Risposta nel tempo

Per estrarre la risposta nel tempo dell'integratore fully-dierential si è posto in ingresso una coppia di segnali avente modo comune pari a VDD/2 ed un

modo dierenziale costante pari a VDD/4. Essendo questo segnale d'ingresso

costante nel tempo ed avendo il circuito un comportamento tempo discreto, il segnale di uscita atteso è una "gradinata" avente ogni gradino di ampiezza (A · VDD)/4 con A il guadagno dell'integratore impostato attraverso il rap-

porto delle capacità (in questo caso A = 0.1). Il risultato della simulazione è mostrato in Fig.5.14 e, come si può vedere, rappresenta proprio la gradinata sopra accennata. Si può notare come al crescere della Vd,out il gradino dimi-

nuisca in ampiezza; questo fenomeno è dovuto a problemi di redistribuzione delle carica durante le varie fasi causato dall'avvicinarsi della saturazione. Il tutto non risulta comunque un problema poiché, come scritto nel capitolo precedente, i coecienti sono stati presi in modo tale da tenere di conto di questa problematica.

Una più attenta analisi permette anche di misurare l'ampiezza dei vari gradi- ni che non risulta quella attesa in fase di progettazione. Questa problematica è dovuta a problemi di guadagno nito che sono presenti in quanto non di- pendono dal guadagno complessivo dell'integratore ma dal solo guadagno del secondo amplicatore [11]. Questa dicoltà verrà risolta una volta posto l'integratore all'interno del modulatore poiché il parametro importante ri- sulta essere il guadagno totale in continua dell'integratore e non l'errore di guadagno che, se non elevato, produce un eetto trascurabile.

5.2.2 Risposta in frequenza

A dierenza dell'analisi in frequenza compiuta per l'amplicatore, in questo caso non è possibile compiere una semplice AC poiché, essendo un sistema tempo discreto, questa non fornirebbe alcun risultato in quanto non in grado di individuare un punto di riposo per poi linearizzare il circuito intorno ad esso. Per fare quindi un'analisi in frequenza vi è bisogno inizialmente di eseguire una PSS (Periodic Steady State), analisi in grado di individuare il regime periodico, e, dopo di essa, un'analisi PAC (Periodic AC ) con lo scopo di estrarre la caratteristica AC desiderata. Si noti come la simulazione basta che venga eettuata con una frequenza massima di fM AX = fclk/2 =

10 kHz poiché, essendo in un dominio tempo discreto, in questo intervallo sono presenti la totalità delle informazioni.

buer. Dai risultati si può estrarre una frequenza di polo fP pari a 325.6 Hz,

molto vicina a quella teorica data dalla 2.24 di 318.3 Hz.

Figura 5.14: Modo dierenziale d'uscita quando in ingresso è posto un segnale costante

5.2.3 Stabilità

Come nel caso precedente dell'analisi in frequenza, anche adesso vi è bisogno di lanciare inizialmente una simulazione PSS seguita, stavolta, da una PSTB (Periodc STaBility).

Dalla simulazione è possibile ricavare un margine di fase pari a 86.72◦ _{ed un}

guadagno d'anello in continua di 60.18 dB.

5.3 Modulatore ∆Σ Fully-Dierential

Del modulatore ∆Σ fully-dierential sono state studiate le performance sia quando in ingresso è posto un segnale dierenziale costante, sia quando que- sto segnale è di tipo sinusoidale. Successivamente, attraverso delle simula- zioni di tipo Monte Carlo, si è cercato di stimare il valore dell'oset.

Come per i casi precedenti tutte le simulazioni sono state ripetute per due tensioni di alimentazioni dierenti (0.3 V e 0.5 V). Si riporta che, per l'analisi del modulatore, la frequenza di clock utilizzata è 20 kHz ed un OSR pari a 128.

5.3.1 Ingresso in continua

Allo scopo di valutare il comportamento del modulatore quando in ingresso è posto un segnale in continua è posta in ingresso allo stesso una coppia di segnali aventi modo comune pari a VDD/2e modo dierenziali costante. La

solita simulazione è stata eettuata per vari valori del modo dierenziale allo scopo di conoscere al meglio il funzionamento del dispositivo.

Per il calcolo dell'ENOB non si è utilizzato lo strumento Spectrum di Spectre (in quanto ottimizzato per la valutazione di parametri non in continua) ma si è applicata la seguente formula ai campioni in uscita dal CIC:

EN OB = N − log₂(ασn) (5.1)

con N il numero di bit di cui è formata l'uscita del CIC, α la banda di rumore desiderata e σn la deviazione standard delle uscite del CIC (espresso

in LSB). La 5.1 è facilmente ricavabile partendo dalla denizione ENOB = log₂(DR) ed applicando semplici passaggi algebrici. Attraverso la 5.1 si può ricavare, impostando α = 6, un valore di ENOB che passa da circa 14 bit per alimentazione di 0.5 V a circa 13 bit per l'altra tensione di alimentazione. In Fig.5.16 è mostrata l'uscita del CIC quando, con alimentazione di 0.5 V, è posta in ingresso una coppia di segnali con modo dierenziale nullo.

L'immagine è interessante anche perché, come si può facilmente vedere nei primi 35 campioni, si ha un chiaro esempio di ciclo limite (paragrafo 1.4.3).

Figura 5.16: Uscita del ltro CIC con alimentazione di 0.5 V e posta in ingresso una coppia di segnali con modo dierenziale nullo

5.3.2 Ingresso sinusoidale

A dierenza dell'ingresso in continua appena analizzato, in questa simulazio- ne si mantiene in ingresso il modo comune dei due segnali a VDD/2 mentre

si varia il modo dierenziale trasformandolo in una sinusoide di ampiezza picco-picco pari a VDD/4. Nella Fig.5.17 è rappresentata l'uscita del CIC con

un'alimentazione di 0.5 V (sopra) e 0.3 V (sotto).

Per la stima dell'ENOB non è stata utilizzata una formula su Matlab ma, bensì, lo strumento Spectrum di Spectre il quale ha fornito in uscita i valori mostrati in Tabella 5.3.

Alimentazione 0.3 V 0.5 V SINAD (dB) 70.04 72.55 ENOB (bit) 11.34 11.76

Figura 5.17: Uscita del ltro CIC ad entrambe le tensioni di alimentazione

Si noti che i risultati estratti e mostrati in tabella risultano leggermente di- versi da quelli attesi teoricamente utilizzando l'equazione 1.39. Questo si ha poiché la suddetta equazione tiene conto unicamente dell'errore di quan- tizzazione ed in alcun modo del rumore kT/C dovuto alle capacità. Per comparare i dati delle simulazioni conviene utilizzare la formula seguente facendo in modo di tenere di conto unicamente del rumore kT/C:

EN OB = log₂(SIN AD) = log₂ VRM S,in σn,th  = log₂ p V2 F S/8 σn,th ! = = log₂  VF S 2√2 · σn,th  (5.2)

dove σn,th è la deviazione standard del solo rumore termico e si ipotizza di

avere in ingresso una sinusoide che abbia un ampiezza picco-picco pari al full scale (VF S). Si riporta che questa formula è più appropriata, rispetto alla

5.1, per l'analisi di dati in AC. Considerando poi la possibilità di dimostrare che la maggior parte del rumore kT/C è dovuta alla capacita CS del primo

integratore si ha: σn,th = r 2kT CS 1 OSR = 24.71 µV

dove il fattore 2 indica che sono presenti due capacità CS che campionano.

Avendo, nel caso di alimentazione a 0.5 V, VF S = 2VDD = 1 V si ottiene:

EN OB = log₂  1 2√2 · 17.47 µV  = 13.80bit mentre per il caso con alimentazione 0.3 V si ricavano 13.06 bit.

La dierenza fra il valore calcolato con la 5.2 ed il risultato estratto dallo strumento Spectrum è dato da due fattori:

• in ingresso al modulatore non viene fornito un segnale che vada a spa- ziare tutta la dinamica ma bensì VDD/4che, se inserito nella 5.2, crea

una perdita di 2 bit raggiungendo i 11.80 bit per alimentazione a 0.5 V e 11.06 bit per 0.3 V;

• essendo un conto per il solo rumore kT/C non sono state tenute di conto tutte le componenti del rumore di quantizzazione e del rumore termico degli amplicatori.

Questi ultimi due valori sono comunque più vicini a quelli estratti dalle si- mulazioni rispetto a quelli che vengono teorizzati dalla 1.39 e quindi si può ipotizzare di essere in una situazione dove il rumore kT/C domina rispetto a quello di quantizzazione.

In Fig.5.18 è mostrato lo spettro in uscita dal modulatore ottenuto tramite lo strumento Spectrum dov'è facilmente visibile l'eetto del Noise Shaping.

5.3.3 Consumo di potenza

Allo scopo di valutare il consumo di potenza complessivo del sistema è stato estratto il valore della corrente in uscita dal generatore rappresentante la tensione di alimentazione. Il suddetto generatore è unico per tutti i blocchi facenti parte del modulatore e, per questo motivo, permette di misurare la potenza totale. L'unico componente non considerato nella valutazione è il ltro CIC in quanto, come detto precedentemente, non implementato a livello transistor. Il valore della corrente è 1.052 µA per l'alimentazione a 0.5 V e 84.28 nA per l'alimentazione a 0.3 V.

Attraverso il consumo di potenza è possibile giungere alla valutazione delle due FOM (Figure Of Merits) principali riguardanti il ∆Σ che sono:

F OMSchreier = F OMS = DRdB+ 10 log

 BW P

Figura 5.18: Spettro in uscita dal modulatore F OMW alden= F OMW = P 2BW · 2EN OB = P 2BW · 2(SIN AD−1.76)/6.02

Adesso, inserendo i dati estratti dalle simulazioni nelle due equazioni sopra, possiamo valutare le FOM per il nostro lavoro riassunte nella Tabella 5.4.

Alimentazione 0.3 V 0.5 V F OMS (dB) 129.04 117.12

F OMW (fJ/step) 62.42 970.63

Tabella 5.4: Valori delle FOM nel nostro lavoro

Nella Tabella 5.5, invece, è riportata una comparazione fra il nostro lavoro ed altri quattro presenti in letteratura.