Candidato 19 La legge (scienze e tradizione)
Candidato 20 La legge (scienze e tradizione)
Candidato 21 Il movimento (evoluzione e cambiamenti)
Candidato 22 Tonalità emotiva (la famiglia)
Candidato 23 Il movimento (evoluzione e cambiamenti)
COMPITO 1
PROBLEMA
Si consideri la funzione f(x) =a x3 + bx2 +c x+ d , dove a,b,c,d sono parametri reali.
Si determini il valore dei parametri a,b,c,d sapendo che:
ha un punto stazionario in A(5,8),
x0=7 è uno zero della funzione
x1=3 è un flesso obliquo
Disegnarne l’andamento individuandone il punto di flesso e l’equazione della tangente inflessionale.
Calcolare l’area racchiusa tra la funzione e l’asse delle x.
a) Supponendo t espresso in s e che i(t)=f(x) (sostituendo ad x , t) sia la legge che descrive la variazione di corrente in funzione del tempo in una spira in cui è presente una induttanza L ed una resistenza R, individuare gli istanti in cui l’intensità di corrente è massima e quelli in cui è nulla e si spieghi in modo esauriente perché il valore massimo dell’intensità è assunto in un istante compreso fra il 1° e il 7° secondo.
b) Calcola l’intensità di corrente media tra il 1° e il 7° secondo
c) Determinare la legge che descrive la carica Q che attraversa una sezione del conduttore in funzione del tempo, supponendo che nell’istante t=0 s la carica sia nulla e la carica totale che ha attraversato il conduttore nell’intervallo
s
d) Sapendo che la fem autoindotta è data dalla legge , che L=1,0 H ed R=2 , calcolare la i(t) autoindotta nel circuito.
Approfondisci uno dei contenuti teorici di matematica e uno di fisica che hai incontrato nello svolgimento del problema tra i seguenti
MATEMATICA FISICA
Funzioni Induzione elettromagnetica
derivata Legge di Faraday
Teorema della media-significato geometrico Flusso del campo magnetico. Teorema di Gauss Spiega il concetto di primitiva di una funzione Intensità del campo elettrico
La funzione integrale e il teorema di Torricelli Barrow Spiega il legame tra conservazione dell’energia e legge di Lenz.
Ricerca massimi e minimi relativi Relazione tra E e dV/dx applicare l’integrale definito al calcolo del volume di un
solido di rotazione
Relazione spazio, velocità e accelerazione e tempo . Concetto di derivata
COMPITO 2
PROBLEMA Dato 𝑘 > 0, si consideri la funzione 𝑓: [0, +∞) → ℝ così definita:
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥)= 𝑘/𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 1
a) Dimostrare che, qualunque sia 𝑘 > 0, la funzione 𝑓 è continua ma non ovunque derivabile. Studiare l’andamento di tale funzione, specificandone il punto di massimo assoluto.
b) Posto 𝑘 = 1, sia 𝑟 una retta di equazione 𝑦 = 𝑡, con 0 < 𝑡 < 1. Detti 𝑆 e 𝑇 i punti d’intersezione tra 𝑟 ed il grafico della funzione 𝑓, siano 𝑆′ e 𝑇′ le rispettive proiezioni ortogonali sull’asse 𝑥. Come deve essere scelto il valore di 𝑡, in modo che sia massima l’area del rettangolo 𝑆𝑆′𝑇′𝑇?
Quindi
1. Disegna il suo grafico probabile.
2. Verifica che 𝑓(𝑥) non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [0; 2].
3. Considera la funzione 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 . È derivabile in ]0; +∞[? Ammette derivata seconda in ]0; +∞[? Giustifica le risposte.
c) Considera una sfera isolante posta nel vuoto, di centro 𝑂 e raggio 𝑅, al cui interno è uniformemente distribuita una carica 𝑄, in equilibrio elettrostatico. Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che l’intensità del campo elettrico in un punto a distanza 𝑟 da 𝑂 è espressa dalla funzione:
𝐸(𝑟) = {
𝑘0𝑄
𝑅3 𝑟 se 0 < 𝑟 < 𝑅
𝑘0𝑄
𝑟2 se 𝑟 ≥ 𝑅 dove 𝑘0= 1
4𝜋𝜀0 e ε0 è la costante dielettrica del vuoto.
d) Considerato un punto esterno alla sfera, se la sua distanza da 𝑂 aumenta del 10%, è vero che l’intensità del campo elettrico diminuisce di più del 20%? Motiva adeguatamente la risposta.
e) Sia 𝑞 una carica elementare positiva collocata nel centro della sfera. Determinare l’espressione del lavoro compiuto dalla forza elettrica per portare la carica 𝑞 a distanza 2𝑅 dal centro della sfera. Quale dovrebbe essere il lavoro compiuto dalla stessa forza elettrica per portare la carica 𝑞 a distanza infinita dal centro della sfera?
Scrivi l’espressione analitica della funzione che rappresenta il potenziale 𝑉(𝑟) in un punto a distanza 𝑟 da 𝑂, assumendo nullo il potenziale all’infinito, e giustifica il fatto che il suo grafico abbia l’andamento riportato in fig. 1.
Figura 1
Stabilisci se la funzione 𝑉(𝑟) è o meno derivabile nel suo dominio e individua il suo punto di flesso. È vero che nel punto di flesso la derivata seconda della funzione 𝑉(𝑟) si annulla? Motiva adeguatamente la risposta.
Approfondisci uno dei contenuti teorici di matematica e uno di fisica tra le seguenti scegli una di matematica e una di fisica
Enuncia il teorema di Lagrange e scrivi:
una funzione 𝑓(𝑥) che soddisfi le ipotesi del teorema,
una funzione 𝑔(𝑥) che non soddisfi una delle ipotesi del teorema e non soddisfi la tesi, una funzione ℎ(𝑥) che non soddisfi una delle ipotesi del teorema ma soddisfi la tesi.
Determina il punto 𝑐 per la funzione 𝑓(𝑥).
Definisci la funzione integrale ed enuncia il teorema di Torricelli-Barrow, applicandolo in un contesto.
Enuncia il teorema di Gauss per il campo elettrico. Dimostralo in un caso elementare.
Spiega che relazione esiste tra il numero di linee di campo uscenti da una superficie chiusa e il flusso di campo elettrico che attraversa la stessa superficie.
Descrivi come si può applicare il teorema di Gauss al calcolo del campo elettrico generato da una configurazione di cariche a tua scelta.
Qual è il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme in un punto?
Definisci i concetti di continuità e di derivabilità di una funzione in un punto e illustra i principali casi di punti singolari o di non derivabilità.
Definisci il concetto di punto di flesso di una funzione reale di variabile reale. Sotto quali ipotesi è possibile affermare che un eventuale punto di flesso è un punto in cui si annulla la derivata seconda della funzione? Un eventuale punto in cui si annulla la derivata seconda di una funzione è sempre un punto di flesso? Fornisci un’adeguata giustificazione o un opportuno controesempio.
COMPITO 3
PROBLEMA
Considera la famiglia di funzioni 𝑓𝑘(𝑥) =4𝑥
𝑘 𝑒1−
𝑥
𝑘, con 𝑘 > 0 e 𝑥 ∈ [0; +∞[.
1. Verifica che ciascuna funzione ammette un massimo assoluto e un flesso e che, al variare di 𝑘, tali punti appartengono a due rette orizzontali. Determina le equazioni delle due rette.
2. Enuncia il teorema della media.
3. Verifica che il valor medio della funzione 𝑓𝑘(𝑥) nell’intervallo [0; 𝑘] è indipendente dal valore di 𝑘.
Un punto materiale 𝑃 di massa 𝑚 è vincolato a muoversi lungo l’asse 𝑥 di un sistema di riferimento cartesiano in cui le distanze sono misurate in metri. La legge oraria del punto materiale è data dalla funzione 𝑥(𝑡) = 𝑓1(𝑡) per 𝑡 ≥ 0 con le opportune unità di misura.
4. Determina la velocità media del punto nell’intervallo [0; 1].
5. Esiste un istante in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media? Perché?
6. Esiste un istante in cui la forza agente sul punto 𝑃 si annulla? Se la risposta è affermativa, quanto vale in questo caso l’intensità della velocità di 𝑃?
7. Data la funzione:
Q(t) = a [ 1 – e(-t/b) ] con 𝑡 ≥ 0 s a e b sono costanti positive.
Considera il grafico in corrispondenza di a = 2,0 C e b = 1,0 s Studiare e rappresentare graficamente la funzione assegnata.
Supponendo che la funzione rappresenti per 𝑡 ≥ 0 la carica elettrica (misurata in Coulomb) che attraversa la sezione di un conduttore, esprimere l’intensità di corrente i(t) che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo e il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si attesta col trascorrere del tempo.
Determina il tempo necessario per ottenere il 90% della carica massima . Calcola l’area tra la funzione e l’asse delle t.
Approfondisci uno dei contenuti teorici di matematica e uno di fisica che hai incontrato nello svolgimento del problema tra le seguenti
Spiega come puoi studiare la crescenza e la concavità di una funzione 𝑓(𝑥) che ammette derivata prima e derivata seconda continue.
Enuncia alcune proprietà dell’integrale definito. Applicalo in un esempio.
Come puoi calcolare la velocità istantanea e l’accelerazione istantanea di un punto materiale a partire dalla sua legge oraria?
Sia 𝐹(𝑡) l’intensità di una forza impulsiva variabile definita nell’intervallo [0; τ]. Spiega che cos’è e come si calcola la forza media.
Enuncia e dimostra il teorema di Torricelli.
Definisci il concetto di primitiva per la funzione 𝑓(𝑥) nell’intervallo [𝑎; 𝑏].
“Se una funzione ammette una primitiva essa è unica.”
Commenta questa affermazione in base alle tue conoscenze.
Supponi che 𝐹(𝑡) sia l’espressione dell’intensità di una forza dipendente dal tempo che agisce su un punto materiale 𝑃 di massa 𝑚. Spiega come si deducono le espressioni della velocità 𝑣(𝑡) e della legge oraria del punto 𝑃. Le informazioni sono sufficienti? In caso di risposta negativa, quali informazioni mancano?
Intensità di corrente e carica elettrica relazione COMPITO 4
PROBLEMA
Considera il comportamento del circuito RL in figura a partire dal momento in cui l’interruttore 𝑇 viene chiuso nella posizione 𝑎.
1. Descrivi a parole i fenomeni che avvengono dal momento in cui viene chiuso il tasto.
2. L’intensità di corrente elettrica 𝑖(𝑡) che circola nel circuito soddisfa la seguente equazione:
𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 + 𝑅 𝑖(𝑡) = ℰ, 𝑡 ≥ 0.
Verifica che la funzione 𝑖(𝑡) =ℰ
𝑅(1 − 𝑒−𝑅𝐿 𝑡) è soluzione dell’equazione. Disegna il grafico di i(t)
Supponi 𝐿 = 1,0 H, 𝑅 = 5,0 Ω e ℰ = 5,0 V e scrivi la potenza 𝑃𝑅(𝑡) dissipata come potenza termica dalla resistenza all’istante 𝑡. Traccia il grafico della funzione 𝑃𝑅(𝑡) 𝑒. disegna il grafico di i(t). Cosa puoi dire di Q(t) la carica che circola nel circuito. Cosa rappresenta R/L.
3. La funzione 𝑊𝑅(𝑡) = ∫ 𝑃0𝑡 𝑅(𝑥)𝑑𝑥 rappresenta l’energia dissipata dalla resistenza da 𝑡 = 0 s fino all’istante di tempo 𝑡. Deduci dal grafico di 𝑃𝑅(𝑡) le caratteristiche sulla monotonia e la convessità del grafico di 𝑊𝑅(𝑡).
4. Determinare inoltre la velocità di variazione della corrente elettrica nel circuito nell’istante t = 0 e nell’istante in cui il valore della corrente è pari al 50% del valore di regime.
Approfondisci uno dei seguenti contenuti teorici di matematica e uno di fisica
Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto di una funzione. Fai un esempio di funzione continua il cui unico punto di massimo relativo non è punto di massimo assoluto.
Enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale e applicalo in un contesto.
Considera un circuito RL alimentato con una forza elettromotrice costante e descrivi da quali elementi è composto; collega la rapidità di variazione con cui aumenta l’intensità di corrente dall’istante in cui viene chiuso il circuito a una caratteristica del grafico della funzione 𝑖(𝑡).
Descrivi il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinito percorso da corrente ed enuncia la legge di Biot-Savart.
Un circuito elettrico è un insieme di apparecchi elettrici e di loro collegamenti percorsi da corrente elettrica.
Dopo aver illustrato il funzionamento dei circuiti elettrici trattati nel corso dell'anno scolastico, evidenziando gli aspetti che ritiene opportuni.
Relazione spazio, velocità e accelerazione e tempo . Concetto di derivata
Teorema della media-significato geometrico
COMPITO 5
PROBLEMA
Consideriamo la seguente funzione f(x) =x√x se x < 1 f(x)= −x3 + ax2 + bx se x ≥ 1
1. Trovare a e b di modo che la funzione f(x) sia continua e derivabile in tutto il dominio.
2. Appurato che a = 5/2 e b = −1/2, studiare la funzione f(x) indicando in particolare se sono presenti massimi e minimi.
3. La funzione è derivabile due volte in tutto il dominio? Presenta dei flessi in cui la funzione cambia concavità?
4. Tracciare il segmento che unisce il punto (1,f(1)) con l’intersezione di valore maggiore della funzione con l’asse x.
Calcolare l’area compresa fra la curva e tale segmento.
5. Si immagini che la funzione rappresenti in funzione del tempo la corrente che scorre in un conduttore. Quanto vale il valor medio della corrente nell’intervallo di tempo t = [0,2]? Quanto vale la carica totale che attraversa il conduttore in questo intervallo di tempo?
6. Sapendo che il circuito alimentato con tale corrente presenta una induttanza dipendente dal tempo L(t) = L0 cos(αt), con α costante di cui è necessario indicare l’unità di misura, calcolare la fem autoindotta.
Approfondisci uno dei contenuti teorici di matematica e uno di fisica che hai incontrato nello svolgimento del problema
MATEMATICA FISICA
Funzioni Induzione elettromagnetica
derivata Legge di Faraday
Teorema della media-significato geometrico Flusso del campo magnetico. Teorema di Gauss
Volumi Forza di Lorentz
La funzione integrale e il teorema di Torricelli Barrow Teorema di Gauss Ricerca massimi e minimi relativi Relazione tra E e dV/dx Relazione continuità e derivabilità Intensità del campo elettrico
Spiega il concetto di primitiva di una funzione. Spiega il legame tra conservazione dell’energia e legge di Lenz.
applicare l’integrale definito al calcolo del volume di un solido di rotazione
Relazione spazio, velocità e accelerazione e tempo . Concetto di derivata
Spiega che cos’è l’asintoto di una funzione e illustra come si trovano gli eventuali asintoti di una funzione.
Moto di una particella in un campo magnetico
Limite di una funzione Campo elettrico generato da distribuzioni di cariche