serie 𝜁(2) = ∑F $"5
$G5 . Il risultato, successivamente noto in letteratura come problema di Basel, venne risolto nel 1734 da Euler, che provò che 𝜁(2) =HI5. Più in generale, Euler fornì una formula per valutare la funzione zeta negli interi positivi pari
𝜁(2) = 𝐵$7(−1)78#(2𝜋)$7 2(2𝑘)! dove 𝐵. è il k-esimo numero di Bernoulli, definito da
𝑡 𝑒9− 1= = 𝐵7 𝑡7 𝑘! 3 456 .
Meno noto ai non specialisti è il fatto che la funzione zeta di Riemann non è che un esempio, forse il più semplice, di una classe di funzioni complesse associate a diversi enti aritmetici e geometrici, di solito denotate con il nome di funzioni L, che codificano informazioni aritmetiche e geometriche. Le “buone” funzioni L hanno un prodotto euleriano che permette di separare fattori contenenti dati locali ai singoli primi, soddisfano equazioni funzionali e hanno valori speciali di significativo interesse. Queste particolari funzioni, attualmente associate a enti matematici di vario genere, hanno avuto una vitalità sorprendente: ad esempio, il già citato E. Artin formulò una congettura ancora oggi non dimostrata sulle
funzioni L per una rappresentazione lineare di un gruppo di Galois. Inoltre, anche
Introduzione
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È dunque significativo che Fubini includa nelle sue Lezioni la trattazione della funzione zeta di un campo di numeri. Oltre a costituire una generalizzazione della funzione zeta, che ammette un prodotto euleriano i cui fattori locali ai vari primi dipendono dal modo in cui i primi si decompongono, essa fornisce un interessante collegamento tra analisi e aritmetica, in quanto il numero di classe del campo è ricavabile come residuo della funzione zeta nella sua unica singolarità 𝑠 = 1, coerentemente con il fatto che il campo razionale ha class number 1.
E.LUCIANO –E.SCALAMBRO –L.TERRACINI
5. Conclusioni
Oltre a costituire un’importante traccia documentale di uno dei pochi corsi universitari di teoria dei numeri attivati in Italia nel primo Novecento, le Lezioni di Fubini consentono di documentare un aspetto assolutamente poco noto della sua biografia scientifica: la sua attività didattica in questo settore di studi.
Dalla loro analisi emerge con evidenza il talento di Fubini come docente e la “freschezza” del suo ingegno, ovvero la capacità di cogliere le linee di ricerca più promettenti coltivate dai colleghi stranieri,137 di acquisirle molto rapidamente, anche a fronte di oggettive difficoltà di
reperimento di testi e materiali bibliografici, e di saperle altrettanto prontamente integrare nel quadro degli insegnamenti superiori offerti agli studenti di Matematica dell’Università di Torino. Tenendo conto del fatto che questi ultimi, a differenza di quanto avviene oggigiorno, non possedevano quasi alcuna nozione sistematica di teoria algebrica dei numeri, la vastità degli argomenti affrontati da Fubini, la densità e la profondità dei concetti da lui introdotti risultano per certi versi sorprendenti.
Un ulteriore elemento di rilievo di queste Lezioni è rappresentato dal fatto che in esse Fubini approda a una sintesi armoniosa ed efficace di due tradizioni di pensiero distinte: quella italiana e quella tedesca.In tal senso, pur non avendo personalmente apportato contributi alla teoria dei numeri, a Fubini spetta il merito di aver coniugato - in modo originale - la teoria degli ideali e quella delle forme. Un filo conduttore di queste Lezioni può infatti essere individuato nello studio e nella classificazione delle forme quadratiche razionali a partire dalla teoria degli ideali. Più precisamente, nel suo insegnamento Fubini si propone di sviluppare in modo parallelo l’aritmetica dei campi di numeri e lo studio analitico-geometrico delle forme quadratiche fino a dimostrare, attraverso i risultati di Hilbert, la corrispondenza tra le due nozioni. È nel caso particolare dei campi quadratici che tale corrispondenza viene descritta in maggior dettaglio attraverso i noti risultati di riduzione. L’analisi interverrà per determinare il numero di forme equivalenti di discriminante dato, in quanto esso coincide con il narrow class number, che a sua volta è legato al residuo della funzione zeta del campo associato.
Introduzione
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Ringraziamenti
Siamo particolarmente grate al comitato scientifico del CSSUT che ha accolto questo volume nella collana Lezioni e Inediti di “Maestri” dell’Ateneo Torinese.
Un sentito grazie va alla direzione e al personale della Biblioteca Speciale di Matematica “G. Peano” dell’Università di Torino, a Paola Novaria (ASUT), Claudio Caschino (AsTo Poli), Franca Focacci (Biblioteca di Scienze matematiche, fisiche e geologiche dell’Università di Perugia) e Erica Mosner (Archive of Institute for Advanced Study, Princeton) che in vario modo hanno facilitato le nostre ricerche archivistiche e bibliografiche.
Esprimiamo la massima gratitudine a David Fubini e a Laurie Fubini Jacobs che ci hanno gentilmente messo a disposizione documenti inediti e che ci hanno concesso di riprodurre alcune fotografie di Guido Fubini custodite nel loro archivio famigliare.
Grazie ai referees per i loro preziosi suggerimenti e agli amici e colleghi Aldo Brigaglia, Livia Giacardi, Catherine Goldstein, Paolo Valabrega e Carlo Viola che ci hanno aiutato con indicazioni e scambi di opinione e che hanno accettato di leggere le versioni preliminari del lavoro.
Un grazie particolare a Clara Silvia Roero per l’attenta rilettura del manoscritto e per la preziosa collaborazione all’editing del volume.
E.LUCIANO –E.SCALAMBRO –L.TERRACINI
Introduzione
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Appendice – I corsi di Teoria dei numeri in Italia138 a.a. Argomenti del corso
di Analisi superiore di Fubini Altre Università italiane Docente Programma 1910/11 Mancante
Napoli G. Torelli Teoria analitica dei numeri
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
1911/12
Teoria delle equazioni alle derivate parziali sia nel campo reale che in quello
complesso; problemi al contorno di Cauchy
Bologna U. Scarpis Gruppi di operazioni e loro applicazione alla teoria dei numeri Napoli G. Torelli Teoria analitica dei
numeri
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Pisa L. Bianchi
Teoria aritmetica delle forme quadratiche; aritmetica analitica 1912/13 Geometria euclidea e non euclidea; partizioni congruenti del piano e dello spazio; funzioni di variabile complessa; funzioni automorfe
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
1913/14
Equazioni
differenziali ordinarie, risultati classici e recenti
Bologna F. Enriques Teoria delle funzioni algebriche
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri 1914/15
Calcolo delle variazioni; serie di
Fourier Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
1915/16 I moderni avanzamenti del calcolo; applicazione all'espansione in serie, al calcolo delle variazioni
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Pavia E. Bompiani
Geometria dei numeri; approssimazione diofantea
1916/17
Numeri di Cantor; numeri interi e algebrici; teoria dei numeri e delle forme con applicazioni algebriche; applicazioni
dell'analisi alla teoria dei numeri
Catania G. Scorza Funzioni abeliane con applicazioni geometriche
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Pavia L. Berzolari
Teoria generale delle forme algebriche con applicazioni
geometriche
138 Questi dati sono stati desunti dal Bulletin of the American Mathematical Society e da L'Enseignement
mathématique. In relazione all’a.a. 1922/23 non sono state reperite informazioni sui corsi di teoria dei numeri
E.LUCIANO –E.SCALAMBRO –L.TERRACINI
a.a. Argomenti del corso di Analisi superiore di Fubini Altre Università italiane Docente Programma 1917/18 Funzioni abeliane, ellittiche e modulari Catania M. Cipolla
Teoria dei numeri nel campo razionale e in qualsiasi campo quadratico; argomenti classici dell'aritmetica asintotica 1918/19 Funzioni modulari, automorfe, fuchsiane; equazioni differenziali lineari a coefficienti razionali
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Roma G. Castelnuovo Equazioni algebriche e gruppi di sostituzioni
1919/20 Mancante Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
1920/21
Geometria differenziale e gruppi continui con particolare
riferimento ai gruppi di moti e di
trasformazioni proiettive e conformi
Catania M. Cipolla Teoria dei gruppi finiti ordinati con
applicazioni
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Pisa L. Bianchi Funzioni di variabile complessa; numeri algebrici e aritmetica analitica 1921/22 Le equazioni differenziali e i vari tipi di sviluppi in serie che si presentano nella fisica matematica
Catania M. Cipolla Sostituzioni lineari e gruppi
Padova P. Gazzaniga Teoria dei numeri
Roma A. Perna Equazioni algebriche
1923/24 Mancante Catania M. Cipolla
Applicazioni geometriche della teoria dei gruppi d'ordine finito
Roma A. Perna Mancante
1924/25 Geometria proiettivo differenziale
1925/26
Mancante
Catania G. Andreoli
Teoria delle forme binarie: accenni alle forme ternarie
Introduzione
37
a.a. Argomenti del corso di Analisi superiore di Fubini Altre Università italiane Docente Programma 1926/27 Equazioni differenziali alle derivate ordinarie e parziali Bologna E. Bortolotti Numeri reali, algebrici, trascendenti; aritmetica delle forme quadratiche
Milano O. Chisini
Teoria generale dei gruppi finiti di
operazioni; equazioni algebriche e loro risoluzione
Palermo G. Mignosi
Elementi di teoria dei numeri con
applicazioni 1927/28
Teoria dei gruppi con particolare riguardo alla teoria dei gruppi continui
Cagliari G. Madia Fondamenti di teoria dei numeri e di geometria 1928/29 Capitoli scelti di analisi con speciale riguardo alle applicazioni alla fisica
Palermo G. Mignosi La teoria di Galois e i problemi geometrici risolubili con riga e compasso Pavia L. Berzolari Forme algebriche e applicazioni alla geometria 1929/30 Equazioni differenziali; loro applicazioni alla geometria differenziale metrica e proiettiva
Milano G. Belardinelli La teoria di Galois e la risoluzione algebrica delle equazioni 1930/31 Funzioni analitiche con particolare riguardo alle funzioni fuchsiane e ipergeometriche Bologna B. Levi Argomenti scelti di algebra e teoria dei numeri
Genova A.M. Bedarida Aritmetica analitica Milano G. Belardinelli
Teoria delle equazioni algebriche secondo Galois
Roma A. Perna Teoria dei numeri
1931/32
Teoria dei numeri e dei numeri algebrici; relazione colla teoria di Galois delle equazioni algebriche
Catania P. Nalli Teoria dei numeri
Milano G. Belardinelli
Teoria dei numeri; risoluzione delle equazioni algebriche secondo Galois
E.LUCIANO –E.SCALAMBRO –L.TERRACINI
a.a. Argomenti del corso di Analisi superiore di Fubini Altre Università italiane Docente Programma 1932/33 Funzioni analitiche: in particolare funzioni ipergeometriche; funzioni trigonometriche, sferiche, di Bessel, di Lamé, ellittiche Milano U. Cassina Logica matematica; fondamenti dell'aritmetica e dell'analisi;
introduzione alla teoria dei numeri Palermo M. Cipolla Calcolo delle variazioni; equazioni algebriche secondo Galois 1933/34 Equazioni a derivate parziali; teoria di S. Lie; invarianti integrali e problema di Pfaff
Palermo M. Cipolla Equazioni algebriche
in un corpo finito
1934/35
Funzioni analitiche, abeliane, ellittiche, modulari, automorfe
Bologna B. Levi Algebra e teoria dei
numeri
Catania G. Aprile Corpi numerici e
algebre
Palermo G. Mignosi Corpi numerici e
algebre 1935/36 Analisi complessa; funzioni analitiche, di Bessel, ellittiche; equazioni differenziali; serie
Bologna E. Bortolotti Teoria dei numeri; gruppi di sostituzioni ed equazioni
algebriche
Pisa G. Ricci
Teoria dei numeri e degli insiemi; gruppi ed equazioni
algebriche secondo Galois
Palermo M. Cipolla Teoria analitica dei numeri 1936/37 Equazioni differenziali; serie e integrale di Fourier; applicazioni alla fisica 1937/38 Analisi complessa; funzioni analitiche, ellittiche, di Jacobi; teoria algebrica delle forme; la rete
modulare e l'analisi indeterminata
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