Un ruolo importante nello sviluppo del GPD `e stato giocato da un software Monte Carlo. Le simulazioni hanno guidato l’ottimizzazione dell’algoritmo di ricostruzione e la scelta della mis- cela di gas che riempie la cella a gas, consentendo di studiare facilmente diverse configurazioni in modo da poter testare con misure solo quelle pi`u interessanti. Il software Monte Carlo `e stato utilizzato come guida nella scelta delle miscela di gas utilizzate in questa tesi.
Il programma Monte Carlo descrive accuratamente le operazioni del GPD. La profondit`a nella cella a gas dove i fotoni vengono assorbiti viene calcolata a partire dalla sezione d’urto per assorbimento fotoelettrico per la miscela specifica, consentendo lo studio degli effetti della diffusione nel campo di drift. I fotoelettroni vengono emessi con angoli θ e φ secondo la distribuzione
f (θ, φ) ∝ sin (θ)dσdΩph (5.10) Il fattore sinθ tiene conto che l’elemento di angolo solido deve essere espresso in funzione di dθ e dΩ = sinθdθdφ. Prendendo dall’equazione precedente solo la dipendenza angolare
f (θ, φ) = sin " 1 + b 2 3sin2 θcos2 φ (1 + βcosθ)2 − 1 !# (5.11)
Figura 5.1: Esempio di traccia con su riportati l’asse della distribuzione di carica (in nero) e la direzione di emissione del fotoelettrone (in rosso)
Si considerano gli assorbimenti da parte delle shell K (1s) e L (2s e 2p), e le probabilit`a relative di interazione di ciascuna shell per diversi elementi sono riportate nella tabella. Da notare che il contributo dell’orbitale 1s, che `e completamente modulato per fotoni polarizzati, `e sempre dominante. Nella tabella 5.1 `e riportato anche il parametro di asimmetria b dell’orbitale 2p. Sia b che le probabilit`a di assorbimento sono calcolati all’energia della K-shell E1s di ciascun
elemento. Questi valori sono utilizzati anche ad energie maggiori di E1s poich´e i dati attuali
non sono disponibili in letteratura.
Elemento E1s (keV) P1s(%) P2s(%) P3s(%) b
carbonio 0.284 95.2 4.2 0.6 0.958 ossigeno 0.543 94.1 4.3 1.6 0.955 neon 0.870 93.3 4.2 2.5 0.955 argon 3.206 92.0 5.1 2.9 0.820
Tabella 5.1: parametro di asimmetria b e probabilit`a relative di fotoassorbimento per orbitali atomici interni di alcuni elementi
La propagazione dei fotoelettroni e degli elettroni Auger viene calcolata sulla base degli algoritmi sviluppati da Joy ([29]) Si assume che il cammino degli elettroni venga scatterato solo dalle collisioni coulombiane elastiche sugli atomi, mentre gli scattering anelastici vengono trascurati. La loro probabilit`a `e inversamente proporzionale alla perdita di energia ∆Ee e
produce deflessioni dell’ordine di ∆Ee/Ee. Perci`o sono probabili solo piccole perdite di energia
con conseguenti piccole deflessioni.
La distanza che intercorre fra due collisioni successive viene calcolata in base al libero cammino medio λ nel gas:
λ = A NAρσscat
(5.12)
dove A `e il numero di massa degli atomi, ρ la densit`a del gas e NA il numero di Avogadro. La
sezione d’urto per scattering σscat viene calcolata dalla formula
σscat= 4.7 · 10−18 Z1.33 + 0.032Z2 Ee+ 0.0155Z1.33Ee0.5 1 1 − 0.02Z0.5 e−u2 (5.13) dove u = log108EeZ−1.33
. L’equazione 5.13 `e una parametrizzazione della sezione d’urto di Mott ([30]) e viene preferita all’espressione di Rutherford poich´e fornisce una migliore approssimazione per Z ≥ 30 e Ee ≤
20 keV.
Nel caso del GPD i fotoelettroni si propagano in una miscela e la sua composizione viene usata per calcolare una media del libero cammino medio ¯λ, la probabilit`a di una collisione dopo
un tratto d essendo P = exp (−d/λ). Un valore di d con questa distribuzione viene calcolato dalla relazione
d = −¯λ ln (RND) (5.14) dove RND `e un numero random compreso tra 0 e 1. Eventualmente l’elemento della miscela che interagisce con gli elettroni viene selezionato in base ai valori relativi delle sezioni d’urto.
La direzione di emissione dopo la collisione `e caratterizzata rispetto a quella di incidenza dall’angolo di scattering ψ e dall’angolo azimutale ω. Quest’ultimo `e uniformemente distribuito fra 0 e 2π mentre ψ `e dato dall’espressione ([29])
cos (ψ) = 1 − 2αscreen(RND)
2
1 + αscreen− RND
(5.15)
dove RND `e un numero random e
αscreen = 3.4 · 10−3
E0.67
E
`e il fattore di schermaggio di Rutherford. L’equazione 5.15 fornisce una buona approssimazione per la distribuzione angolare degli elettroni scatterati tranne che alle basse energie (Ee≤ 1keV).
Sotto questa soglia possono essere usate le sezioni d’urto di Mott tabulate ma nel nostro codice vengono trascurate. Il cammino di un elettrone al di sotto di 1 keV `e molto breve (< 10 µm) e potrebbe non essere risolto dallo strumento con una miscela standard.
Si assume che gli elettroni perdano continuamente energia tra una collisione e la sucessiva. Le perdite di energia sono distribuite uniformemente lungo il cammino tra le interazioni e includono ionizzazioni e scattering anelastici, espressi tramite una formula semiempirica di Bethe modificata: dEe dξ = −78500 Z AEe ln 1.166 (Ee+ 0.85J) J ! (5.16)
dove ξ `e il prodotto tra cammino dell’elettrone e densit`a della miscela. Il secondo termine nel logaritmo corregge la formula di Bethe per energie sotto pochi keV. Il valore del potenziale di ionizzazione medio J rappresenta la perdita effettiva di energia per interazione e la sua dipendenza da Z `e parametrizzata da J = 9.76Z + 58.5 Z0.19 · 10−3keV (5.17) Le perdite di energia lungo il cammino vengono divise per il potenziale di ionizzazione medio, fornendo il numero medio di coppie elettrone-ione primarie generate lungo il percorso. Il loro numero `e eventualmente distribuito secondo la ditribuzione di poisson.
La posizione di arrivo sul GEM `e sfumata dalla diffusione delle coppie primarie che avviene durante il drift. L’allargamento `e distribuito secondo una gaussiana con deviazione standard
σdif f =
√ Dt
dove D `e il coefficiente di diffusione, che per gli elettroni dipende dal campo elettrico ~E, e il tempo t di diffusione. Questa formula `e parametrizzata come
σdif f =
D| ~E|√L
√p (5.18)
dove D| ~E|`e il coefficiente di diffusione e L la distanza tra il punto di generazione della coppia e il GEM. Il coefficiente di diffusione `e dell’ordine di 100 µm/√1 cm, a seconda della miscela di gas. La pressione della miscela p fa scalare la diffusione per miscele a differenti pressioni.
Quando gli elettroni derivati dalle coppie primarie arrivano sul GEM, vengono moltiplicati e raccolti dai pixel esagonali del chip, essendo il loro numero distribuito secondo Poisson. La diffusione fra il GEM e il piano di raccolta viene trascurata, come pure la perdita di carica che colpisce il GEM. In pratica si assume che la moltiplicazione effettuata dal GEM, le perdite di una frazione di carica e il drift dal GEM alle pads metalliche non modifichino la forma della traccia.
Capitolo 6
La struttura di test del GPD come
polarimetro
6.1
Sorgenti di test
Le misure sono state effettuate nei laboratori dell’INFN di Pisa con sorgenti di Fe55
, che emet- tono la riga di fluorescenza a 5.9 keV completamente non polarizzata. Le misure di fattore di modulazione sono state effettuate nel laboratorio dell’IASF-INAF a Roma Tor Vergata allesti- to dal team del dott. E. Costa. Presso questo laboratorio `e presente una sorgente di luce X polarizzata di diverse energie ottenuta mediante la rifrazione di Bragg di fasci X generati da tubi di bassa potenza, su diversi cristalli.
Per realizzare una sorgente compatta si `e fatto uso di capillary plates in vetro-piombo per collimare i fasci. I capillary plates utilizzati sono lastre di vetro totalmente opache alla radiazione X sotto i 20 keV, dello spessore di 0.4 o 1 mm, perforate da fori di 10 µm di diametro, con una trasparenza ottica del 57%. I due tipi di capillary plates offrono una collimazione a 1/40=1.4◦ e 1/100=0.6◦, rispettivamente, in uno spazio molto ridotto.
Tre tubi differenti possono essere utilizzati con anodi di molibdeno, rodio e titanio per produrre le tre linee a 2.293, 2.691 e 4.511 keV rispettivamente. Queste energie sono in accordo con la condizione di rifrazione di Bragg a circa 45◦ del cristallo di rodio(001), germanio(111)
e fluorite (CaF2, 220) (vedi tabella 6.1). Un cristallo ADP(101), un cristallo PET(002) e un cristallo di grafite sono utilizzati per produrre fasci polarizzati a 1.65 keV, 2.04 keV e 2.6 keV per mezzo della diffrazione dal continuo. Il cristallo e il capillary plate sono montati su una meccanica chiamata polarizzatore, dotata di aggiustamenti fini dell’orientamento del cristallo (figura 6.1). La sorgente completa del tubo a raggi X `e mostrata in figura 6.2.
Un secondo capillary plate `e utilizzato a valle del cristallo per filtrare la luce di diffrazione di Bragg, di direzione fissa, dalla luce di fluorescenza della meccanica e del cristallo stesso, di direzione isotropa.
riga di fluorescenza E(kev) cristallo θ P molibdeno Lα 2.293 rodio (001) 45.36◦ 0.9994
cloro Kα 2.622 grafite (002) 44.82◦ 0.9986
rodio Lα4 2.691 germanio (111) 44.86◦ 0.9926
calcio Kα 3.692 alluminio (111) 45.88◦ 0.9938
titanio Kα 4.511 fluorite CaF2 (220) 45.37◦ 0.9994
manganese Kα 5.899 fluoride di litio (220) 47.56◦ 0.8822
rame Kα 8.048 germanio (333) 45.06◦ 0.9849
Tabella 6.1: sintonia tra righe di fluorescenza e diffrazione a 45◦ per diversi cristalli. θ `e l’angolo
di incidenza e P la polarizzazione dei fotoni diffratti
energia e ordine flusso (c/s) 2.04 kev (I) 224.0 ± 1.5 4.08 keV (II) 73.5 ± 1.0 6.12 keV (III) 17.10 ± 0.39 8.16 keV (IV) 13.44 ± 0.43 10.20 keV (V) 7.41 ± 0.27
Tabella 6.2: flussi nelle righe corrispondenti ai diversi ordini della diffrazione sul cristallo PET. La radiazione incidente `e prodotta con il tubo a titanio (15 kV, 0.5 mA)
cristallo di CaF2 misurato con un rivelatore a silicio Amptek XR100CR con un collimatore da
1/40 in entrata (a) e con l’aggiunta di un collimatore da 1/100 in uscita. Il picco a 4.511 keV `e ridotto di un fattore 10 per ragioni di scala. Il picco centrale `e il picco di fluorescenza del calcio. Il picco a sinistra `e l’escape peak del silicio. In figura 6.3b si osserva la soppressione del picco di fluorescenza dovuta al collimatore in uscita.
In figura 6.4 `e mostrato lo spettro fra 1 e 11 keV ottenuto con la diffrazione dal continuo di un tubo con anodo in titanio, su un cristallo in PET. Sono visibili i primi 5 ordini: i loro flussi dipendono soprattutto dalla differente efficienza di diffrazione per ogni ordine e dallo spettro della radiazione incidente non polarizzata. I flussi delle linee, fittati con una gaussiana, sono riportati in tabella 6.2. Notare che per queste basse energie il polarizzatore pu`o essere flussato in elio per evitare l’assorbimento del flusso in aria.
In tabella 6.3 sono riassunte le sorgenti polarizzate utilizzabili presso il laboratorio IASF- INAF di Roma II.
Figura 6.1: Visione del polarizzatore: a sinistra movimento micrometrico di aggiustamento dell’angolo del cristallo; a destra il corpo del polarizzatore (si nota l’ingresso gas per il flussaggio dell’elio) e la flangia porta-cristallo.
radiazione incidente E (keV) cristallo θ P continuo 1.65 ADP (NH4H2PO4, 101) 45◦ ∼1
continuo 2.04 PET (C(CH2OH)4, 002) 45◦ ∼1
molibdeno Lα (50 W) 2.293 rodio (001) 45.36◦ 0.9994
continuo 2.61 grafite (002) 45◦ ∼1.0
rodio Lα (50 W) 2.691 germanio (111) 44.86◦ 0.9926
calcio Kα (200 mW) 3.692 alluminio (111) 45.88◦ 0.9938
titanio Kα (50 W) 4.511 fluorite CaF2 (220) 45.37◦ 0.9994
manganese Kα 5.899 fluoride di litio (220) 47.56◦ 0.8822
rame Kα (200 mW) 8.048 germanio (333) 45.06◦ 0.9849
Figura 6.3: Spettri della riga a 4.511 keV di diffrazione della fluorite misurati con un rivelatore AMPTEK XR100CR: in a) con collimazione in ingresso a 1/40; in b) con ulteriore collimazione in uscita a 1/100. Notare che i picchi a 4.511 keV sono ridotti di un fattore 10 per ragioni di scala, e che il picco di fluorescenza del calcio a 3.5 keV `e soppresso in figura b)