tan β
Quanto detto in precedenza `e ancora pi `u evidente se si osserva nel detta- glio la simulazione del fenomeno di svuotamento di un serbatoio. Le figu- re (6.4), (6.5), (6.6) mostrano rispettivamente l’idrogramma di piena Q∗(t∗), l’andamento dei livello nell’invaso Z∗(t∗) e del fondo della breccia Y∗(t∗) e la larghezza media b∗(t∗), per G = G∗ = 8 e per altri due valori multipli di G: G = 0.1 G∗ = 0.8 e G = 10 G∗ = 80. Si analizzano ora in dettaglio i singoli casi. Per G = 0.8 e α0 = 2.5, per quanto detto in precedenza, la portata Q∗p decresce all’aumentare di tan β. Inoltre si ha che la breccia `e
(a) α0= 1
(b) α0= 2
(a) α0= 2.5
(b) α0= 4
triangolare o trapezoidale nel momento in cui arriva il colmo in base al va- lore assunto da tan β. Facendo riferimento alla figura (6.4.a) si vede che la portata maggiore e contestualmente lo svuotamento pi `u rapido dell’invaso si hanno per tan β = 0.2. Dalla lettura sinottica delle figure (6.4a) e (6.4b) si deduce inoltre che per tan β = 0.2 e tan β = 0.8, il colmo arriva quando la breccia si `e gi`a erosa fino alla base della diga e che lo svuotamento dell’in- vaso in quell’istante `e completo. Analogamente si osserva che, per valori ancora pi `u grandi di tan β, la velocit`a con cui si abbassa il vertice inferiore della breccia diminuisce sensibilmente e che la portata al colmo in questi casi si verifica con la breccia ancora in fase triangolare. In particolare, se si assume tan β = 2 il fenomeno si esaurisce a t∗= 15, ma ci `o avviene quando il serbatoio `e ancora parzialmente pieno. Ci `o significa che il fenomeno ha termine non per effetto dello svuotamento del serbatoio, ma per la progres- siva diminuzione del tirante nella sezione di controllo della breccia e per il conseguente esaurimento della capacit`a erosiva della corrente. In tutti i ca- si si osserva inoltre che al momento del colmo il livello nell’invaso `e minore di quello iniziale e la percentuale di riempimento `e variabile in funzione di tan β tra il 90% e l’80%. Nella figura 6.4c `e mostrato l’ingrandimento della breccia rispetto al tempo per mezzo della larghezza media adimensionale b∗m. Il valore finale aumenta con tan β, mentre la crescita `e pi `u rapida per i due valori estremi dell’intervallo considerato e minore per valori interme- di di tan β. Se ne deduce che sulla velocit`a di ingrandimento giocano due fattori: per tan β = 0.2 `e prevalente la notevole velocit`a con cui si abbassa il vertice inferiore della breccia che provoca anche l’aumento della larghezza b∗m. Per tan β = 2 la dY∗/dt`e notevolmente minore, per cui lo svuotamento pi `u lento del serbatoio e il valore maggiore dell’inclinazione delle sponde favoriscono l’aumento di b∗m. Poich´e la larghezza media della breccia b∗m `e rappresentativa dell’area della sezione trasversale della breccia e quin- di anche del volume eroso, `e interessante notare che l’idrogramma con il massimo valore del colmo `e anche quello che produce il minore volume eroso.
In figura 6.5 `e mostrato il fenomeno di ingrandimento per G = G∗ = 8. In figura 6.5.a sono riportati gli idrogrammi di piena da cui si vede che seb- bene per tan β = 0.2 e tan β = 2 si abbia praticamente la stessa portata al colmo adimensionale, gli idrogrammi sono sensibilmente diversi. In questo caso la portata al colmo `e raggiunta in fase trapezoidale per qualsiasi valore di α0. Nel momento in cui si verifica il colmo il livello `e circa l’80% di quel- lo iniziale e nel momento in cui la breccia diventa trapezoidale, specie nei casi con i valori pi `u piccoli di tan β, il livello nell’invaso `e pressoch´e quello iniziale (Fig. 6.5.b). Ancora una volta per tan β = 0.2 si ha lo svuotamento pi `u rapido, mentre negli altri casi si osserva un abbassamento del livello nell’invaso molto simile che produce una serie di idrogrammi di piena po- co influenzati da tan β. Per quanto riguarda l’allargamento della breccia mostrato in figura 6.5.c non si sono riscontrate sostanziali differenze con il
caso precedente.
Infine in figura 6.6 `e illustrato il caso caratterizzato da G = 10 G∗ = 80, cio`e si `e nella situazione di dighe con un notevole volume invasato in re- lazione all’altezza della diga. In questi casi si osserva che il tempo in cui si verifica il colmo `e poco influenzato da tanβ. Il fenomeno si svolge qua- si interamente con la breccia trapezoidale, infatti qualunque sia il valore assegnato a tan β, la fase triangolare ha una durata estremamente ridotta se confrontata con la durata dell’intero fenomeno. L’andamento dei livel- li `e simile per tutti i casi analizzati, infatti nel momento in cui il vertice inferiore della breccia raggiunge la base della diga la percentuale di riem- pimento dell’invaso `e di poco inferiore a quella iniziale, e nel momento in cui `e raggiunta la portata al colmo la percentuale di riempimento dell’in- vaso `e di circa l’80% (Fig. 6.6.b). Per quanto riguarda l’allargamento della breccia, anche in questo caso la larghezza media finale massima `e ottenuta per tan β = 2 e decresce con tan β.
(a) Idrogramma di piena adimensionale Q∗
(b) Andamento dei livelli Z∗e della quota del fondo della breccia Y∗
(c) Larghezza media della breccia b∗
Figura 6.4: Andamento temporale dell’idrogramma e dei parametri della breccia per G = 0.8 e α0= 2.5.
(a) Idrogramma di piena adimensionale Q∗
(b) Andamento dei livelli Z∗ e della quota del fondo della breccia Y∗
(c) Larghezza media della breccia b∗
Figura 6.5: Andamento temporale dell’idrogramma e dei parametri della breccia per G = 0.8 e α0= 2.5.
(a) Idrogramma di piena adimensionale Q∗
(b) Andamento dei livelli Z∗ e della quota del fondo della breccia Y∗
(c) Larghezza media della breccia b∗
Figura 6.6: Andamento temporale dell’idrogramma e dei parametri della breccia per G = 0.8 e α0= 2.5.