Shortfall Deviation Risk - Shortfall Deviation Risk: Un'alternativa ai tradizionali modelli di

Marcello Brutti Righi e Paulo Sergio Ceretta presentano nel Journal of Risk il Shortfall deviation risk (SDR), una misura di rischio che rappresenta la perdita attesa che si verifica con una certa probabilità penalizzata dalla dispersione di risultati che sono peggiori di una tale aspettativa. L’SDR combina l’expected shortfall (ES) e lo shortfall deviation (SD), che contempla due pilastri fondamentali del concetto di rischio: la probabilità di eventi avversi e la variabilità di una previsione, considerando i risultati estremi. Si dimostrerà che SD è una misura di deviazione generalizzata, mentre SDR è una misura coerente di rischio. Si otterrà una doppia rappresentazione dell’SDR e si discuterà su questioni come

la sua rappresentazione con un ES ponderato, i set di accettazione, la convessità, la continuità e la sua relazione con la dominanza stocastica. Illustrazioni con dati reali e simulati ci permettono di concludere che SDR offre una maggiore protezione nella misurazione dei rischi rispetto a VaR e ES, soprattutto in tempi di notevole turbolenza in scenari più rischiosi20_.

Come già visto in precedenza la misura classica del rischio, il VaR, ha delineato due importanti limiti, Subadditività e la non considerazione delle perdite eccedenti l’intervallo di confidenza. Pertanto in letteratura si è iniziato a proporre e criticare

le proprietà teoriche di una misura di rischio. Sono emersi diversi studi: una classe di misure di rischio coerenti è stata sviluppata e introdotta da Artzner et al. (1999), che presentano assiomi per una misura di rischio per l'uso in questioni pratiche.

20_{M.Brutti Righi, P.S. Ceretta, Shortfall Deviation Risk: An alternative for risk measurement, in}

Così, le discussioni teoriche sulle misure di rischio cominciarono ad acquisire attenzione nella letteratura, con meno enfasi dedicata ad analisi che sono state condotte solo da una prospettiva empirica. Sono state sviluppate altre classi di misura del rischio, Incluse misure convesse, presentate simultaneamente da Föllmer e Schied (2002) e Frittelli e Gianin (2002), misure spettrali proposte da Acerbi (2002) e misure di deviazione generalizzate introdotte da Rockafellar et al. (2006).

Alcuni studi affrontano la mancanza di coerenza del VaR e le alternative presenti che soddisfano gli assiomi. Pertanto, il valore atteso delle perdite che supera il VaR è stato difeso come misura potenziale di rischio. Alcuni autori hanno proposto concetti simili utilizzando nomi diversi per riempire il divario identificato. Acerbi e Tasche (2002) presentano l'expected shortfall (ES), Rockafellar e Uryasev (2002) e Pflug (2000) introducono il Conditional Value at Risk (CVaR), Artzner et al. (1999) affermano Tail conditional Expectation (TCE), che è anche definita come

Tail Value at Risk (TVaR) e Worst conditional expectation (WCE), Longin (2001)

presenta il Beyond Value at Risk (BVaR), Föllmer e Schied (2011) si riferiscono ad esso come il Average Value at Risk (AVaR).

Questi studi indicano i vantaggi della misura proposta rispetto al VaR. Sebbene queste misure abbiano definizioni estremamente simili, ES è la misura più coerente di rischio in materia di finanza. Come dimostrato da Acerbi e Tasche (2002), queste definizioni producono gli stessi risultati quando applicati ai dati con distribuzioni continue. Questi autori mostrano che il vantaggio della definizione di ES è la sua coerenza, indipendentemente dalla distribuzione sottostante e dalla sua

efficacia in stima anche nei casi in cui gli estimatori VaR possono fallire. Acerbi e Tasche (2002) discutono le proprietà della coerenza ES e confrontano diverse rappresentazioni della misura, più adatte a talune proposte. Nella ricerca di un'alternativa adeguata al VaR, Tasche (2002) rileva che ES è stato caratterizzato come misura di rischio più rilevante.

Nonostante i vantaggi dell’ES, questa misura è meno utilizzata rispetto a VaR

perché la previsione di ES è impegnativa a causa della sua complessa definizione matematica. Sono stati condotti studi per confrontare VaR e ES, oltre ad altre misure, con risultati divergenti in merito ai vantaggi della loro applicazione. Sebbene la valutazione del rischio di mercato con il VaR sia in molti casi errata, l'implementazione di ES è difficile o non affronta l'intera definizione di rischio, come suggerito da Yamai e Yoshiba (2005), Dowd e Blake (2006) e Guégan e Tarrant (2012). Altri studi indicano che il VaR non è così cattivo e l'uso di ES può produrre scarsi risultati, come notato da Alexander e Baptista (2004), Dhaene et al. (2008), Wylie et al. (2010), Bamberg e Neuhierl (2010) e Daníelsson et al. (2013).

A causa della mancanza di un consenso in merito ad una misura di rischio appropriata, diversi studiosi hanno cercato di determinare quelle ottimali. Le misure coerenti, come il Weighted Value at Risk (WVaR) proposto da Cherny (2006), che è una versione ponderata di misure come ES e CVaR. Un altro esempio è la misura Entropic Value at Risk (EVaR) proposta da Ahmadi-Javid (2012), che corrisponde al limite massimo restrittivo ottenuto da una disuguaglianza tra VaR e CVaR. Jadhav et al. (2013) presenta la Modified Expected Shortfall (MES), che

rappresenta il valore atteso delle perdite che si trovano tra il VaR e il negativo di un altro quantile di interesse ed è sempre minore di ES. Fischer (2003) considera misure unilaterali che combinano la media e la semi-deviazione nei momenti più alti, mentre Chen e Wang (2008) considerano le misure bilaterali che incorporano anche la semi-deviazione dei guadagni. Krokhmal (2007) considera anche momenti più alti per ottenere misure di rischio coerenti come soluzioni per problemi di ottimizzazione che considerano la dispersione delle perdite. Fölmer e Schied (2002) presentano la misura Shortfall Risk (SR), che è il valore previsto di una funzione convessa e crescente di perdita. Belles-Sampera et al. (2014) presentano il glue value at risk (GLUEVaR), che è una combinazione di TVaR per due quantile diversi con VaR di uno dei due quantili.

Data la necessità di nuove misure, sono stati proposti anche approcci che non garantiscano la coerenza o la fuga dal punto di vista tradizionale. Jarrow (2002) presenta una misura basata sul premio opzioni put. Bertsimas et al. (2004) suggerisce il concetto di differenza tra la perdita attesa e ES. Chen e Yang (2011) introdurranno la WES (Weighted Expected Shortfall), che è una versione ES che assegna pesi non lineari diversi a perdite che superano il VaR. Belzunce et al. (2012) utilizza il rapporto tra ES e VaR, che viene chiamato "Proportional

expected shortfall" (PES), per ottenere una misura universale per i rischi di diversa

natura. Lee e Prékopa (2013) sviluppano la teoria e la metodologia del VaR e CVaR multivariato basati sull'adattamento di quantili multivariati. Hamel et al. (2013) presentano l'AVaR multivariato definito in set, piuttosto che scalare o addirittura un vettore.

Nonostante la proposta di altre misure di rischio per i mercati finanziari, queste misure non hanno ottenuto la stessa quantità di successo di VaR o ES a causa della loro complessità o della loro stretta relazione con l'ES. Il valore atteso delle perdite è diventato l'obiettivo primario. Tuttavia, il concetto di variabilità, che è uno dei pilastri del concetto di rischio, viene ignorato in questa definizione di misura del rischio.

Brutti Righi e Ceretta vogliono proporre una misura di rischio che include il grado di dispersione di una perdita estrema congiuntamente al suo valore atteso nella misurazione del rischio. Poiché due posizioni finanziarie con lo stesso rendimento atteso possono presentare variabilità diverse quando vengono considerati tutti i dati disponibili, e possono anche derivare discrepanze se vengono considerati solo i valori estremi.

In questo studio, si considera la dispersione, misurata dalla semi-deviazione di risultati che rappresentano perdite maggiori dell’ES. Questa deviazione è denominata Shortfall Deviation (SD). Utilizzando i concetti di ES e SD, si intende introdurre una nuova misura di rischio, il Shortfall deviation Risk (SDR), che può essere definito come la perdita attesa, quando essa supera il VaR, penalizzato dalla dispersione di risultati che rappresentano perdite maggiori rispetto a questa aspettativa. Anche se questa caratteristica viene ignorata da ES e misure correlate, essa è inclusa in SDR. Oltre a combinare i due concetti fondamentali di rischio, la probabilità di risultati scarsi (ES) e la variabilità di un risultato atteso (SD) in una singola misura, la SDR considera le code, che rappresentano momenti di turbolenza. Pertanto, l'SDR può essere descritta come una misura più completa in

questo senso. L'SDR supera l’ES perché produce valori più elevati dovuti a penalità per dispersione e può servire come una barriera di protezione più solida. Sulla base di questa prospettiva, discutiamo in dettaglio la definizione SDR e dimostriamo le sue proprietà teoriche.

SD è una misura di deviazione generalizzata, come proposto da Rockafellar et al. (2006), mentre l'SDR è una misura coerente di rischio nel senso di Artzner et al. (1999). Oltre alla sua concreta definizione pratica, la SDR possiede solide proprietà teoriche che garantiscono il suo utilizzo senza violare ipotesi assiomatiche.

Nel delineare le proprietà teoriche dell’SDR è opportuno illustrare le definizioni di SDR, SD, VAR ed ES.

Con X ∈ Lp. Dato un livello di significato 0 ≤ α ≤ 1:

𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = −𝑖𝑛𝑓 {𝑥 ∶ 𝐹_𝑥(𝑥) ≥ 𝛼} = −𝐹_𝑥−1(𝛼) = −𝑞_𝛼(𝑋). 𝐸𝑆𝛼(𝑋) = −𝐸_ℙ[𝑋|𝑋 ≤ 𝑞_𝛼(𝑋)] = −𝑒_𝛼(𝑋). 𝑆𝐷𝛼(𝑋) = (𝐸_ℙ[|(𝑋 − 𝑒_𝛼(𝑋))−|𝑝]) 1 𝑝 _{= ‖(𝑋 − 𝑒} 𝛼(𝑋))−‖𝑝 𝑆𝐷𝑅𝛼(𝑋) = 𝐸𝑆𝛼(𝑋) + (1 − 𝛼)𝛽𝑆𝐷𝛼(𝑋), 𝛽 ≥ 0.

VaR è il quantile 𝑞_𝛼 di 𝑋, che viene aggiustato dal segno negativo e rappresenta una perdita tra 0 e T che viene superata soltanto con una probabilità α. VaR non tiene conto delle informazioni oltre il quantile di riferimento, solo il punto stesso. ES supera questa difficoltà perché rappresenta l'aspettativa di X, regolata dal segno negativo, condizionata a X e rappresenta una perdita più elevata del VaR, cioè una

perdita estrema. Brutti Righi e Ceretta affermano che la dispersione troncata dall’ES sia considerata come un termine di sanzione. Questa misura è l’SD, che è la semi-deviazione rispetto all’ES. I valori distinti di p possono incorporare momenti più alti di X. Sulla base di queste definizioni, si sviluppa una misura di rischio che regola il rischio di perdite estreme attraverso la sua dispersione. Due posizioni possono presentare la stessa perdita di coda, ma diverse dispersioni. Mentre una posizione ha una certa perdita attesa, un'altra posizione può presentare la dispersione in modo tale che si possano verificare perdite eccessivamente elevate. Sulla base di questo ragionamento, nasce l'SDR.

L’obiettivo è quello di dimostrare che l’SDR è una misura coerente di rischio;

pertanto è necessario che tale modello rispetti gli assiomi di Artzner et al. (1999), ovvero:

• Invarianza per traslazione: 𝜌 (𝑋 + 𝐶) = 𝜌 (𝑋) − 𝐶, ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝_{, 𝐶 ∈ ℝ.}

• Subadditività: 𝜌 (𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜌 (𝑋) + 𝜌 (𝑌), ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿𝑝_.

• Monotonicità: 𝑠𝑒 𝑋 ≤ 𝑌, 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝜌 (𝑋) ≥ 𝜌 (𝑌), ∀𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿𝑝_.

• Omogeneità positiva: 𝜌 (𝜆𝑋) = 𝜆𝜌 (𝑋), ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝_{, 𝜆 ≥ 0.}

Inoltre, una misura coerente di rischio può rispettare anche i seguenti assiomi: • Rilevanza: se 𝑋 ≤ 0 𝑒 𝑋 ≠ 0, allora 𝜌 (𝑋) > 0, ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝_.

• Struttura: 𝜌 (𝑋) ≥ −𝐸_ℙ [𝑋], ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝

• Invarianza dalla legge: se 𝐹_𝑋 = 𝐹_𝑌 , allora 𝜌 (𝑋) = 𝜌 (𝑌), ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿𝑝. Il primo assioma assicura che se aumenta i profitti in una posizione, il suo rischio dovrebbe diminuire nella stessa quantità. Il secondo assioma, basato sul principio della diversificazione, implica che il rischio di una posizione combinata sia

inferiore alla somma dei singoli rischi. Il terzo assioma richiede che se la prima posizione genera sempre peggiori risultati rispetto alla seconda posizione, il rischio della prima posizione sarà sempre maggiore del rischio della seconda posizione. Il quarto assioma è correlato alla dimensione di una posizione, cioè il rischio aumenta proporzionalmente con la dimensione di una posizione. L'assioma di rilevanza assicura che se una posizione genera sempre dei risultati negativi (perdite), allora il suo rischio è positivo. L'assioma di rigorosità assicura che la misura sia sufficientemente conservatrice per superare l'aspettativa comune di perdita. L'assioma di invarianza dalla legge, presentato per misure di rischio coerenti da Kusuoka (2001), assicura che due posizioni che hanno la stessa funzione di probabilità abbiano uguali rischi. Questa caratteristica è importante per la misurazione del rischio nella pratica, quando vengono impiegati dati reali che dipendono da una legge.

Poiché la misura SDR è una combinazione tra ES e SD, il primo passo è quello di comprendere le proprietà teoriche di SD dato che l’ES è già stato ben definito in precedenza. Poiché è un coefficiente di dispersione, l’SD rientra nel concetto di misure di deviazione generalizzata proposte da Rockafellar et al. (2006).

Una funzione 𝒟: 𝐿𝑝_{→ ℝ}

+ è una misura di deviazione generalizzata se completa

i seguenti assiomi:

• Invarianza per traslazione: 𝒟 (𝑋 + 𝐶) = 𝒟 (𝑋), ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝_{, 𝐶 ∈ ℝ}

• Omogeneità positiva: 𝒟 (λ𝑋) = λ𝒟 (𝑋), ∀ 𝑋∈𝐿𝑝_{, λ≥0.}

• Non-negatività: 𝒟 (𝑋) ≥ 0, ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝, con 𝒟 (𝑋) > 0 𝑝𝑒𝑟 𝑋 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

Inoltre, una misura di deviazione generalizzata può rispettare gli assiomi: • Dominanza inferiore: 𝒟 (𝑋) ≤ 𝐸_ℙ[𝑋] − 𝑖𝑛𝑓 𝑋, ∀ 𝑋 ∈ 𝐿𝑝

• Invarianza dalla legge: se 𝐹_𝑋 = 𝐹_𝑌, allora 𝒟 (𝑋) = 𝒟 (𝑌), ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿𝑝. Il primo assioma indica che la deviazione rispetto al valore atteso non cambia se viene aggiunta una costante. Il secondo assioma afferma che il rischio di una posizione finanziaria aumenta proporzionalmente la sua dimensione. Il terzo assioma assicura che il principio della diversificazione sia acquisito dalla misura. Il quarto assioma è simile al concetto di pertinenza, il che indica che qualsiasi posizione non costante presenta deviazione non negativa. L'assioma di Dominanza inferiore limita la misura di deviazione ad un intervallo che è inferiore all'intervallo tra il valore atteso e il valore minimo della posizione X. L'assioma Law Invariance implica che le posizioni finanziarie con la stessa distribuzione di probabilità hanno anche lo stesso rischio e garantisce che le misure di deviazione generalizzate possono essere stimate da dati reali.

L’obiettivo principale è quello di proporre la misura del rischio SDR, che

considera il grado di dispersione di una perdita estrema oltre al suo valore atteso. SDR è una combinazione di ES con il concetto SD presentato in questo studio e può essere definito come la perdita attesa quando questa perdita supera il VaR, penalizzata dalla dispersione sopra questa aspettativa. Pertanto, l’SDR combina due concetti di rischio fondamentali, la probabilità di risultati negativi (ES) e la variabilità di un risultato atteso (SD), e considera le code, che rappresentano

risultati estremi. Così, l’SDR ha un concetto solido e conferisce una protezione più

solida a causa di una dispersione.

L’SD è una misura di deviazione generalizzata che soddisfa gli assiomi della

invarianza per traslazione, omogeneità positiva, subadditività, non-negatività, dominanza inferiore e assiomi di legge. Sulla base di questi assiomi, si deduce e si definisce una busta di rischio e una doppia rappresentazione di SD. Sulla base delle proprietà SD, otteniamo risultati teorici per SDR. L'SDR è determinata come misura coerente di rischio che soddisfa gli assiomi di Inversione, Subadditività, Monotonia, Omogeneità Positiva, Rilevanza, Rigidezza e Invarianza dalla Legge. L'SDR produce valori superiori a quelli dell’ES ma è limitata dalla perdita massima e dagli aumenti di quantile più estreme, come si desidera per una misura del rischio di coda. Sulla base di questi risultati teorici, otteniamo la duplice rappresentazione di SDR.

Brutti Righi e Ceretta hanno effettuato simulazioni su dati reali per esplorare tali concetti in modo più pratico. I risultati basati sulla simulazione Monte Carlo sono impiegati per illustrare il rapporto con le misure di rischio predominanti, VaR e ES, per diversi scenari e periodi. L'attenzione non è l'analisi di temi come la modellazione, backtesting o addirittura i dettagli sulle diverse applicazioni finanziarie, ma il comportamento dell'SDR quando applicato ai dati finanziari. Le seguenti tre figure mettono in relazione il VAR, l’ES e l’SDR in base alle

simulazioni effettuate da Brutti Righi e Ceretta, prendendo in considerazione una dimensione del campione pari a N=106.

La prima figura mostra la coda sinistra di un ipotetico campione 𝑋~𝑁(0,1) con 𝛼 = 0.01, 𝑝 = 2 𝑒 𝛽 = 1. La seconda figura rappresenta una gaussiana 𝑋~𝑁(0,1)

senza code pesanti, mentre la terza figura rappresenta una distribuzione t di Student’s con code pesanti 𝑋~𝑡₆, che meglio rappresenta il comportamento delle

variabili finanziarie.

Fonte: op.cit., 2016.

La seconda e terza figura mostrano che le misure raggiungono valori più alti quando sono presenti le code pesanti. La misura SDR è sempre superiore a ES, che è al di sopra del VaR, come spiegato in precedenza. Questa differenza aumenta nella direzione dei quantili più estremi nel caso della distribuzione di Student's, mentre il comportamento opposto è osservato per il caso della Gaussiana. Ciò può essere spiegato dal comportamento della Shortfall deviation, SD, che aumenta nei quantili estremi nel caso della distribuzione t di Student, ma diminuisce nel caso della distribuzione Gaussiana a causa della maggiore probabilità che si verifichino eventi estremi. Tutte le misure tendono ad essere equivalenti ai valori 𝑠𝑢𝑝 − 𝑋 = −𝑖𝑛𝑓𝑋 quando α tende a zero.

La componente SD assume valori inferiori a quelli di VaR e ES, e di conseguenza ha una quota relativa inferiore nella determinazione dell’SDR. La SD diventa molto importante, soprattutto in scenari con maggiore turbolenza e una maggiore probabilità di grandi perdite. L'utilizzo di SDR è fondamentale nella gestione dei rischi finanziari. Per quanto riguarda la correlazione, essa diventa significativa negli scenari con la distribuzione di Student's. In contesti di maggiore rischio, la SDR presenta valori superiori rispetto a ES e VaR, anche per le misure che catturano informazioni simili e possono fornire una maggiore protezione.

Gli studi che discutono le implicazioni pratiche delle proprietà teoriche dello SDR, il suo ruolo nell'identificazione di diversi tipi di rischio o anche la sua coerenza nella gestione dei rischi delle istituzioni in relazione ad altre misure concorrenti sono esempi di possibili applicazioni nella pratica all’interno del Risk

Un'altra applicazione è l'utilizzo di misure di rischio nei requisiti patrimoniali da un'istituzione o da un agente. Questa applicazione è strettamente legata al concetto di accettazione, che rappresenta l'importo dei fondi che un'istituzione deve mantenere per raggiungere una posizione accettabile o per evitare il default. Poiché SD rappresenta la dispersione attorno al valore atteso della posizione quando si verifica un risultato estremo, una maggiore protezione può essere ottenuta considerando la dispersione sull'ES come fattore di correzione, il che comporta una minore probabilità di default.

Un altro campo per l'applicazione della misura SDR è l'allocazione delle risorse, basata sulle tecniche di costruzione e analisi dei portafogli. Un aspetto fondamentale dell'ottimizzazione del portafoglio è che la funzione oggettiva deve possedere la proprietà della convexity. Sulla base degli assiomi dell'omogeneità positiva e della subbadditivà, l’SDR ha questa proprietà. Pertanto, gli studi che propongono di minimizzare il rischio di un portafoglio con SDR come funzione oggettiva o anche come restrizione per altri tipi di strategie, possono contribuire alla letteratura indicando alternative per l'analisi degli investimenti basata su altre misure di rischio.

A causa delle proprietà di continuità e dell'assioma di Law Invariance, che sono associate alla proprietà di convessità, SDR rispetta l'avversione al rischio di agenti. È quindi possibile utilizzare SDR nello sviluppo di modelli per il processo decisionale.

Altre possibili applicazioni di SDR in finanza sono la sostituzione di altre misure in diversi problemi. Si raccomanda pertanto gli studi che utilizzano SDR per lo

sviluppo di modelli di determinazione dei beni, la determinazione dei premi per opzioni o altri derivati e la diagnosi di stress finanziario in tempi turbolenti.

CAPITOLO 4

4.1 Studio numerico su un portafoglio azionario: Value At Risk, Expected

Nel documento Shortfall Deviation Risk: Un'alternativa ai tradizionali modelli di misurazione del rischio di mercato (pagine 82-97)