Il comportamento del fosforo solubile nel suolo è determinato, come abbiamo visto, principalmente da fenomeni di adsorbimento e desorbimento.
Il fenomeno dell’adsorbimento può essere distinto in due tipologie, fisico e chimico, che si differenziano in base alle forze di legame in gioco. Nel primo caso si assiste all’instaurarsi di forze intermolecolari relativamente deboli, mentre nel secondo caso abbiamo la formazione di veri e propri legami chimici con energie di formazione sostanzialmente più alte.
Sebbene possa essere concettualmente utile differenziare i due meccanismi, nella pratica reale esistono situazioni intermedie di difficile classificazione.
La metodologia più diffusa per la descrizione dei processi di adsorbimento è la rappresentazione delle isoterme di adsorbimento.
Una isoterma di adsorbimento è una curva che mette in relazione la quantità di sostanza adsorbita all’interfaccia solido/soluzione (o miscela di gas) e la concentrazione presente nella soluzione all’equilibrio (Fig. 12); la relazione è dipendente dalla temperatura ed è quindi necessario mantenere questo parametro costante nella pratica sperimentale.
Fig. 12 Esempio di isoterma di adsorbimento.
Per quanto riguarda lo studio del sistema suolo/soluzione, sull’asse delle ascisse è riportata la concentrazione di analita misurata in soluzione dopo un periodo di equilibrazione (Ce) e su quello
Essendo S e Ce (insieme alla capacità tampone ΔS/ΔCe) i parametri del suolo che giocano un ruolo
fondamentale nel flusso di fosforo verso le radici, le isoterme di assorbimento, sono state utilizzate per calibrare in modo corretto l’uso di fertilizzanti (Amarh F., 2012).
Isoterme di assorbimento
Nel 1974 Giles C.H. et al proposero una classificazione delle isoterme in base alle evidenze sperimentali degli andamenti delle curve S vs Ce a basse e ad alte concentrazioni. La classificazione,
utilizzata tutt’oggi, proponeva una suddivisione in quattro classi (S, L, H, C) differenziate dalla pendenza della parte iniziale della curva, e cinque sottogruppi (1, 2, 3, 4, mx), basati sull’andamento della seconda parte della curva (presenza di flessi, plateau, massimi), (Giles C.H. et al, 1974; Hinz C., 2001; Limousin G et al, 2007; Fig. 13 e Fig. 14).
La classificazione originale prendeva spunto dall’osservazione sperimentale senza dare informazioni sui processi che portavano ad una o ad un’altra forma della curva; è chiaro, però, che le differenze di andamento sono dovute a diversi meccanismi di assorbimento e a diverse interazioni soluto-solvente-superficie assorbente.
In particolare la pendenza iniziale (basse concentrazioni in soluzione) dipende dalla variazione del numero di siti attivi disponibili per l’assorbimento all’aumentare della quantità di soluto assorbito, e può essere espressa come coefficiente di distribuzione o di ripartizione (Kd o Kp, l/Kg), inteso come rapporto tra il soluto assorbito e quello rimasto in soluzione (S/Ce).
L’andamento della seconda parte della curva (alte concentrazioni in soluzione) rispecchia, invece, le capacità di assorbimento massimo.
L’isoterma di tipo S (sigmoidale) presenta una curvatura verso l’alto, indice che il processo di assorbimento è sfavorito. In questo caso le interazioni soluto-superficie sono meno forti di quelle soluto-soluto e soluto-solvente. In maniera cooperativa il fenomeno viene favorito dalla presenza di molecole già assorbite, con effetto macroscopico analogo a quello dell’aumento nel tempo del numero di siti di assorbimento.
Le isoterme di tipo L (Langmuir) sono caratterizzate da una curvatura verso il basso, indice della diminuzione del numero di siti disponibili all’aumentare dell’assorbimento e di una progressiva saturazione della superficie assorbente. In questo caso le interazioni soluto-superficie sono più forti di quelle soluto-soluto e soluto-solvente. La pendenza della curva rimane costante.
Anche le curve di tipo H (High affinity) sono caratterizzate da una curvatura verso il basso, ma il tratto iniziale presenta andamento praticamente verticale, indice dell’alta affinità del soluto per la superficie, che fa sì che a basse concentrazioni l’assorbimento sia quantitativo e la concentrazione
in soluzione costante. Questa tipologia di curva può essere inteso, pertanto, come un caso particolare di isoterme di tipo L.
Nelle curve di tipo C l’affinità di assorbimento è costante e così la partizione fra soluzione e superficie assorbente, ottenendo un andamento grafico rettilineo.
Fig. 13. Andamento delle diverse classi di adsorbimento e dei relativi sottogruppi.
Il sottogruppo 1 non presenta plateau, indice di una capacità di assorbimento illimitata, a differenza del sottogruppo 2, nel quale la presenza di un plateau testimonia il completamento del primo monostrato e l’esistenza di una capacità di assorbimento massima. La presenza di un flesso, tipica del sottogruppo 3, indica che il monostrato formatosi ha per il soluto indicativamente la stessa affinità della superficie originale. Nel sottogruppo 4 si ha la presenza di più plateau e, quindi, di più monostrati, mentre il sottogruppo mx presenta un punto di massimo con diminuzione dell’affinità di assorbimento.
Il coefficiente di distribuzione Kd può essere un utile strumento per distinguere tra le differenti
classi e i diversi sottogruppi, in particolare per quanto riguarda le basse concentrazioni (Hinz C., 2001). Come si vede in Fig. 17 l’andamento di Kd rispetto ad S, o dei rispettivi logaritmi, presentano
Uno studio del 1985 (Hinz C., 2001) propose una differente classificazione dei fenomeni di assorbimento nei sistemi gas/solido, utilizzata dalla IUPAC. In questo caso le curve di assorbimento sono suddivise in sei classi, indicate con numeri romani da I a VI.
La tipologia I è caratterizzata da una forma convessa e da un plateau (indice di un assorbimento massimo), ed, pertanto equivalente alle forme L2 e H2 della precedente classificazione. E’ tipica di adsorbenti a struttura predominante microporosa in cui il riempimento dei micropori avviene a pressioni relativa inferiori a 0.1 atm.
La forma II presenta un punto di flesso in cui si passa da una forma convessa ad una concava (simile ad L3 e H3). Questa tipologia è caratteristica dell’assorbimento su solidi non porosi.
Nella tipologia III, equivalente alla S1, si ha la presenza di una curva concava; questo andamento è presente sia sulle superfici non porose sia in quelle microporose, ma è caratteristica di deboli interazioni adsorbato-adsorbente.
Il tipo IV (equivalente a L4 e H4), che presenta due plateau, è indice di un ciclo di isteresi dovuto a condensazione capillare.
Fig.14 Classificazione delle curve di assorbimento, come proposta da Giles C.H. et al (1974). Oltre agli andamenti del
grafico S vs Ce sono riportati gli andamenti di S rispetto a Kd (coefficiente di distribuzione). Manca l’indicazione del
sottogruppo mx.(Hinz C., 2001).
Per quanto riguarda la tipologia V (analoga alla S2), si ha forma concava con la presenza di adsorbimento massimo, tipica di interazioni deboli soluto-superficie.
Infine, le curve di tipo VI presentano andamento tipico delle curve L e H con plateau multipli e sono dovuta alla formazione di strati monomolecolari successivi.
Rispetto a quest’ultima classificazione quella di Giles C.H. et al (1974) risulta più adatta alla descrizione generale dei fenomeni di adsorbimento (non specifica per l’interazione solido-gas), in particolare se processi di ritenzione non sono conosciuti (Hinz C., 2001).
Nell’articolo di Hinz C. (2001) sono riportati numerosi studi che hanno affrontato l’interpretazione della classificazione L, S, H, C e la sua applicabilità all’adsorbimento di molecole organiche e inorganiche sul suolo, presentando esempi per ciascun gruppo.
Si riporta che le classi più comuni sono C, L e H, e per quanto riguarda i sottogruppi il 2 (3 e 4 sono molto più rari), sebbene uno studio abbia riscontrato comportamento L3 per l’adsorbimento del fosforo su ossidi di Al. A livelli di concentrazioni in traccia molti sistemi suolo-soluto presentano un comportamento di tipo C, specialmente quando l’equazione di Langmuir (vedi Capitolo Equazioni) risulta essere il modello appropriato per la descrizione del processo.
Equazioni e parametri
La classificazione di Giles C.H. et al (1974), così come quella utilizzata dalla IUPAC, hanno carattere puramente descrittivo e approcciano il processo di adsorbimento in maniera qualitativa.
Per la stima delle capacità di adsorbimento di una superficie è necessaria, invece, una trattazione matematica e l’utilizzo di equazioni che descrivano al meglio i dati sperimentali.
Vari sono gli approcci utilizzati per l’elaborazione di modelli di adsorbimento e la principale distinzione si ha tra modelli empirici e modelli chimici (Goldberg S., 1995).
I modelli chimici partono da una trattazione del fenomeno all’equilibrio, mentre i modelli empirici
si basano sull’ipotesi che a scala microscopica il processo di adsorbimento raggiunga istantaneamente l’equilibrio, di conseguenza se la concentrazione nella fase fluida non varia, la concentrazione adsorbita rimane costante. Questo consente di semplificare in maniera rilevante l’analisi del processo, sia dal punto di vista concettuale che matematico. Infatti non è necessario considerare parametri microscopici (come le costanti di velocità di adsorbimento e desorbimento) e le equazioni necessarie per la descrizione del fenomeno sono equazioni algebriche, i cui parametri possono essere misurati facilmente attraverso studi di laboratorio.
Nello studio del suolo quest’ultimo tipo di approccio è quello storicamente utilizzato (Goldberg S., 2005).
Numerose sono le equazioni elaborate nel corso del tempo (Tab. 3) a partire dall’equazione generale
S = b*K*Ceβ/(1 + K*Ceβ)
dove b, K e β rappresentano parametrici empirici, espressa anche nella forma riportata da Hinz C. (2001)
dove ST ( mg/Kg) è un parametro che stima l’andamento asintotico ad alte concentrazioni (nel
corso della trattazione verrà indicato come Smax), fi è la frazione di siti i per cui la sommatoria è
uguale a 1, n rappresenta il numero totale di siti di adsorbimento e mi il numero di interazioni fra i
differenti siti. I parametri pij e qij sono coefficienti empirici con dimensione l/mg, mentre αij e βij sono
parametri empirici adimensionali.
Nel suo articolo Hinz C. (2001) mostra come, attribuendo, valori diversi ai vari parametri si possono ottenere le equazioni elaborate nel corso del tempo, e, partendo dall’equazione mostrata e dall’espressione matematica dei criteri di attribuzione alle classi di adsorbimento si possano correlare le equazioni elaborate con le classi di adsorbimento della classificazione di Giles C.H. et al (1974) (Tab 3).
I criteri matematici applicati da Hinz C. (2001) riguardano la tipologia di curvatura (convessa o concava espressa da d2S/dC2 calcolata nel punto di interesse), la pendenza a basse concentrazioni
(limc → 0ds/dc, dove ds/dc rappresenta il coefficiente di distribuzione Kd), il comportamento
asintotico ad alte concentrazioni in soluzione (limC → ∞ S) o ad alte concentrazioni adsorbite (limS → ∞
C) e il numero di plateau e di flessi presenti.
In base a questi criteri alle classi C, L, S e H possono essere attribuite le seguenti relazioni matematiche:
• Classe L: limc → 0Kd = limc → 0dS/dC= costante;
• Classe H: limc → 0Kd = limc → 0dS/dC= ∞ (sebbene questa relazione non abbia valore dal
punto di vista termodinamico questo tipo di equazioni può essere utilizzato per scopi descrittivi);
Classe C: Kd = dS/dC = costante.
Nel suo studio Hinz C. (2001) sottolinea l’utilità dell’assegnazione delle classi e dei sottogruppi di adsorbimento nel processo di identificazione dell’equazione che meglio fitta i dati sperimentali. A questo scopo, viene suggerito di graficare i dati in maniera alternativa (Fig. 17) e, in particolare di utilizzare l’andamento del coefficiente di distribuzione Kd rispetto ad S o a C. Poiché KD è definito
come S/C, rappresenta una misura dell’affinità di adsorbimento e, data la dipendenza di S da C, il
suo grafico rispetto a una di queste due grandezze ne amplifica le variazioni, portando ad una maggiore dispersione dei dati e migliorando l’identificazione di eventuali outliers.
Tab. 3 Equazioni di adsorbimento (Hinz. C., 2001).
Per l’identificazione sistematica delle classi di appartenenza Hinz C. (2001) propone l’utilizzo della Tab. 5 e, successivamente, della Tab. 3.
In particolare lo schema proposto permette di determinare se le equazioni di Langmuir o di Freundlich sono adatte a descrivere i dati sperimentali o se è necessario utilizzare altri modelli elencati in Tab 3.
Tab. 4 Derivazione delle equazioni isoterme dall’assegnazione dei parametri dell’equazione generale (Hinz. C., 2001).
Le abbreviazioni indicano rispettivamente MSL - Langmuir a più siti di adsorbimento, ML – Langmuir modificata, BET – Brunauer Emmet Teller, FRD – Freundlich, RP – Redlich Peterson.
Ap 11 = 0.
Tab. 5 Attribuzione della classe e del sottogruppo di adsorbimento in base all’andamento di S vs C e di Kd vs S (Hinz C.,
2001).
Le equazioni empiriche utilizzate nella descrizione e nello studio dei processi di adsorbimento possono essere raggruppate in base alla loro espressione matematica (Hinz C., 2001) o in base al numero di parametri che vengono presi in considerazione (Chen C., 2012; Foo K.I. and Hameed B.H., 2010).
Nel primo caso si possono distinguere equazioni razionali, equazioni potenza ed equazioni trascendenti.
Le prime sono rappresentate da quozienti di polinomi, rispetto ai quali descrivono in maniera migliore un comportamento asintotico ad alte concentrazioni.
L’equazione 6 può essere ricondotta ad una equazione razionale individuando un denominatore comune e imponendo ai coefficienti αij, βij e γij valore 1.
Le equazioni potenza vedono la presenza di un esponente che, in questo contesto, può essere visto come un fattore di eterogeneità dei siti di adsorbimento e che, generalmente, varia fra 0 (elevata eterogeneità) e 1 (omogeneità).
Infine le equazioni trascendenti sono equazioni non riconducibili in una forma polinomiale che presentano, per esempio, funzioni logaritmiche, esponenziali ecc.
Per quanto riguarda i parametri utilizzati le isoterme possono essere raggruppate in equazioni a due e a tre parametri.
Nella seguente trattazione delle diverse equazioni formulate non seguiremo una specifica suddivisione ma ne sottolineeremo l’appartenenza ad uno o ad un altro gruppo.
Equazione di Langmuir.
L’isoterma di Langmuir (1916) è un’equazione razionale a due parametri con andamento tipico della classe L2 (Chen C., 2013; Foo K.Y. e Hameed B.H., 2010; Goldberg S., 2005; Hinz C., 2001). L’equazione, elaborata originariamente per descrivere l’adsorbimento di gas, nasce dall’assunzione che il fenomeno avvenga su un unico monostrato con siti di adsorbimento finiti e definiti, identici ed equivalenti, in assenza di interazioni laterali e di ingombro sterico fra le molecole adsorbite, anche su siti adiacenti (indipendenza dei siti). Si assume, pertanto, un processo omogeneo, durante il quale le molecole possiedono entalpia e energia di attivazione costante, e senza fenomeni di trasmigrazione delle molecole adsorbite sul piano della superficie.
La curva così elaborata possiede, quindi, un plateau e, di conseguenza, un massimo di adsorbimento, stimabile dall’equazione stessa:
S = Smax *KL*Ce/(1+ KL*Ce)
dove Smax (mg/Kg) rappresenta, appunto, la capacità di adsorbimento massima e KL (costante di
Langmuir, l/mg) un parametro di affinità, correlabile con l’energia di legame.
L’equazione è facilmente ricavabile dall’espressione generale imponendo n e mi uguali ad 1 e qij e pij
Foo K.Y. and Hameed B.H. (2010) riportano il calcolo di una costante adimensionale RL (fattore di
separazione), determinato a partire dalla costante di Langmuir KL:
RL = 1/(1+KL*S0)
dove S0 rappresenta la concentrazione di soluto inizialmente presente sulla superficie.
Il fattore di separazione indica la natura dell’adsorbimento che può essere sfavorito (RL > 1), lineare
(RL = 1), favorito (0<RL<1) o irreversibile ( RL = 0).
Nonostante le assunzioni alla base dell’isoterma di Langmuir vengano violate quando si parla di adsorbimento sul suolo, l’equazione viene generalmente utilizzata in questo contesto, anche in relazione all’adsorbimento di ioni fosfato, sebbene l’applicabilità sia ristretta ad un range limitato di concentrazioni (Goldberg S., 2005).
Per ampliare l’applicabilità dell’equazione di Langmuir ne sono state proposte numerose modificazioni (Jeppu G.P. and Clement T.P., 2012; Limousin G. et al, 2007; Goldberg S., 2005; Sohn S. and Kim D., 2005; Mattingly G.E.G, 1975).
Equazione di Langmuir multi-superficie.
In primo luogo l’espressione dell’equazione di Langmuir è stata modificata per descrivere processi di adsorbimento dovuti a più di una superficie adsorbente (Bolster C.H. e Hornberger G.M., 2007; Limousin G. et al, 2007; Goldberg S., 2005; Mattingly G.E.G., 1975). L’equazione così modificata assume la forma:
S = Σ [Smax,i*KLi*Ce/(1+ KLi*Ce]
dove la sommatoria si estende alle n superfici di adsorbimento. A differenza dell’equazione originale l’equazione di Langmuir multi-superficie ha un andamento tipico della classe L4, ed è ricavabile dall’equazione generale imponendo n ≥ 2.
Equazione di Langmuir modificata.
Un’ulteriore modifica dell’espressione originale dell’equazione di Langmuir prevede l’introduzione di fattori che tengano conto della competitività fra più specie (Limousin G. et al , 2007; Goldberg S., 2005):
Si = Smax,i KLi Cei/[1+Σ(KLj*Cej)]
dove la sommatoria si estende al numero di specie in competizione e l’indice i si riferisce alla specie di cui interessa stabilire il modello di adsorbimento.
L’equazione si ottiene dalla generale imponendo n = 1 e mi ≥ 2 e presenta l’andamento tipico della
Le ultime due espressioni presentate possono essere unificate in un’unica equazione che tenga conto di entrambi i fattori (adsorbimento multi-superficie e competizione tra più specie).
Equazione di Freundlich.
L’equazione di Freundlich, elaborata in uno studio del 1906, (Chen C., 2013; Foo K.Y. e Hameed B.H., 2010; Goldberg S., 2005; Hinz C., 2001) è un’equazione potenza a due parametri che può essere classificata come L1 o H1 (in base alla pendenza del tratto iniziale) o S1 nel caso l’esponenziale abbia valore maggiore di 1. La curva, pertanto, non raggiunge un valore di adsorbimento massimo ad alte concentrazioni.
Dall’espressione
S = KF*Ceα
si ricavano i parametri KF (l/Kg), costante di Freundlich legata all’energia di adsorbimento, e α,
indice dell’eterogeneità della superficie di adsorbimento (minore è il parametro n maggiore risulta l’eterogeneità del processo).
Questo modello empirico può essere applicato ad adsorbimenti multistrato, con distribuzione non uniforme del calore e dell’affinità di adsorbimento su superfici eterogenee.
Sebbene risulti strettamente valido solo per valori di concentrazione in soluzione bassi, il modello viene spesso utilizzato per descrivere l’adsorbimento da parte di suoli nell’intero range di concentrazioni investigate.
L’equazione, che non presenta asindoto alle alte concentrazioni è derivabile dalla generale ammettendo Smax = 1, αij > 0, βij e γij = 1.
Anche l’equazione di Freundlich ha subito, nel corso del tempo, delle modifiche atte ad ampliarne l’applicabilità (Limousin G. et al, 2007).
Equazione di Freundlich modificata per adsorbimenti competitivi.
Così come l’equazione di Langmuir anche il modello di Freundlich è stato modificato con l’intento di prendere in considerazione la competizione per l’adsorbimento tra ioni differenti (Limousin G. et al, 2007).
Si = KFiCei (Σ nij*Cej)αi-1
in cui nij (adimensionale) rappresenta il coefficiente di competizione della specie i in presenza della
specie j e KFi eαi sono i coefficienti dell’isoterma di Freundlich per la specie i.
L’equazione di Temkin, elaborata nel 1940, (Chen C., 2013; Foo K.Y. and Hameed B.H., 2010; Goldberg S., 2005; Hinz C., 2001) è una funzione trascendente a due parametri, con la seguente espressione:
S = k1ln(k2*Ce)
dove k1 e k2 rappresentano parametri empirici.
Secondo questa equazione l’energia di adsorbimento è una funzione lineare e non logaritmica della copertura superficiale e le energie di legame sono uniformemente distribuite (fino ad un massimo di energia). La curva presenta andamento L1 o H1, ma la sua applicabilità risulta valido per concentrazioni di soluto in soluzione intermedie.
Equazione di Dubinin-Radushkevich
L’equazione di Dubinin-Radushkevich (1947; Foo K.Y. and Hameed B.H., 2010; Goldberg S., 2005; Dalal R.C., 1979) è un modello empirico elaborato originariamente per descrivere l’adsorbimento di vapori su solidi microporosi con meccanismo di riempimento dei pori, e generalmente utilizzato nello studio dei processi di adsorbimento con distribuzione Gaussiana dell’energia, su superfici eterogenee. Si tratta di un’equazione trascendente a due parametri, con espressione:
S = Smax*e(-Bε^2)
nella quale Smax rappresenta la massima capacità di adsorbimento, B è una costante correlata
all’energia media del processo (E = 1/SQR(2*B) e ε (potenziale di Polanyi o potenziale di adsorbimento) è esprimibile come:
ε = RTln(1+1/Ce)
L’equazione, applicabile in un range intermedio di concentrazioni, presenta un andamento asintotico poco realistico, che ne ha limitato l’applicabilità, sebbene sia stata utilizzata per la descrizione di fenomeni di adsorbimento di soluti scarsamente solubili su suolo (Goldberg S., 2005; Dalal R.C., 1979).
La peculiarità di questa equazione è quella di essere dipendente dalla temperatura, fatto che permette di riportare sulla stessa curva anche dati ottenuti a temperature differenti.
Equazione di Sips.
L’equazione di Sips, eaborata nel 1948 (Chen C., 2013; Foo K.Y. and Hameed B.H., 2010; Hinz C.H., 2001), è una forma combinata dei modelli di Langmuir e Freundlich e risulta, pertanto, un’equazione potenza a due parametri con andamento tipico L2 o H2.
Questo modello prende in considerazione l’eterogeneità della superficie di adsorbimento, evitando i problemi legati all’equazione di Freundlich all’aumentare della concentrazione di soluto in soluzione: a basse concentrazioni è, infatti, riconducibile all’equazione di Freundlich mentre ad alti livelli di soluto in soluzione l’espressione si rifa alla capacità di adsorbimento monostrato tipica dell’equazione di Langmuir.
L’equazione è ricavabile dalla quella generale attribuendo al parametro α valori compresi tra 0 e 1 e ai parametri βij e γij, rispettivamente, il valore di α e 1.
Analogamente all’equazione di Freundlich il parametro α, che può variare tra 0 e 1, indica una maggiore eterogeneità della superficie adsorbente per valori vicini a 0 e comportamento tendente all’omogeneità per valori che si avvicinano a 1.
Shon S. e Kim D. (2005) hanno proposto un’equazione similare all’espressione di Sips, per esprimere la dipendenza del processo di adsorbimento dalla concentrazione di soluto. Il parametro X introdotto nello studio può assumere valori < 1, indicando una minore dipendenza dalla concentrazione (minore concentrazione di soluto necessaria per raggiungere un determinato livello di adsorbimento), e > 1, per sistemi maggiormente dipendenti dalla concentrazione di soluto in soluzione (maggiore concentrazione di soluto necessaria per raggiungere un determinato livello di adsorbimento). Per X = 1 si ottiene nuovamente l’equazione di Langmuir. L’andamento di X può avere una correlazione plausibile con il parametro α, in quanto una maggiore eterogeneità della superficie può portare ad una minore dipendenza dalla concentrazione di soluto, poiché la superficie a più alta energia viene ricoperta preferenzialmente anche a bassi livelli di concentrazione.
Equazione di Brunauer-Emmet-Teller.
Questa equazione, elaborata nel 1938 con lo scopo di descrivere sistemi di adsorbimento multistrato (Foo K.Y. e Hameed B.H., 2010; Hinz C., 2001), è una equazione trascendente a tre parametri, con andamento L3, derivabile dall’equazione generale imponendo mi = 2, pij = q11 e aij =
1.
L’espressione matematica è la seguente:
S = Ss*CBET*Ce/{(Cs-Ce)*[1+(CBET-1)*(Ce/Cs)]}
dove Ss (mg/Kg), CBET (l/mg) e Cs (mg/l) sono, rispettivamente, la capacità di saturazione, una
costante di assorbimento e la concentrazione di soluto in soluzione corrispondente al grado di saturazione.
Equazione di Hill.
L’equazione di Hill (Chen C., 2013; Foo K.Y. e Hameed B.H., 2010) presenta la seguente forma: S = SSH*CenH/(KD+CenH)
nella quale SSH, nH e KD rappresentano delle costanti.