5.1
Introduzione
Fra le tre grandezze dosimetriche descritte nel capitolo precedente è possibile stabilire alcune correlazioni in modo che una data grandezza si possa esprimere in funzione di un’altra. Queste correlazioni sono utili quando la determinazione diretta di una grandezza di interesse risulti più difficoltosa rispetto a un’altra in funzione della quale la grandezza di interesse possa essere indirettamente calcolata o misurata. Nel paragrafo seguente saranno illustrate le condizioni grazie alle quali le correlazioni fra le grandezze dosimetriche possono essere stabilite con maggiore facilità.
5.2
L’equilibrio delle particelle cariche
In un mezzo attraversato da radiazione ionizzante si ha una situazione particolarmente vantaggiosa per poter stabilire correlazioni fra grandezze dosimetriche, se in una data regione al suo interno è realizzata la condizione di “equilibrio delle particelle cariche”. Questa condizione è denotata usualmente con l’acronimo CPE (charged particle equilibrium). Le condizioni di CPE sono verificate nel volume V di un mezzo irraggiato da radiazioni ionizzanti se, per ciascun tipo di particelle cariche entranti in V e uscenti da V si ha:
Tin c Tex c (5.1)
dove
Tin c è il valore atteso della somma delle energie cinetiche di undato tipo di particelle cariche entranti nel volume V e
Tex c è il valoreatteso della somma delle energie cinetiche delle particelle cariche dello stesso tipo uscenti da V. La condizione di CPE esige inoltre che anche le direzioni delle particelle entranti in V e uscenti da V siano mediamente uguali. Se nel mezzo considerato è uniformemente distribuita una sorgente radioattiva che emette radiazione beta e se non agiscono campi elettrici o magnetici che possano influenzare l’energia o il percorso delle particelle cariche, in ogni volume interno a questo mezzo sono evidentemente sempre verificate le condizioni di CPE. È anche evidente che se un mezzo è irraggiato da un fascio monodirezionale di elettroni, al suo interno non potranno mai essere rigorosamente realizzate le condizioni di CPE. Infatti gli elettroni perdono energia lungo il loro percorso e le energie delle particelle cariche entranti in un dato volume V del mezzo saranno sempre maggiori delle energie delle particelle uscenti da esso. Condizioni approssimative di CPE possono essere tuttavia realizzate anche con fasci
monodirezionali di elettroni se la loro energia è sufficientemente elevata e se il volume V di interesse è sufficientemente piccolo.
Nel caso in cui il mezzo è invece irraggiato da radiazione indirettamente ionizzante, le condizioni per avere in un volume V nel mezzo l’equilibrio delle particelle cariche secondarie possono realizzarsi se:
a) il volume V è interno a un volume V’ più grande (dello stesso mezzo) in cui la radiazione primaria considerata sia uniformemente distribuita o abbia una trascurabile attenuazione,
b) la posizione di V è tale che i bordi di V’ abbiano una distanza, d, dai bordi di V uguale o maggiore del range (cfr. § 3.3) di qualsiasi delle particelle cariche secondarie generate in V’ dalla radiazione primaria, ovvero sia d ≥ Rmax dove Rmax è il range delle particelle cariche
secondarie con la massima energia. Uno schema descrittivo delle condizioni per l’esistenza di CPE in un volume V è mostrato nella figura 5.1.
Figura 5.1 - Schema descrittivo delle condizioni necessarie per l’equilibrio delle
particelle cariche secondarie (CPE) in un volume V di un mezzo m. Il mezzo è uniformemente irraggiato da fotoni (linee piene) di energia specificata i quali liberano elettroni con range, R₁ … Rn, di varia lunghezza (linee tratteggiate) a seconda dell’energia cinetica dell’elettrone. Il volume V deve essere contenuto in un volume più grande, V’, tale che al suo interno la fluenza dei fotoni (che irraggiano V e V’) si possa assumere costante. Inoltre la distanza minima, d, fra i bordi dei volumi V e V’ deve essere maggiore o uguale a Rmax, dove Rmax è il range massimo degli elettroni più energetici liberati nel mezzo m dai fotoni considerati. Nell’esempio in figura la condizione di CPE in V è assicurata dalle tracce R₂ e R₃
La dimostrazione che le condizioni a) e b) sono necessarie e sufficienti per avere CPE in V si può ottenere a partire dalle equazioni del trasporto energetico della radiazione nel mezzo considerato. Si tratta di una dimostrazione alquanto laboriosa per la quale si rimanda ad alcune delle fonti citate a fine capitolo (cfr. Kase et al. 1987) e che sarà invece qui sostituita da una dimostrazione di carattere induttivo (cfr. anche Attix 1986).
Si supponga il volume V’ irraggiato da un fascio di particelle indirettamente ionizzanti (ad esempio fotoni) che al suo interno abbia una trascurabile attenuazione. In tal caso si può dimostrare che esiste CPE nel volume V interno a V’ e tale che d ≥ Rmax, ricorrendo a uno specifico
esempio le cui conclusioni possono essere estese a tutti i possibili casi. In base alle ipotesi fatte la radiazione primaria distribuita uniformemente in V’, produce in V’ particelle cariche secondarie che il ogni punto di V’ hanno la medesima fluenza, distribuzione angolare e distribuzione di energia. Si considerino, di queste particelle, quelle che in un dato istante t hanno un’energia cinetica iniziale T₀ e che si propagano lungo una fissata direzione. Si ipotizzi, come mostrato in figura 5.2, che l’energia spesa da una particella per attraversare un diametro massimo del volume V sia pari a 1/3 T₀.
Nell’esempio schematizzato in figura 5.2 sono considerate tre famiglie di particelle cariche liberate in V’ con la stessa energia cinetica T₀, ma in diversi punti di V’. Questi punti: P₁, P₂ e P₃, sono tali che, una volta supposto che le particelle perdano tutte la medesima energia, TV,
nell’attraversare
Figura 5.2 - Schema della dimostrazione induttiva dell’esistenza della condizione di
CPE in un volume V interno a un volume V’ (non mostrato in figura) i cui bordi interni distano da quelli di V di una distanza d ≥ Rmax (v. testo). Il volume V è attraversato da famiglie di particelle cariche liberate in punti diversi di V’ con energia cinetica T₀ ed è tale che ogni particella che lo attraversa perde un’energia pari a T₀/3. Le tracce delle particelle cariche, rappresentate distanti per motivi grafici, si considerano tutte passanti per il centro della sfera. Le frazioni accanto alla traccia di ciascuna famiglia di particelle indicano la frazione di T₀ con cui esse entrano o escono dal volume V
il volume V, sia soddisfatto il bilancio fra le energie Tin, entranti in V e
quelle Tex, uscenti da V.
Il bilancio energetico per le tre famiglie di particelle cariche considerate è descritto nella tabella 5.1 dove si vede che TinTexT0. È immediato verificare che, nelle condizioni date e per un dato diametro del volume V, esisteranno sempre sia diverse energie cinetiche T₀ sia n diversi gruppi di particelle (n ≥ 2) che, scelti opportunamente in relazione alla loro direzione e al loro punto di origine all’interno di V’, potranno far si che TinTex. Ciò è conseguenza del fatto che le
condizioni a) e b) equivalgono ad ammettere che in V’ la distribuzione della fluenza delle particelle secondarie rispetto all’energia, dΦ/dE, e la distribuzione della fluenza delle particelle secondarie rispetto alla direzione, dΦ/dΩ, siano le medesime in ogni punto di V’. La condizione d ≥ Rmax garantisce in particolare che nel volume V possano entrare
particelle cariche con energie da 0 a T₀ (la massima energia con cui possono essere liberate dalla radiazione primaria) poiché tale condizione consente che le particelle cariche secondarie entranti in V possano essere liberate in qualsiasi punto di V’ entro la distanza d dai bordi di V.
Con radiazione primaria indirettamente ionizzante le condizioni di CPE in un mezzo si realizzano tanto più facilmente quanto più alto è il rapporto fra il cammino libero medio della radiazione primaria, λ, in quel mezzo e il range, R, delle particelle cariche secondarie nel medesimo mezzo. In particolare, quanto più elevato è il rapporto λ/R tanto più agevolmente può essere assicurata la condizione b) sopra richiamata per avere CPE. Se la radiazione primaria è costituita da fotoni, queste condizioni si realizzano con ottima approssimazione ad energie inferiori ai 150 keV. A queste energie il cammino libero medio dei fotoni in un mezzo come l’acqua è infatti circa 10³ volte il range degli elettroni con la medesima energia.
Se la radiazione primaria è costituita da neutroni le condizioni di CPE sono praticamente quasi sempre realizzate. A riguardo basti tener presente che le particelle cariche secondarie liberate dai neutroni, sono essenzialmente
Tabella 5.1 - Valori delle energie entranti, cedute e uscenti possedute dalle
particelle considerate nell’esempio della figura 5.2, da cui si vede che ΣTin = ΣTex = T₀
Tin TV Tex
P₁ 1/3 T₀ 1/3 T₀ 0
P₂ 2/3 T₀ 1/3 T₀ 1/3 T₀
P₃ 0 1/3 T₀ 2/3 T₀
particelle pesanti (protoni, particelle alfa, frammenti nucleari ecc.). Queste particelle pesanti hanno un range che in qualsiasi materiale è di diversi ordini di grandezza inferiore al cammino libero medio dei neutroni in quel mezzo.
La possibilità che in un volume di un mezzo attraversato da radiazione ionizzante sussistano le condizioni di CPE consente di ricavare, come si vedrà nei prossimi paragrafi, utili relazioni fra le grandezze dosimetriche dose assorbita, kerma ed esposizione.
5.3
Relazione fra dose assorbita e kerma
Si supponga che il volume V’ indicato in figura 5.1 sia irraggiato da radiazione indirettamente ionizzante (fotoni o neutroni). In tal caso il volume V interno a V’ sarà attraversato sia dalla radiazione primaria indirettamente ionizzante, sia dalla radiazione secondaria (indirettamente e direttamente ionizzante) generata dalla radiazione primaria in V e in V’.
Siano Rin e Rex le somme medie delle energie radianti entranti in V e
uscenti da V, rispettivamente, e sia Q il valore atteso dell’energia Q specificata in relazione alla (4.2). Per piccoli valori di V e della massa, m, contenuta in V e assumendo perciò una uniforme fluenza di energia entro V, la dose assorbita in un generico punto di m è data (cfr. eq. 4.3 ed eq. 4.2) da:
R R Q
m m ε D 1 in ex (5.2)Se Tin eTex sono le somme medie delle energie cinetiche delle particelle
cariche entranti in V e uscenti da V, rispettivamente, ed Eine Eexsono le
somme medie delle energie (esclusa l’energia a riposo) delle particelle neutre entranti in V e uscenti da V, la (5.2) può essere espressa come:
E T E T Q
m
D 1 in in ex ex (5.3)
Se nel volume V sono soddisfatte le condizioni di CPE (cfr. eq. 5.1) la (5.3) si semplifica in:
E E Q
m D in ex CPE 1 (5.4)dove il simbolo “CPE” scritto sopra il segno ”=” indica che la (5.4) è valida solo in condizioni di CPE.
Dalla (5.4) si può dedurre una correlazione fra dose assorbita, D, e kerma, K, tenendo presente la definizione di K e delle sue due componenti Kcol e Krad. Dalle (4.5), (4.4a), (4.4b) e (4.8) si ha infatti:
Ein Eex Q
Kcol Kradm
K 1 * (5.5)
dove *
ex
E è la somma media delle energie della radiazione indirettamente ionizzante uscente da V, non inclusiva dell’energia degli eventuali fotoni prodotti all’interno di V a seguito di perdite radiative (cfr. §§ 3.2.3 e 4.3) da parte delle particelle cariche. Se si indica con Erad
la somma media delle energie dei fotoni derivanti da perdite radiative che le particelle cariche liberate in V hanno sia all’interno di V che al suo esterno, si ha, in base alla definizione di Krad: Krad Erad/m. Sostituendo
quest’ultima relazione nella (5.5), si può esprimere Kcol come:
E E E Q
m
Kcol 1 in ex* rad (5.6)
Se la radiazione indirettamente ionizzante incidente sul mezzo è costituita da fotoni si può realisticamente assumere – avendo fatto inizialmente l’ipotesi che il volume V sia molto piccolo – che sia i fotoni secondari prodotti in V dalle interazioni della radiazione primaria (come ad esempio i fotoni Compton), sia i fotoni prodotti in V a seguito di perdite radiative delle particelle cariche, fuoriescano sempre da V senza aver interagito al suo interno. Per ottenere una correlazione fra l’espressione (5.6) del kerma Kcol e quella della dose assorbita data dalla
(5.4), Kcol si può esprimere in funzione di Eex (sommando e sottraendo ex
E ai termini in parentesi nella 5.6) ottenendo, in base alla (5.4):
ex ex rad
CPE
col D m E E E
K 1 * (5.7)
In riferimento alla (5.7) è importante notare (cfr. Attix 1986) che in un volume V molto piccolo in cui sussistono le condizioni di CPE, l’energia
ex
E è sempre mediamente uguale alla somma delle energie:
Eex* Erad
.Infatti, con riferimento alla figura 5.3, per ogni fotone di energia
exte rad V
ν
h generato all’esterno di V a seguito di perdite radiative di una particella carica eV liberata in V con energia T₀ e uscente da V con
energia Tex, ne esiste sempre (mediamente) un altro generato con
energia
int e rad Vν
h ' all’interno di V a seguito di analoghe perdite radiative di un’altra particella carica eV’ liberata al di fuori di V con la stessa
energia T₀ e la stessa direzione di eV ed entrante in V con energia
Tin = Tex. La condizione che esistano, in egual numero, particelle (eV’ ed
eV) entranti in V e uscenti da V con (mediamente) la stessa energia e
direzione, è garantita dall’ipotesi che in V sussistano le condizioni di CPE. Questa circostanza e la condizione che il mezzo cui si riferiscono i volumi V e V’ sia il medesimo, comportano che le energie dei fotoni
ext e rad V ν h e
int e rad V νLe energie
ext e rad V ν h e
int e rad V νh ' devono essere incluse nel termine Eex
unitamente all’energia
int e rad Vν
h del fotone emesso dalla particella eV a
seguito di perdite radiative che essa può avere anche all’interno di V. Poichè nelle condizioni ipotizzate si ha:
a)
ext e rad e rad rad hν V hν VE int , b) *
int
intV V rad e e rad ex ex E hν hν E e poiché è:
ext e rad V ν h =
int e rad V ν h ', si ha in definitiva: ex rad CPE ex E E E * e quindi dalla (5.7): col CPE K D (5.8)Se la radiazione indirettamente ionizzante incidente sul mezzo è costituita da neutroni, la (5.8) consegue direttamente dalla (5.6) e dalla (5.4) poiché in tal caso si ha: Erad 0 e quindi Eex Eex* .
La (5.8) indica che se in un intorno di un punto P in un mezzo irraggiato da radiazione indirettamente ionizzante sono soddisfatte le condizioni di CPE, la dose assorbita nel punto P risulta uguale al kerma per collisione,
Figura 5.3 - In un mezzo nel quale sussistono le condizioni di CPE all’interno di un
suo volume V quando esso è irraggiato da fotoni, per ogni elettrone secondario, eV, liberato all’interno di V con energia T₀ e uscente da V con energia Tex, viene liberato nel volume V’ all’esterno di V un altro elettrone, eV’, che, mediamente, ha uguale energia iniziale T₀ ed entra in V con energia Tin = Tex e con la stessa direzione di eV. Gli elettroni eV ed eV’ hanno, mediamente, uguali perdite radiative nei medesimi tratti del loro percorso nel mezzo. L’elettrone eV può avere una perdita radiativa all’interno di V con emissione di un fotone di energia
hνrad
inteV , o all’esterno di V con emissionedi un fotone di energia
hνrad
exteV , o dar luogo a entrambi gli eventi. Per l’elettrone eV’,le perdite radiative
hνrad
exteV' e
int e rad V'
hν si hanno (mediamente) negli stessi tratti del suo percorso rispetto a eV, ma, rispettivamente, al di fuori di V ed entro V. Risulta quindi:
hνrad
exteV'=
int e rad V hν e
hνrad
inteV'=
ext e rad V hν .
PKcol , dovuto alla radiazione in quel punto. Nel capitolo 11 (cfr. §
11.2.2.a) sarà descritta la particolare condizione sperimentale dell’equilibrio transiente delle particelle cariche, correntemente denotata come TCPE (transient charged particle equilibrium), grazie alla quale si ottiene un rapporto fra D e K che, pur non essendo uguale a uno (come nella 5.8), risulta tuttavia costante e quindi utile per mantenere comunque una semplice correlazione fra D e K. La (5.8) ha importanti conseguenze pratiche nella dosimetria dei fotoni e dei neutroni. La più immediata fra le diverse implicazioni della (5.8) è la possibilità di determinare il valore della dose assorbita in un mezzo B se si conosce la dose assorbita in un mezzo A, dovuta alla medesima radiazione.
Si supponga infatti di aver determinato la dose assorbita, DA
P , nel punto P in un mezzo A irraggiato da un fascio di fotoni o di neutroni caratterizzati da una fluenza di energia Ψ
E . Se nell’intorno di P sono soddisfatte le condizioni di CPE, si ha dalla (5.8) e dalla (4.6):
A en A col CPE A K Ψ E μρ D (5.9a)Supponiamo ora di voler determinare la dose assorbita in un mezzo B sottoposto alle stesse modalità di irraggiamento. Se in un punto P del mezzo B si ha la stessa fluenza di energia Ψ
E e se nell’intorno di quel punto vi sono le condizioni di CPE, si avrà analogamente alla (5.9a):
B en B col CPE B K Ψ E μρ D (5.9b)Combinando la (5.9a) con la (5.9b) si ha infine
B A en A CPE B D μρ D (5.10) dove la notazione B A indica il rapporto A B
.
Il significato della (5.10) è evidente: conoscendo la dose assorbita in un punto P di un mezzo A esposto a un campo di radiazioni indirettamente ionizzante, si può determinare la dose assorbita in un punto P di un mezzo B irraggiato dallo stesso campo di radiazione indirettamente ionizzante, se si ha nei punti P dei due mezzi la stessa fluenza di energia
EΨ e se nei mezzi A e B sono soddisfatte le condizioni di CPE nei dintorni del punto P cui la dose assorbita è riferita. Tali condizioni si realizzano tanto più rigorosamente quanto più elevato è, per la radiazione considerata, il valore del rapporto λ/R (cfr. § 5.2). L’utilità
pratica della (5.10) deriva dalla possibilità di conoscere la dose assorbita in un mezzo di interesse, quali l’acqua o il tessuto biologico, a partire da una misura di dose assorbita in un altro mezzo, come l’aria, rispetto al quale una misura di D può risultare più agevole (cfr. § 5.4). Quando la radiazione primaria è costituita da fotoni di bassa energia (al di sotto dei 200 keV) o da neutroni, le particelle cariche secondarie prodotte hanno perdite trascurabili per irraggiamento. Gli elettroni secondari generati, ad esempio, da fotoni da 150 keV perdono per irraggiamento meno dello 0,1% della loro energia cinetica lungo tutto il loro percorso. Le particelle cariche secondarie generate dai neutroni sono in genere particelle pesanti (A ≥ 1) per le quali le perdite di energia cinetica per irraggiamento sono di entità ancora minore (cfr. § 3.3.1.b). In entrambe queste situazioni sperimentali il coefficiente di assorbimento di energia, μen, nelle (5.9a e 5.9b) può quindi essere
sostituito dal coefficiente di trasferimento di energia, μtr, tenendo
presente la (3.18) e sapendo che in questi casi il valore di g è praticamente trascurabile. In generale si può sempre ragionevolmente assumere che, per neutroni di qualsiasi energia e per fotoni di energia inferiore a 200 keV, la componente di collisione del kerma sia uguale al kerma totale (Kcol ≈ K). Inoltre, poiché per i fotoni di bassa energia e,
soprattutto, per i neutroni il rapporto λ/R è generalmente alto (cfr. § 5.2), le condizioni di CPE in piccoli volumi sono per questi tipi di radiazioni praticamente sempre soddisfatte. In tali condizioni si può pertanto assumere realisticamente che il valore della dose assorbita in un punto P in un mezzo m coincida, in base alla (5.8), con quello del kerma nello stesso punto: D
P K
P .Va tuttavia ricordato che con la radiazione neutronica l’uguaglianza fra valori di dose assorbita e di kerma può non aver necessariamente luogo nei casi in cui i neutroni abbiano prevalentemente reazioni di cattura radiativa, ovvero reazioni di attivazione neutronica del tipo
n,γ (cfr. § 3.4.4). Queste reazioni possono dare, sia pure in modo indiretto, un contributo aggiuntivo al valore del kerma neutronico a causa degli elettroni liberati dalla radiazione γ di cattura. In questi casi si deve aver cura di verificare che, in base all’energia dei fotoni emessi, le condizioni di CPE siano soddisfatte anche tenendo conto delle particelle cariche liberate dalla radiazione γ. Solo se le condizioni di CPE sono soddisfatte anche per queste particelle cariche, si può ancora considerare approssimativamente valida per i neutroni l’uguaglianza fra dose assorbita e kerma. Per la dosimetria dei neutroni si utilizza il coefficiente di kerma8 per neutroni, definito come:8
Il coefficiente di kerma era denotato in passato come fattore di kerma, locuzione con cui questa grandezza è citata abitualmente nella bibliografia tradizionale. Il termine coefficiente è più appropriato del termine fattore in quanto la grandezza Fn non è adimensionale.
E ρ μ E Z, F tr n (5.11)dove E è l’energia dei neutroni incidenti e μtr,/ρ è il coefficiente di
trasferimento di energia massico per i neutroni e per un dato tipo di materiale (cfr. § 3.4). Se Φ è la fluenza dei neutroni, dalla (4.6) si può dunque scrivere:
Z,E Φ F ρ μ E Φ ρ μ Ψ K tr tr n (5.12)che, nel caso in cui i neutroni abbiano una distribuzione di energie, diventa:
Z,E Φ E E F K max min E E n E d (5.13)I coefficienti di kerma, i cui valori sono riportati in specifiche pubblicazioni (cfr. ICRU 1969, 2000) per svariati materiali e valori di energia, permettono così di risalire al kerma – e quindi alla dose assorbita – da una misura di fluenza dei neutroni.
I neutroni che attraversano un mezzo composto da diversi elementi, possono indurre reazioni diverse ciascuna delle quali fornisce uno specifico contributo al kerma totale. Reazioni diverse possono aver luogo su un medesimo elemento con probabilità dipendenti dall’energia dei neutroni. Se si considerano quindi le varie reazioni possibili, il kerma totale prodotto da un fascio di neutroni di energia E è dato dalla somma su i e j delle componenti Ki,j relative al nucleo bersaglio i-esimo e alla
reazione j-esima: j i Ki,j K , dove Ki,j