Unificazione Elettrodebole

La teoria V-A di Fermi per le interazioni deboli `e riuscita a giustificare un ampio range di risultati sperimentali per molto tempo. Nonostante questo, per`o, rimane soltanto una descrizione fenomenologica. Poich`e si tratta di una teoria non rinormalizzabile, ad alte energie si presentano divergenze ai vari ordini perturbativi.

Come gi`a detto, la relazione 1.46 conduce all’idea che le interazioni deboli ed elettromagnetiche possano essere due manifestazioni dello stesso tipo di interazione. La teoria di Glashow (1961) tenta una unificazione delle due in- terazioni, identificando per la prima volta il gruppo di simmetria appropriato per descrivere le interazioni deboli: SUp2qLb Up1qY.

Isospin debole ed ipercarica debole

La ricerca del gruppo di simmetria per la descrizione delle interazioni deboli parte con l’idea di interpretare le correnti deboli cariche e l’eventuale cor- rente neutra in termini di rappresentazioni irriducibili di un certo gruppo di simmetria.

Le correnti deboli cariche descrivono transizioni del tipo νlØ l: accoppiano

quindi soltanto stati left-handed (figura 1.3). Questa considerazione permet-

Figura 1.3: Correnti deboli cariche.

te di vedere la coppia (νl, l) come doppietto di un certo gruppo di simmetria.

La scelta pi`u semplice `e quella di vedere la coppia di leptoni come base della rappresentazione irriducibile di dimensione 2 del gruppo SUp2q (in analogia con l’isospin), che in questo caso sar`a detto di “isospin debole”. L’introdu- zione di SUp2qL porta all’assegnazione di un nuovo numero quantico a νl e

l: _ νl l  L   |1 2, 1 2y |1 2, 1 2y  l  e, µ, τ. (1.49)

I generatori infinitesimi di SUp2q sono le matrici di Pauli (τ1, τ2, τ3),e quindi

la generica trasformazione che interessa il doppietto risulta della forma:  νl l ₁ L  eiÝÑαÝÑτ₂  νl l  L (1.50)

Notiamo che esiste uno stato right-handed per il leptone (lR) sul quale SUp2qL

1.5 L’unificazione elettrodebole 25

|lRy  |0, 0y. Il modello non considera invece la possibilit`a dell’esistenza di

un neutrino right-handed.

E’ possibile definire delle correnti J1µ e J µ

2 a partire dalle matrici τ1 e τ2:

J1µ  ¯χLγµ τ1 2χL (1.51) J2µ  ¯χLγµ τ2 2χL (1.52)

e notare che esiste un legame con le correnti deboli cariche: J_µ  ¯χLγµτχL  1 2pJ µ 1  iJ µ 2q (1.53)

Considerare le correnti J1,2,3equivale a considerare le rappresentazioni irridu-

cibili del gruppo: l’ideale sarebbe poter identificare J3µ con la corrente debole

neutra. Ci`o non `e possibile perch´e J3µ `e puramente left-handed, mentre J µ N C

ha un contributo right-handed.

L’idea di Glashow fu quella di individuare un’altra corrente neutra con com- ponente right che, combinata in maniera opportuna con la J_{N C}µ , potesse essere identificata con la J3µ: l’unica corrente con queste caratteristiche `e la

corrente elettromagnetica. Oltre la combinazione che completa il tripletto di correnti left-handed esiste un’altra corrente, data da un’altra combina- zione ortogonale alla prima. Glashow pens`o di fare riferimento allo schema di Gell-Mann
Nishijima, utilizzato per organizzare le particelle dotate di stranezza nei multipletti di SUp2qI. Questo corrisponde ad introdurre un

nuovo nemeo quantico, l’ipercarica debole, e ad assumere valida la formula di Gell-Mann
Nishijima:

Q T3

Y

2 (1.54)

Dal punto di vista formale questo corrisponde ad estendere il gruppo di sim- metria SUp2qL con l’aggiunta di Up1qY, di cui l’ipercarica Y sar`a generatore

infinitesimo, ed introdurre una nuova corrente (di ipercarica debole):

J_Yµ  ¯ψγµ_{Y ψ (1.55)}

Il legame tra le correnti coinvolte si deduce dalla 1.54: Jemµ  J

µ 3

JYµ

Leptone T T3 Q Y Quark T T3 Q Y

νe 1₂ 1₂ 0 -1 uL 1₂ 1₂ 2₃ 1₃

eL 1₂
1₂ -1 -1 dL 1₂
1₂
1₃ 1₃

eR 0 0 -1 -2 uR 0 0 2₃ 4₃

dR 0 0
1₃
2₃

Tabella 1.3: Isospin debole e ipercarica debole di leptoni e quark.

Alla luce di tutto questo, il gruppo di simmetria totale sar`a il prodotto diretto:

SUp2qLb Up1qY (1.57)

La formula 1.54 comporta un’assegnazione ben precisa anche dell’ipercarica debole alle particelle coinvolte nel modello standard (tabella 1.3). Il fatto di avere un prodotto diretto per il gruppo di simmetria delle interazioni elettro- deboli, comporta l’introduzione di due costanti di accoppiamento distinte: g e g1. Per questo motivo non `e possibile parlare di una vera e propria uni- ficazione tra interazioni deboli ed elettromagnetiche. La strada seguita da Glashow, per`o, porta ad individuare quelle che sembrano essere le interazioni fondamentali (isospin debole e ipercarica debole) di cui le interazioni deboli ed elettromagnetiche sarebbero una manifestazione ad una ben precisa scala di energie.

Interazioni elettrodeboli effettive

Il modello per le interazioni elettrodeboli si completa supponendo che l’inte- razione effettiva corrente-corrente provenga essenzialmente dallo scambio di bosoni massivi, con un piccolo trasferimento di impulso. Si assume che la forma di termini di interazione sia dello stesso tipo corrente-campo vista per le interazioni elettromagnetiche, sia a livello delle interazioni fondamentali

1.5 L’unificazione elettrodebole 27

individuate, sia a livello delle interazioni fisiche.

Questo tipo di approccio necessita della introduzione di tre campi vettoriali Wiµche si accoppino con intensit`a g alle correnti J

µ

i , e di un campo vettoriale

Bµ _{che si accoppi con intensit`a g}1 _{alla corrente J}µ

Y. Quindi:
igWµ Jµ
i g1 2BµJ µ Y (1.58)

La 1.53 impone che tra i campi Wi

µ ed i campi fisici W ci sia una relazione

del tipo: Wµ  1 ? 2 W 1 µ W 2 µ  (1.59) Sia W3

µ che Bµ devono essere campi neutri, e ci possiamo aspettare che

descrivano sia Aµ, sia Zµ; da una loro combinazione si ottiene:

#

Aµ Bµcos θW Wµ3sin θW

Zµ
Bµsin θW Wµ3cos θW

(1.60)

L’ipotesi di questo mixing prevede l’introduzione di un parametro libero nel modello: l’angolo di Weinberg θW.

La 1.60 permette di trovare la relazione esistente tra le costanti g e g1 e la carica e dell’elettrone, nonch`e il loro legame con l’angolo di Weinberg:

g sin θW  g1cos θW  e (1.61)

A questo punto, da 1.56 e da 1.61 `e possibile ricavare la forma della combi- nazione lineare di J_NµC e Jµ em da identificare con J µ 3: JNµC  J µ 3
sin 2 θWJeµm (1.62)

Dalle relazioni precedenti si capisce che l’accoppiamento pu`o essere descritto tanto da g e da g1 quanto da e e da sin2_θ

W.

Bench`e questo modello riesca a descrivere in maniera molto accurata i proces- si elettrodeboli, resta comunque insoddisfacente per le questioni che riman- gono aperte. Rimane, infatti, il problema di spiegare come vengono generate le masse dei bosoni vettori e la motivazione del mixing 1.60.