fig. a.6 in appendice A; se ne aveva già parlato nell’Es. 5 del cap. 3).
Di questo fatto ci si può rendere conto anche mediante una analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza. Infatti gli autovalori dominanti non risultano essere 3, bensì due, come suggerito dalla tabella 5.5 e dalla figura 5.9.
Tab. 5.5: valori corrispondenti agli autovalori della matrice Rˆ per l’Esempio 3
L’autovettore corrispondente all’autovalore maggiore è legato strettamente all’RFI che si dimostra essere di intensità maggiore, anche in relazione all’andamento del guadagno della singola antenna dell’array. Nel caso in esame, per esempio, l’interferenza di maggiore intensità non è più la seconda ma la
Parametro Valore
Numero antenne 4
Tipo antenna array di 16 dipoli equispaziati di λ/2
Spaziatura antenne 8λ @ fM
Tempo di osservazione [campioni] 1000 Campioni usati per Rˆ 200
DOA puntamento +2°
DOA RFI +10° -23° +30°
Ampiezze RFI 2 4 6
Frequenze RFI 0.05 f 0.25c f 0.15c f c
Varianza rumore naturale 2 n
σ 0.001 Varianza rumore artificiale 2
a σ 0.01 Autovalore n° Valore corrispondente 1 2 3 4 145.46 17.791 0.31667 0.27267
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
184
prima, la quale gode maggiormente del guadagno offerto dall’antenna in direzione
° + = 10
1
θ .
Fig. 5.9: andamento degli autovalori di Rˆ per l’Esempio 3
Tutto ciò trova conferma in fig. 5.10, dove il primo autovettore punta in direzione
° + = 10
1
θ e nelle corrispondenti DOA equivoche, il secondo in direzione
° − = 23
2
θ e nelle corrispondenti DOA equivoche.
Fig. 5.10: andamento dei primi 2 autovettori (dominanti) della matrice Rˆ e loro ingrandimento nell’intorno di, rispett., θ1 = 10+ ° e θ2 = 23− ° (DOA delle RFI ad essi associati), per l’Es. 3
Capitolo 5 Analisi agli autovalori ed autovettori della matrice di covarianza
185
Il terzo autovettore, ad ulteriore dimostrazione che la 3ª RFI è stata abbattuta, non risulta puntare verso θ3 = 30+ ° (fig. 5.11).
Fig. 5.11: andamento del terzo autovettore della matrice Rˆ e suo ingrandimento nell’intorno di °
+ = 30 3
θ (DOA della RFI ad esso associata), per l’Esempio 3