Si `e visto nel capitolo 2 che per poter esprimere forze e momenti in funzione della posizione della deriva (definita dai tre parametri h, α, β) sono necessari quattro calcoli CFD. Infatti valgono le seguenti relazioni:
F = Frif + ∆F ∆h · (h − hrif) + ∆F ∆α · (α − αrif) + ∆F ∆β · (β − βrif) M = Mrif + ∆M ∆h · (h − hrif) + ∆M ∆α · (α − αrif) + ∆M ∆β · (β − βrif)
dove le incognite sono Frif, Mrif e i rapporti incrementali rispetto ai tre parametri.
A sua volta si `e detto che ciascun rapporto incrementale `e legato a una sola incognita, che `e la forza F∆p (o momento M∆p) calcolata variando il parametro p a cui `e legata.
Infatti vale: ∆F ∆p = F∆p− Frif ∆p ´
E quindi necessario poter spostare la deriva nel dominio in quota h e secondo gli angoli α e β rispetto alla posizione iniziale di riferimento, per poi procedere in ogni caso con le operazioni descritte nei paragrafi precedenti. Per fare questo ci sono dei comandi di traslazione e rotazione della deriva, che vengono usati appoggiandosi a un sistema di riferimento assi corpo che viene definito per questo scopo.
Velocity Predict Program
Un Velocity Prediction Program (VPP) `e un programma che calcola le prestazioni di una barca a vela al variare delle condizioni del vento imponendo l’equilibrio di forze e momenti.
Nel presente lavoro di tesi si fa uso di un programma sviluppato in ambiente Matlab®, derivato da studi precedenti (si veda [1]) e dedicato allo studio dei catamarani AC72, modificandolo in maniera opportuna da poter essere agganciato al lavoro di ottimizza- zione.
In tale programma, le forze dovute all’azione del vento, dell’acqua del mare e il con- tributo dell’equipaggio all’assetto di navigazione (quest’ultimo identificato attraverso il suo posizionamento lungo lo scafo e il comando delle superfici di controllo), risulte- ranno funzione dei vari parametri dell’assetto dell’imbarcazione.
I vari elementi dell’imbarcazione sono trattati con modelli molto semplificati, come curve CL− α e polari, che esprimono le forze in gioco come funzione di un numero
limitato di variabili. In questo modo il calcolo della condizione di equilibrio, in qua- lunque configurazione di navigazione (comprese quelle di volo), potr`a essere portato avanti in maniera molto rapida attraverso un algoritmo all’interno del quale tali forze siano implementate.
´
E cos`ı possibile ottenere informazioni sulla velocit`a, sulle forze (sia complessive che per ogni componente del catamarano) e sulla posizione che assume la barca in condizioni di equilibrio.
5.1
Modello fisico
Come mostrato in Figura 5.1, i sistemi di riferimento principalmente adottati, su cui si eseguono tutti i calcoli, sono due:
1. una terna baricentrale assi corpo, quindi solidale con l’imbarcazione, identificata dagli assi (xB, yB, zB);
2. una terna di assi verticali locali, anch’essa baricentrale e di assi (x, y, z).
Le due terne sono reciprocamente definite tramite i tre angoli di Eulero, illustrati, nel loro verso positivo, in Figura 5.1 e che rappresentano:
- Angolo di rollio o sbandamento: θ - Angolo di imbardata o scarroccio: λ
- Angolo di beccheggio: γ
Figura 5.1: Sistemi di riferimento e angoli di Eulero.
La modellazione fisico-matematica del sistema di forze e momenti in gioco riguarda es- senzialmente la descrizione delle forze aerodinamiche e idrodinamiche dovute ai seguenti elementi del catamarano:
- Vela rigida (o ala); - Scafo;
- Deriva; - Timone.
Per la descrizione dei vari modelli si rimanda a [1]. ´E bene rimarcare le peculiarit`a della configurazione di deriva e timone, che contraddistinguono il catamarano AC72. In configurazioni tradizionali deriva e timone devono garantire l’equilibrio delle forze nella direzione yB e dei momenti attorno all’asse zB e xB. Nel caso in esame, con
entrambi gli scafi al di fuori dell’acqua, sar`a loro compito anche l’assicurare l’equilibrio delle forze lungo zB e dei momenti lungo yB. Per fare ci`o la geometria dei due elementi
`e studiata in modo tale da far generare a entrambi una componente aggiuntiva di por- tanza che, nel caso della deriva, serva a garantire l’equilibrio verticale in assenza della forza di galleggiamento e, nel caso del timone, garantisca l’equilibrio alla rotazione attorno all’asse yB e un certo grado di stabilit`a a beccheggio. ´E per questo che si fa
uso di derive a V e di timoni a T.
Poi, oltre alle forze generate dai quattro elementi suddetti, si tiene conto delle for- ze di inerzia. La massa del catamarano `e stata scelta in modo tale da rispettare le prescrizioni del regolamento dell’ultima edizione dell’America’s Cup, cio`e pari a 5800 kg. Questa massa `e stata suddivisa tra i vari componenti dell’imbarcazione.
Una variabile fondamentale nella gestione dell’equilibrio risulta, inoltre, la posizione dell’equipaggio (composto da 11 membri) durante la navigazione. In modo semplificato la massa dell’equipaggio `e stata posizionata sullo scafo sopravento, a poppa.
Le forze agenti sul catamarano sono riportate in Figura 5.2.
Figura 5.2: Forze in gioco.
Rispetto alla terna verticale locale baricentrale (x, y, z) si considerano le seguenti forze: Forze esercitate dalla vela, suddivise in:
- Forza di spinta: Fthrust
- Forza di heel: Fheel
- Forza verticale: Fdown
- Momento Mwing attorno all’asse .
Forza idrodinamica complessiva, data dalla resistenza dello scafo, deriva e timone: - Forza di resistenza: Dhydro
- Forza laterale: Lhydro
Forza di galleggiamento Fgall e forza peso W = Wboat+ Wcrew, applicate rispetti-
vamente nel baricentro del volume immerso e nel baricentro del catamarano. Di seguito si riportano le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione, rispetto alla terna verticale locale baricentrale:
Xwing+ Xder+ Xtim+ Xscaf o = 0
Ywing+ Yder+ Ytim+ Yscaf o= 0
Zwing+ Zder + Ztim+ Zscaf o+ Zgall− W = 0
lwing+ lder+ ltim+ lscaf o+ lgall = 0
mwing+ mder+ mtim+ mscaf o+ mgall = 0
nwing+ nder + ntim+ nscaf o= 0
Sostituendo all’interno del sistema la modellizzazione delle forze e dei momenti di ciascun elemento del catamarano, si osserva che le incognite del problema statico sono sette, a fronte di sei equazioni:
1. Velocit`a del catamarano VB;
2. Angolo di comando di rotazione del timone iT;
3. Angolo di sbandamento θ;
4. Angolo di incidenza della vela αwing;
5. Spostamento verticale dello scafo δ; 6. Angolo di beccheggio γ;
7. Angolo di scarroccio λ.
Il sovrannumero di incognite `e dovuto alla possibilit`a per ogni angolo di sbandamento θ di trovare un angolo di incidenza della vela αwing per cui `e possibile l’equilibrio. Da
un’analisi condotta in [1] si `e trovato che un angolo di sbandamento non nullo peggiora le prestazioni dell’imbarcazione e questo `e confermato se si osservano gli AC72 in regata. Pertanto `e pi`u ragionevole lasciare come variabile l’incidenza della vela e stabilire lo sbandamento a priori, che viene fissato nullo nel caso in analisi.
Dall’angolo di incidenza della vela αwing e da quello di incidenza del vento apparente
iwind `e possibile ricavare il comando di rotazione della vela rigida rwing:
rwing = iwind− αwing
Alla fine si ottiene quindi un sistema non lineare di sei equazioni in sei incognite: (
F(VB, iT, αwing, δ, γ, λ) = 0
M(VB, iT, αwing, δ, γ, λ) = 0
che viene risolto con il metodo di Dogleg basato su trust-region, un algoritmo della libreria Matlab® esplicitamente progettato per risolvere equazioni non lineari; per una trattazione rigorosa e approfondita si rimanda ai numerosi testi presenti in letteratura.